第3讲_圆的方程

1、第3讲圆的方程【2013年高考会这样考】1考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程2题型既有选择题、填空题，又有解答题客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题【复习指导】1本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程2能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题基础梳理1圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2圆的标准方程(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标

2、准方程为x2y2r2.3圆的一般方程方程x2y2DxEyF0可变形为22.故有：(1)当D2E24F0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；(2)当D2E24F0时，方程表示一个点；(3)当D2E24F0时，方程不表示任何图形4P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系(1)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆外；(2)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆上；(3)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆内一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出

3、a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线双基自测1(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为()A(x1)2y24 Bx2(y1)22Cx2(y1)24 D(x1)2y22答案C2(2011·四川)圆x2y24x

4、6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析由x2y24x6y0得(x2)2(y3)213.故圆心坐标为(2，3)答案D3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da±1解析因为点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)24，1a1.答案A4(2011·重庆)在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10 C15 D20解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0

5、,1)的最短弦长|BD|22(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|2，且ACBD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|×2×210，选B.答案B5(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线xy20相切的圆的方程为_解析设圆的方程为x2y2r2.则r.圆的方程为：x2y22.答案x2y22考向一求圆的方程【例1】已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22审

6、题视点 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径解析法一设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆的方程为(x1)2(y1)22.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d2；圆心是直线xy0与这两条平行线交点的中点，直线xy0与直线xy0的交点坐标是(0,0)、与直线xy40的交点坐标是(2，2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，1)，所求的圆的方程是(x1)2(y1)22.法三作为选择题也可以验证解答，圆心在xy0上，排除选项

7、C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可答案B 求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用【训练1】 经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2xy30上的圆的方程为_解析圆经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在x4上，又圆心在2xy30上，圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x4)2(y5)2r2，又圆过B(3,2)，即(34)2(25)2r2，r210，圆的方程为(x4)

8、2(y5)210.答案(x4)2(y5)210考向二与圆有关的最值问题【例2】(2012·武汉模拟)已知点P(x，y)在圆x2(y1)21上运动，则的最大值与最小值分别为_审题视点 找出的几何意义，运用几何法求解解析设k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值由1，解得k±.答案； 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【训练2】 圆x

9、2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是()A30 B18 C6 D5解析由圆x2y24x4y100知圆心坐标为(2,2)，半径为3.则圆上的点到直线xy140的最大距离为：353，最小距离为：53，故最大距离与最小距离的差为6.答案C考向三圆的综合应用【例3】已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径审题视点 (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m的方程求解；(2)OPOQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解解法一将x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.设P(x1

10、，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1y24，y1y2.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.故0，解得m3，此时0，圆心坐标为，半径r.法二如图所示，设弦PQ中点为M，设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由法一知，y1y24，x1x22，x01，y02.解得M的坐标为(1,2)则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上(01)2(02)2r2，即r25，|MQ|2r2.在RtO1MQ中，|O1Q|2|O1M|2|MQ|2.2(32)25.m3，半径为，圆心为

11、. (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算(2)本题中两种解法都是用方程思想求m值，即两种解法围绕“列出m的方程”求m值【训练3】 (2012·广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，3)为OAB的直角顶点，已知|AB|2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x26xy22y0关于直线OB对称的圆的方程解(1)设(x，y)，由|AB|2|OA|，·0，得解得或若(6，8)，则yB11与yB0矛盾，所以舍去即(6,8)(2)圆x26xy22y0，即(x3)2(y1)2()2，其圆心为C(3，1)

12、，半径r，(4，3)(6,8)(10,5)，直线OB的方程为yx.设圆心C(3，1)关于直线yx的对称点的坐标为(a，b)，则解得则所求的圆的方程为(x1)2(y3)210.阅卷报告13选择方程不当或计算失误【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】(2011·全国新课标)在平面直角坐标系

13、xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB，求a的值正解(1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.因此x1,2，从而x1x24a，x1x2.由于OAOB，可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由，得a1