第7节无穷小与无穷大的阶的比较-2学时ppt课件

1、2.7 2.7 收敛速度问题收敛速度问题: : 无穷小与无穷大的阶的比较无穷小与无穷大的阶的比较一、无穷小一、无穷小定义定义1 10limsin0,xx .)(0时时的的无无穷穷小小是是当当则则称称xxxf1lim0,xx .1时的无穷小时的无穷小是当是当 xx00( )(; )lim( )0,oxxf xUxf x 定定 ， ，若若.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当 xx例如例如.过过程程的的无无穷穷小小类类似似可可以以定定义义其其它它极极限限例如.,00 xxxxxx观察下列无穷小收敛到零的速度：观察下列无穷小收敛到零的速度：x2xxsin1 . 001. 00998. 001. 00

2、001. 001. 0001. 06101 001. 0.sin,02都都是是无无穷穷小小时时当当xxxx 不同的无穷小收敛到零的速度不同，不同的无穷小收敛到零的速度不同，如何描述？哪个快？快多少？如何描述？哪个快？快多少？定义定义2 (2 (无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较) ). 0)(,)(, )(00 xgxxxxgxf空空心心邻邻域域内内某某个个且且在在时时的的无无穷穷小小为为设设;, 0)()(lim. 10的的高高阶阶无无穷穷小小是是称称若若gfxgxfxx ;, 0)()(lim. 20是是同同阶阶无无穷穷小小与与称称若若gflxgxfxx ;, 1)()(lim.30是是等等

3、价价的的无无穷穷小小与与称称若若gfxgxfxx )(0 xxgf记记为为：.),0, 0()()(lim00阶阶无无穷穷小小是是称称若若kfkllxxxfkxx 定义定义3 (3 (无穷小阶的量化无穷小阶的量化) ).)()(,0000作作为为标标准准选选的的阶阶时时，中中，确确定定无无穷穷小小在在过过程程xxxgxfxxxx .1)( ,作作为为标标准准选选时时xxgx 例例1 1 确定下列无穷小的阶确定下列无穷小的阶)0(x,63xx ,11xx ,21cos1,cos120lim xxxx2 2阶阶 1 1阶阶) (无无穷穷小小量量者者低低阶阶3. 1633630lim的的阶阶为为xx

4、xxxx )1( . 1)11(211limlim00 kxxxxxxxkxkx (4) ( )sin( 112)0f xxx( 112)( 112)( ) sin( 112) sin( 112)xxf xxx 解解 ： 111111sinsin( 112)( 112)11xxxxxx sin( 112)11xxx 00110sin( 112)11limlimsin( 112)11lim( 112)11( 112)111/4 2 因因此此xxxxxxf xxxxxxxxxxx所以为所以为1/2阶的无穷小阶的无穷小 3512130 xx x（）（） 35453223545223235452231

5、 21 31 21 31 21 2.1 31 21 2.1 3381 21 2.1 3xxxxxxxxxxxxxxx 解解：故无穷小阶故无穷小阶232012131lim3xxxx 因因此此( () )3360:sin( 112)111cos ,1(12)21(2)(133)xxxxxxxxx + + +- -+ +- - - - - - -+ +收敛速度比较收敛速度比较二、无穷大二、无穷大,| )(|,|, 00Mxfxx 都有都有当当 ，内内有有定定义义，若若对对在在设设0);()(00 MxUxf 定义定义4 4.)(0时时的的无无穷穷大大是是则则称称xxxf )(lim0 xfxx).)

6、(lim( xfx或或记作 .,00类类似似其其它它过过程程： xxxxxx特别：., 0)(, 0)(负负无无穷穷大大正正无无穷穷大大， xfxf注意注意1. 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无 界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk 取取,22)( kxyk

7、.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk 取取, kxk充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大无界!000000lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf 000)lim( )lim( )lim( )xxxxxxxf xf xf x 其余情况类似可以定义

8、其余情况类似可以定义定义定义5 (5 (无穷大量阶的比较无穷大量阶的比较) ),)(, )(0时时的的无无穷穷大大为为设设xxxgxf;, 0)()(lim. 10的的高高阶阶无无穷穷大大是是称称若若fgxgxfxx ;, 0)()(lim. 20是是同同阶阶无无穷穷大大与与称称若若gflxgxfxx ;, 1)()(lim.30是是等等价价的的无无穷穷大大与与称称若若gfxgxfxx )(0 xxgf记记为为：.),0, 0()()(lim00阶阶无无穷穷大大是是称称若若kfkllxxxfkxx 定义定义7.6 (7.6 (无穷大阶的量化无穷大阶的量化) ).)(10为标准为标准即以即以xx

9、 .),0,0()(lim阶阶无无穷穷大大是是称称若若kfkllxxfkx .为为标标准准即即以以kx例例2 22 2阶无穷大阶无穷大)(13235 xxxx2 2阶无穷大阶无穷大2132lim1132lim33235 xxxxxxxxx 23122113lim181xxxxx 解 ：)1()1(2322 xxxx（1）（2）判断下列无穷大的阶判断下列无穷大的阶三三 表示与性质表示与性质定义定义7 70,(; ), ( )0.of gUxg xd d 在在内内有有定定义义 且且0( ), 0,0 |.( )f xxxMmMg x当当时时 若若存存在在使使得得0 0 m m )( )()( ,

10、0)()(lim00 xxxgoxfxgxfxx 就记为就记为若若“无无穷穷小小”记记为为特特别别地地 )1()(, 0)(lim,0oxfxfxx).()()( 0 xxxgOxf 就就记记为为（2）（1）基本运算性质基本运算性质有有当当, 0 , 0 nx);)()()(mnxoxoxonmn （2）（1）)()()(mnmnxoxoxo 有有当当, 0 , nx);)()()(mnxoxOxOnmn )()()(mnmnxOxOxO （3）有有时时当当,o(1) ,0 xx);()()( ooo ).()(kkoo 四、等价代换定理证明：证明：).()(lim )()()()(lim)(

11、)(limxhxgxhxgxgxfxhxf 某某邻邻域域有有定定义义，在在若若函函数数0)(),(, )(xxhxgxf定理定理1 1( () )00( ) ( ),lim( ) ( ),xxf xg xxxf x h xa且且若若 = =0lim( ) ( ).xxg x h xa = =则则若若,)()(lim0axfxhxx . 0)(, 0)(,)()(lim0 xgxfaxgxhxx常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x,21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx ,211xx ,3113xx .21)1(2x

12、x 例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 .212)1ln(cos1220

13、0limlim xxxxxxx. 1)sin(sinsinlimlim00 xxxxxxx. 0212limlim00 xx.,0 时时已已知知 x.212sin)2arcsin(1limlim0sin0 xxxexxx例例5 5ln(1)00(1)11limlimxxxxexx ).1)1( , 11)1(lim0 xxxxx 例例6 60ln(1)lim.xxxa aa a + += = =例例7 7.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当821/)2(lim220 xxx原原式式000000lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim( )lim(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf 000)lim( )lim( )lim( )xxxxxxxf xf xf x 正确叙述并证明下面极限的海涅原理正确叙述并证明下面极限的海涅原理思考题目思考题目 limlim.例9，例9