第四章,4.5.1,函数零点与方程解

1、第四章,4.5.1,函数零点与方程解 4.5 函数的应用( 二) 4 5.1 函数的零点与方程的解 学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数 知识点一 函数的零点 1概念：对于一般函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 2函数的零点、函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的根的关系： 思考 函数的零点是函数与 x 轴的交点吗？ 答案 不是函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与 x 轴交点的横坐标 知识点二 函数零点存在定理 如果

2、函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程f(x)0 的解 思考 1 函数零点存在定理的条件有哪些？ 答案 定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0. 思考 2 在函数零点存在定理中，若 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在(a，b)内存在零点则满足什么条件时 f(x)在(a，b)上有唯一零点？ 答案 满足 f(x)在(a，b)内连续且单调，且 f(a)f(b)0. 1函数 f(x)3x2 的零点

3、为 23 .( ) 2若 f(a)f(b)0，则 f(x)在a，b内无零点( ) 3若 f(x)在a，b上为单调函数，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点( ) 4若 f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则 f(a)f(b)0.( ) 5若函数 f(x)满足 f(a)f(b)0，则函数在区间a，b上至少有一个零点( ) 一、求函数的零点 例 1 (1)求函数 f(x)î ïíïì x 2 2x3，x0，2ln x，x0的零点； (2)已知函数 f(x)axb(a0)的零点为 3，求函数 g(x)bx 2 ax

4、的零点 解 (1)当 x0 时，令 x 2 2x30，解得 x3(x1 舍)； 当 x0 时，令2ln x0，解得 xe 2 . 所以函数 f(x)î ïíïì x 2 2x3，x0，2ln x，x0的零点为3 和 e 2 . (2)由已知得 f(3)0 即 3ab0，即 b3a. 故 g(x)3ax 2 axax(3x1) 令 g(x)0，即 ax(3x1)0，解得 x0 或 x 13 . 所以函数 g(x)的零点为 0 和 13 . 反思感悟 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程 f(x)0 的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，

5、否则函数不存在零点 (2)几何法：与函数 yf(x)的图象联系起来，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点 跟踪训练 1 求下列函数的零点： (1)f(x)(lg x) 2 lg x； (2)f(x)x 3 2x 2 x2. 解 (1)令(lg x) 2 lg x0，则 lg x(lg x1)0， lg x0 或 lg x1，x1 或 x10， 因此函数 f(x)的零点是 1,10. (2)令 x 3 2x 2 x20， 得 x 2 (x2)(x2)(x2)(x 2 1) (x2)(x1)(x1)0， 解得 x1 或 x1 或 x2， 函数 f(x)有 3 个零点，分别为1,1,2. 二、

6、零点的个数问题 例 2 判断下列函数零点的个数 (1)f(x)x 2 34 x58 ； (2)f(x)ln xx 2 3. 解 (1)由 f(x)0，即 x 2 34 x58 0， 得 èæøö 342 4 58 3116 0， 所以方程 x 2 34 x58 0 没有实数根， 即 f(x)零点的个数为 0. (2)方法一 函数对应的方程为 ln xx 2 30， 所以原函数零点的个数即为函数 yln x 与 y3x 2 的图象交点个数 在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图) 由图象知，函数 y3x 2 与 yln x 的图象只有一个交点 从而方程

7、 ln xx 2 30 有一个根， 即函数 yln xx 2 3 有一个零点 方法二 由于 f(1)ln 11 2 320， f(2)ln 22 2 3ln 210， 所以 f(1)f(2)0， 又 f(x)ln xx 2 3 的图象在(1,2)上是连续的， 所以 f(x)在(1,2)上必有一个零点， 又 f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个 反思感悟 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点 (2)画出函数 yf(x)的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从而判定零点的个数 (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定 yf(x

8、)在(a，b)上零点的个数 (4)转化成两个函数图象的交点个数问题 跟踪训练 2 已知函数 f(x)î ïíïì 4x4，0x1，x 2 4x3，x1和函数 g(x)log 2 x，则函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数是_ 答案 3 解析 作出 g(x)与 f(x)的图象如图， 由图知 f(x)与 g(x)的图象有 3 个交点，即 h(x)有 3 个零点 三、判断零点所在的区间 例 3 (1)f(x)e x x2 的零点所在的区间是( ) a(2，1) b(1,0) c(0,1) d(1,2) 答案 c 解析 方法一 f(0)10，f(1

9、)e10，f(x)为 r 上的连续函数， f(x)在(0,1)内有零点 方法二 e x x20，即 e x 2x， 原函数的零点所在区间即为函数 ye x 和 y2x 的图象交点的横坐标所在的区间 如图， 由图象可得函数 ye x 和 y2x 的图象交点所在的区间为(0,1) (2)由表格中的数据，可以断定方程 e x 3x20 的一个根所在的区间是( ) x 0 1 2 3 4 e x 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x2 2 5 8 11 14 a.(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4) 答案 c 解析 设 f(x)e x 3x2，f(x)为 r 上的连续函

10、数，由题表知，f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程 e x 3x20 的一个根所在的区间为(2,3) 反思感悟 确定函数 f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)0 易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上 (2)利用函数零点存在定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若 f(a)f(b)0，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必有零点 (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 跟踪训练 3 若方程 xlg(x2)1 的实根在区间(

11、k，k1)(kz)上，则 k 等于( ) a2 b1 c2 或 1 d0 答案 c 解析 由题意知，x0，则原方程即为 lg(x2) 1x ，在同一平面直角坐标系中作出函数 ylg(x2)与 y 1x 的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个根，一个在区间 (2，1)上，一个在区间 (1,2)上èæøö由lg 31，lg 4lg 10 12 可得 ， 所以 k2 或 k1. 根据零点情况求参数范围 典例 函数 f(x)x 2 2|x|a1 有四个不同的零点，求实数 a 的取值范围 解 由 f(x)0 得 a12|x|x 2 ， 因为函数 f(x)x

12、2 2|x|a1 有四个不同的零点， 所以函数 ya1 与 y2|x|x 2 的图象有四个交点， 画出函数 y2|x|x 2 的图象，如图所示， 观察图象可知，0a11，所以 1a2. 素养提升 函数的零点即函数图象与 x 轴交点的横坐标，也可转化成两函数交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养 1函数 f(x)log 2 x 的零点是( ) a1 b2 c3 d4 答案 a 解析 令 f(x)log 2 x0，解得 x1. 2函数 f(x)2 x 1x 的零点所在的区间是( ) a(1，) b. èæø

13、6;12 ，1 c. èæøö13 ，12 d. èæøö14 ，13 答案 b 解析 易知 f(x)在(0，)上单调递增 由 f(x)2 x 1x ，得 f èæøö12122 20， f(1)2110，f èæøö12f(1)0. 零点所在区间为 èæøö12 ，1 . 3对于函数 f(x)，若 f(1)f(3)0，则( ) a方程 f(x)0 一定有一实数解 b方程 f(x)0 一定无实数解

14、 c方程 f(x)0 一定有两实根 d方程 f(x)0 可能无实数解 答案 d 解析 函数 f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管 f(1)f(3)0，但方程 f(x)0 在(1,3)上可能无实数解 4函数 f(x)(x1)(x 2 3x10)的零点有_个 答案 3 解析 f(x)(x1)(x 2 3x10) (x1)(x5)(x2)， 由 f(x)0 得 x5 或 x1 或 x2. 5若 32 是函数 f(x)2x2 ax3 的一个零点，则 f(x)的另一个零点是_ 答案 1 解析 由 f èæøö322 94 32 a30 得 a5， 则 f(

15、x)2x 2 5x3. 令 f(x)0，即 2x 2 5x30， 解得 x 1 32 ，x 2 1，所以 f(x)的另一个零点是 1. 1知识清单： (1)函数的零点定义 (2)函数零点存在定理 2方法归纳：转化法、数形结合法 3常见误区： (1)忽视函数零点存在定理的应用条件 (2)不能把函数、方程问题相互灵活转化 1下列函数不存在零点的是( ) ayx 1x by 2x 2 x1 cylog a x 2 (a0 且 a1) dyî ïíïì x1，x0，x1，x0 答案 d 解析 令 y0，得选项 a 和 c 中的函数的零点均为 1 和1；

16、 b 中函数的零点为 12 和 1； 只有 d 中函数无零点 2函数 f(x)log 3 x82x 的零点一定位于区间( ) a(5,6) b(3,4) c(2,3) d(1,2) 答案 b 解析 f(3)log 3 382310， f(4)log 3 4824log 3 40. 又因为 f(x)在(0，)上为增函数， 所以其零点一定位于区间(3,4) 3已知 f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( ) a0 b1 c1 d不能确定 答案 a 解析 因为奇函数的图象关于原点对称， 所以若 f(x)有三个零点，则其和必为 0. 4已知函数 f(x)î ï&

17、#237;ïì 2 x 1，x1，1log 2 x，x1，则函数 f(x)的零点为( ) a. 12 ，0 b2,0 c. 12 d0 答案 d 解析 当 x1 时，令 2 x 10，得 x0. 当 x1 时，令 1log 2 x0，得 x 12 (舍) 综上所述，函数 f(x)的零点为 0. 5方程 xlog 3 x3 的解为 x 0 ，若 x 0 (n，n1)，nn，则 n 等于( ) a0 b1 c2 d3 答案 c 解析 设 f(x)xlog 3 x3， 则 f(1)1log 3 1320， f(2)2log 3 23log 3 210， f(3)3log 3 33

18、10， 又易知 f(x)为单调增函数， 所以方程 xlog 3 x3 的解在(2,3)内，因此 n2. 6已知函数f(x)x 2 axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx 2 ax1的零点是_ 答案 12 ，13 解析 由题意知，方程 x 2 axb0 的两根为 2,3， î ïíïì 23a，23b，即 a5，b6， 方程 bx 2 ax16x 2 5x10 的根为 12 ，13 ， 即为函数 g(x)的零点 7函数 f(x)x 2 2 x 在 r 上的零点个数是_ 答案 3 解析 函数 f(x)x 2 2 x 的零点个数，等价于函数 y

19、2 x ，yx 2 的图象交点个数如图，画出函数 y2 x ，yx 2 的大致图象 由图象可知有 3 个交点，即 f(x)x 2 2 x 有 3 个零点 8若 abc0，且 b 2 ac，则函数 f(x)ax 2 bxc 的零点的个数是_ 答案 0 解析 ax 2 bxc0 的根的判别式 b 2 4ac，b 2 ac，且 abc0， 3b 2 0，方程 ax 2 bxc0 无实根 函数 f(x)ax 2 bxc 无零点 9判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点 (1)f(x)x 2 2x1；(2)f(x)x 4 x 2 ； (3)f(x)4 x 5；(4)f(x)log 3 (x1)

20、 解 (1)令x 2 2x10，解得 x 1 x 2 1， 所以函数 f(x)x 2 2x1 的零点为 1. (2)令 f(x)x 2 (x1)(x1)0， 解得 x0 或 x1 或 x1， 故函数 f(x)x 4 x 2 的零点为 0，1 和 1. (3)令 4 x 50，则 4 x 5， 因为 4 x 0，50，所以方程 4 x 50 无实数解 所以函数 f(x)4 x 5 不存在零点 (4)令 log 3 (x1)0，解得 x0， 所以函数 f(x)log 3 (x1)的零点为 0. 10已知函数 f(x)2a4 x 2 x 1. (1)当 a1 时，求函数 f(x)的零点； (2)若

21、f(x)有零点，求 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时，f(x)24 x 2 x 1. 令 f(x)0，即 2(2 x ) 2 2 x 10， 解得 2 x 1 或 2 x 12 (舍去) x0，函数 f(x)的零点为 0. (2)若 f(x)有零点，则方程 2a4 x 2 x 10 有解， 于是 2a 2x 14 x èæøö12x è æøö14x ， 令 èæøö12x t，则 g(t)tt 2 è æøöt 122 14 .

22、 t0， g(t)在(0，)上单调递增，其值域为(0，)， 2a0，即 a 的取值范围是(0，) 11若函数 y èæøö13|x 1| m 有零点，则实数 m 的取值范围是( ) a(，1 b1，) c1,0) d(0，) 答案 c 解析 因为函数 y èæøö13|x 1| m 有零点， 所以方程 èæøö13|x 1| m0 有解， 即方程 èæøö13|x 1| m 有解， 因为|x1|0， 所以 0 èæ&

23、#248;ö13|x 1| 1，即 0m1， 因此1m0. 12函数 f(x)ax 2 bxc，若 f(1)0，f(2)0，则 f(x)在(1,2)上零点的个数为( ) a至多有一个 b有两个 c有且仅有一个 d一个也没有 答案 c 解析 若 a0，则 f(x)bxc 是一次函数， 由 f(1)f(2)0 得零点只有一个； 若 a0，则 f(x)ax 2 bxc 为二次函数， 若 f(x)在(1,2)上有两个零点， 则必有 f(1)f(2)0，与已知矛盾 若 f(x)在(1,2)上没有零点， 则必有 f(1)f(2)0，与已知矛盾 故 f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点 13若方程|x 2 4x|a0 有四个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (0,4) 解析 由|x 2 4x|a0，得 a|x 2 4x|， 作出函数 y|x 2 4x|的图象， 则由图象可知，要使方程|x 2 4x|a0 有四个不相等的实根，则 0a4. 14已知函数 f(x)3 x x，g(x)log 3 x2，h(x)log 3 xx 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是_ 答案 abc 解析 画出函数 y3 x ，ylog 3 x，yx，y2 的图象，如图所示， 观察图象可知，函数 f(