《线性代数》教案

1、武昌理工学院理论课程教案2018 2019学年第一学期课程名称线性代数学 院 信息工程学院系 （部）数学课部授课专业班级造价 1701、1702主讲教师杜洪艳职 称教 授选用教材 线性代数教务处制表第十次课 线性方程组的解一、教学目标1 .让学生理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线 性方程组有解的充要条件；2 .使学生掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法；3 .培养学生的抽象思维能力及分析问题解决问题的能力。二、教学重点、难点教学重点为行初等变换求线性方程组通解的方法；教学难点为齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性 方程组有解的充要条件。三、教学形式探究式。四、教学内容及方

2、法上课前蓝墨云班课点名4 . 3.1解线性方程组1.概念导入由实际问题导入线性方程组的概念，让学生意识到线性方程组求 解的问题与我们的实际生活及工作息息相关。引例：某商场衬衫专柜销售S、M、L、XL四种型号的某品牌衬衫。 四种型号衬衫的售价分别为260元、270元、280元、300元。已知 当天共售出衬衫26件，营业额为4100元。并已知L好衬衫的销售量 为S号与XL号衬衫销售量的总和，L号衬衫的销售量收入也为S号与XL号衬衫销售量收入的总和。试问当天每种型号的衬衫分别售出几件？解：设S、M、L、XL号衬衫销售量分别为工1、小、工3、为4，根据题意得%1 +%2 +%4 =26260工1 +

3、270x2 + 280%3 + 300%4 = 4100/一的+ 羽=°260X1 280右 + 300%4 =02.利用矩阵的行初等变换解线性方程组例：解线性方程组 片+ 2.+4% =】 f + 2. - 7.=解 3% +4x2 - 6x3 = 4|, + 2x2 +4x3 =1|-Xj + 2x2 -7x3 = 0 I方程的对换>|+ 2x2 + 4x3 = 1|< 3 + 4x2 -6x3 = 4 I-+ 2x2 -7x3 = 0-上一3厂工>臼+3厂1>r3-r2>（占,2%2+轨3 = 1V一/ 白0写出方程组增广阵 34-6 41241-

4、12-70 ,矩阵的行对换 124 r34-64-12-70 0«2-3.1>七十3七>r3-r2>1 241oili1770 ol -1773%+ 4毛- 6%=4得得1 0 0 1 40 1 0-50011-2X =4< x2 =-5x3 =-2由上式可知方程组有唯一解。3.3.2 齐次线性方程组auXj+an&+L +ala =0,a21Xj + a22X2 +L + a2n = 0,Mah + aK+L +ag，= 0.对应矩阵方程为Ax二°。1、齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组必有零解定理n元齐次线性方程组Ax=0有非零解

5、的充要条件是R(A)特别地，当A为方阵时，4r = 0仅有零解的充要条件：有非零解的充要条件：二°推论1若齐次线性方程组中方程的个数m少于未知数的个数11, 则方程必存在非零解.推论2设齐次线性方程组中方程的个数m与未知数的个数n一样 多，若其系数行列式不等于零，则方程必存在非零解.3.3.3 非齐次线性方程组的解0"1+012%2 +. + "=% anx1+a11x1- + alllxll =b2a“X+jX2+.+a,*=4矩阵形式：Ax = b,与增广矩阵（A,b）对应当常数项h不全为。时，称为非齐次线性方程组；当常数项h全为。时，为与之对应的齐次线性方程

6、组.也称作非 齐次线性方程组的导出组.任一线性方程组必满足以下三项之一：（1）无解；（2）有惟一解；（3）有无穷组解.“解线性方程组“常用消元法.消元过程中需反复用线性方程组的 初等变换.而线性方程组的初等变换与其增广矩阵的初等变换一 一对应阶梯形线性方程组的三种基本类型：例：回匕/ /Reading/善三工,variables 1、1 1、;、一、;、1砰1 '、居一鼻=四、二X、02+2X3 =+七=/ 自由变量 , / / /0d十4=2、国 4X3阶梯阵的形状与线性方程组的解Ax = b解的数目 2x+3x-x =12X2+X3 = 2x -x +2x = 81232X2+X3

7、=1I x3 = 5x +2x +x + x = 21234x +4x = 334无解2 3-40 2 10 0 0有唯一解有无数解4.3.3.4利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性-120定理 任一线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵与其增广矩阵的秩相等，即R(A尸R(A|b).证(反证法)若R(A/R(A|b),则方程组的增广阵化简的行阶梯形含形如(0,0,0,b),b#0的行向量,显然方程组无解，与已知矛盾.线性方程组Ax=b解的存在性判别法：若R(A)声R(Ab),则方程组无解;若R(A)=R(A:b) = r=n时，则方程组有唯一解.若R(A尸R(Ab) = rvn时，则方程组

8、有无穷多解.推论：A<nX = b有唯一解 U> R(G = n O|A|h0.判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解.(1)X + 3x2 - 3x3 = 23X - 勺 + 2/=34X + lx2 - x3 = 2Xj -x2 -x3 - 3x4 =-2(2) 与 - *2 + / + 5x4 = 4-4勺 + 4x2 += -1对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再判断和求解Ab=3-12-32-1130 -100 -10-382-3-4-3r3-r20 -10-3R(内= 2/3 = R(A|b),则原方程组无解.此时没必要继续化简成行最简形=2X -x2Q)11

9、-4xx X 4xi-1-14-111-350+ SX4 = 44x2 + x3-100-12-3-38-12-26-9-10 110 14 30 0 0 01 1 30140 -3 -12 -9因R(A) = R(A|b) = 2<4,方程组有无穷组解，同解方程组为:- 勺+必=1 即.|x1 = l+X2-X4 x3 + 4x4 = 3*x3 = 3-4x4可选X?与、为自由未知量。练习题：% + 2%+3乂3 = 11,若线性方程组|一2%+七=一2 无解则数;1=.(2 + l)Xg = -A2.求卜列齐次线性方程组的通解.% + %=0, 2年 + 三 一3, =0%+圣一汽+

10、2=0.x, + x八=5 3 ,求线性方程组的，2Xj + x2 + X3 + 2x4 = 1的通解.，5Kl I 3七 I 2均 2 = 3小结：指导学生对本节知识进行小结练习题：1.求下列齐次线性方程组的通解% - 5% = 02% + 0 一3, =0% + 一 + 2=0X + Xc = 5X.« 2% + % + & + 2 = 15% + 3x? + 2/ + 2% = 3复习题：12 .高斯消元法解线性方程组的特点是什么？用矩阵的初等变换来表示消元法必须注意什 么？13 .如果方程组有无穷多组解，那么自由未知量应如何选取？14 .若线性方程组由1. +%2.+%=匕,a?洛+220、=与， < 2曲片 + ax, + + a皿，= bm.的方程个数小于未知量个数，即ni<n,且都小于矩阵A的秩R(R,问方程组是否一定有 无穷多解？为什么？15 .设有个方程个未知量的线性方程组a11x1 + a12x2+- + alnxh=bl,21% + 222毛+2nxn=b2， anih + aq% +a1mx,=口.若系数行列式为D