《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(提高)(可编辑修改word版)

1、整式的乘除全章复习与巩固一知识讲解（提高）【学习目标】1 .理解正整数塞的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算：掌握单项式乘（或除以）单 项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算：2 .会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行 乘法运算：3 .掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法 公式简化运算；4 .理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法 和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一 般步骤：能够熟练地运用这些方法

2、进行多项式的因式分解.【知识网络】要点一、鬲的运算1 .同底数器的乘法以*/ = /（，为正整数）：同底数秤相乘，底数不变，指数相加.2 .府的乘方：（1）"=£!二?，为正整数）；哥的乘方，底数不变，指数相乘.3 .积的乘方：（。“二以为正整数）；积的乘方，等于各因数乘方的积.4 .同底数塞的除法:0-/=3'-”（。工0, ?，为正整数.并且?>）.同底数事相除，底数不变，指数相减.5 .零指数塞：4° = 1 （。工0）,即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式：灵活地 双向应用运算

3、性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1 .单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2 .单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即 m(a + b + c) = ma + mb + mec都是单项式).3 .多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加.即( + )(? +)= am + an + bin + hn .要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“ + ”

4、“一”号是性质 符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“ + ”连结，最后写成省略加号的代数和的形 式.根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式： (x+a)(x+/?)=/ +(a+Z?) x+ab.4 .单项式相除把系数、相同字母的耗分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它 的指数一起作为商的一个因式.5 .多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：(am + bm + cm) + in = am + m + hm + m + cm + m = a + b + c要点三、乘法公式1 .平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这

5、两个数的平方差.(a + b)(a - b) = a2 - b2要点诠释：在这里，a, b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的 平方减去“相反项”的平方.2 .完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.(« + /?)- =a2 + 2ab + b2:= a2 - 2ab + b-要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的枳的形式，像这样的式子变形叫做把这个多

6、项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式.困式分解的方法主要有：提公因式法，公式法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式：两项平方或立方，三项考虑完全平方；四项以上想分组，分组分得要合适：几种方法反复试，最后须是连乘式：第1页共7页因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、鬲的运算1、已知0” = 5 ,求一户_ 5的值.5【思路点拨】由于已知X2"'的值，所以逆用事的乘方把步用变为Q?" )3,再代入计算. 【答案与解析】解： 0” = 5 ,【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能 力.举一反三：【变式】(1)已知

7、4 = 224, b = g6,。= 512,比较小儿。的大小.(2)比较 3-3°, 92°, 271° 大小。【答案】解：(1) b<a<c, (2) 330 = 27,0 <920提示：(1)转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12： (2)转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.类型二、整式的乘除法运算2、(2015杭州模拟)己知代数式(mx2+2mx- 1) (xm+3nx+2)化简以后是一个四次多 项式，并且不含二次项，请分别求出m, n的值，并求出一次项系数.【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个

8、四次多项式，所以x 的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0,即可解答.【答案与解析】解：(mx2+2mx - 1) (xQ+3nx+2) =mx2+3mnx3+2mx2+2mxErl+6mnx2+4mx - x - 3nx - 2, 因为该多项式是四次多项式， 所以m+2=4, 解得：m=2,原式=2/+ (6n+4) x3+ (3+12n) x2+ (8- 3n) x-2.多项式不含二次项，.3+12n=0,解得：n二一，43 35所以一次项系数8 - 3"8+二二二.4 4【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项 式，所以x的

9、最高指数n)+2=4：不含二次项，即二次项的系数为0,即可解答.举一反三：/【变式】若(X + 7,X + ：的乘积中不含X的一次项，则7等于.【答案】-1：3类型三、乘法公式3、计算：(1)一/? + c - d )(一 一 c + 4 ) ； (2)(2x - 3y -1 )(-2x - 3y 4- 5).【思路点拨】(D中可以将两困式变成与c-4的和差.(2)中可将两因式变成2-3)， 与2% - 3的和差.【答案与解析】解：原式=(a -b) + (c-d )(a -b)-(c-d) = (a - b)2 -(c-d )2=ci2 - lab + b2 -c2 + led - d2 .

10、(2)原式=(2 - 3y) + (2x-3)(2 - 3y) -(2a - 3)=(2 3»3)2= 9y2-4x2-12y+lZv-5.【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式.(2)当两个因式 中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果.举一反三：【变式】计算：3(22+1)(24+1)(28+1)+1 .【答案】解：3(22 +1)(24 +1)(28 +1)+1 =(22-1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)+1=(24-1)(24 +1)(28 +1)+1=(28-1)(28+1)+1 =2,6-1+1 =216

11、.4、己知 x2 + y2 + z2 - 2% + 4 y - 6z +14 = 0 ,求代数式(x - y - z)如？的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出x,y,z.【答案与解析】解：x2 +)，+ / - 2x + 4 y - 6z +14 = 0(A-l)2+(y + 2)2+(z-3)2=O所以 x = l, y = -2, z = 3所以(X_)，_Z)2°12 = 02012 = 0【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得 出正确答案.举一反三：变式 1配方 a2b2 + / +1 = 4ah

12、 ,求 a + b =.【答案】解：原式=力2 - 2ab + l + a2 -2ab+b =(。/?一11+(a-h)' = 0所以=。，出? = 1 ,解得 =b = ±1所以 + /? = ±2.【变式2 (2015春祁阳县期末)课堂上老师指出：若a, b, c是ZkABC的三边长，且满足 a?+b2+c2 - ab - be - ac=0,请判断该三角形的形状.小明在与同学一起合作探究这个问题时， 说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬.请你写出小明的猜想和理由.【答案】解：依题意得：-i (a - b) 2+ (b - c) 2+ (c - a) 2 =

13、0 乙所以(a-b) 2+ (b - c) 2+ (c - a) 2=0所以 a=bt b=c, c=a.故AABC是等边三角形.C5、求证：无论x,)，为何有理数，多项式炉+)，2一 2x +6)，+16的值恒为正数.【答案与解析】解：原式=(x l+(y + 3y+6>0所以多项式的值恒为正数.【总结升华】通过配方，将原式变成非负数+正数的形式，这样可以判断多项式的正负. 举一反三：、.> 。方 22【变式】证明:不论a,匕为何值，多项式 a b -3。一5的值一定小于0.4【答案】 ab" ) 一 一 证明：。一 b 3ab 5 4a2b2,2=-(+"

14、+ 1) + (。+ b + 2ah) + 44=_(¥ +1)2 - (a + b - 42-(竺+ 1)2 >0, (a + b)2 >02.(？+1)24。, 一(+/7y <0，原式一定小于0.类型四、因式分解6、若(p q)2 (4一了 =(q-y E ,则 E 是()A. - q -p B. q -pC. + p-qD. + q -p【答案】C：【解析】解：(一q) -(“一)=(4一) (1 +-q) .故选 c.【总结升华】观察等式的右边，提取的是(夕一)2,故可把(P 变成(q p)2,即左边 =(乡-")2(1 + -q).注意偶次哥时

15、，交换被减数和减数的位置，值不变：奇次事时，交 换被减数和减数的位置，应加上负号.举一反三：【变式】把多项式(吐1)(l1)+(l1)提取公因式(?1)后，余下的部分是()A. m + B. 2m C. 2 D. m + 2【答案】D：解：(m +1)(/ -1) + in -1),=(阳-1)(/ +1 + 1) = (7+ 2).Y 7、分解因式：(1) (x+y)24；(2) 16(“一刀2-25(4 + )2：(3) (x + 2)2-(2x-l)2.【思路点拨】(1)把x+y看做整体，变形为(x+)，)222后分解.(2) 16(4 12)2可写成4(。)2, 25(。十32可写成5

16、( +32, 4(" )和5(4 +。)分别相当于公式里的“和b. (3)把(x + 2)、(2x 1)看作一个整体进行分解.【答案与解析】第5页共7贞解：(1) (x + y)24 = (x + y)2 22 = (x+y + 2)(x + y 2).(2) 16(。一 b)2 - 25( + b)2 = 4(" - b)2 一5( + b)2=4(。- b) + 5( + b)4(a - Z?) - 5(a + b)=(9a + b)(-a - 9b)=一(9“ + b)(a + 9b).(3) (x + 2)2 - (21)2 = + 2) + (2x-l)(x + 2) (2x-l)= (3x+l)(3x).【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项 式.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：(1