人教初中数学《正方形》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品

1、18.2.3正方形(菱形)(矩形)正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形， 又是特殊的菱形.教学时要结合、教学目的1 .掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.2 .理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、 矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.二、重点、难点1 .教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.2 .教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.3 .难点的突破方法：本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法.重点是正方形定义.正方形学生在小

2、学阶段已有初步了解，生活中应用很广，其时正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定.学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它的边长的平方，本节课的教学是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面， 如何使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽了正方形对角线性质的知 识.在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形，培养学生实践能力.另外， 通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法.(1)掌握正方形定义是学好本节的关键.正方形是在

3、平行四边形的前提下定义的，它 包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形有一个角是直角的平行四边形 教科书中P110中的图18.2 14,具体说明正方形与矩形、菱形的关系.这些关系是教学的一个难点，也是教学内容的重点和关键，要结合图形或者教具，或用简单的集合关系图，使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚.这些概念重叠交错，不易搞清楚，在教学这些内容时进度可稍放慢些.(2)因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合， 不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以讲正方形性质的关键是在 复习矩形、菱形的基础上进行总结.可以将正方形的性质总结如下r：

4、边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.还要让学生注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形， 对角线与边白夹角是 45。；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这 是正方形的特殊性质.要使学生熟悉这些最基本的内容.(3)对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析的太具体，只要 强调能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形， 就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判士7E.（4）正方形的性质和判定一是本大节讲的平

5、行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综 合.可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容.还可以通过本节的教学，澄清学生存在的一些模糊概念.三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例 1是教材P58的例5,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1）,为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？对角

6、线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件?能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入1 .做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形.学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系.问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形.指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意:（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）有一个角是直角的平行四边形2.【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既（菱形）（矩形）正方

7、形L是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.五、例习题分析例1 （教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直 角三角形.已知：四边形 ABC虚正方形，对角线 AC BD相交于点。（如图）.求证：ABO BCO ACDO DAO是全等的等腰直角三角形.证明：.AC=BD,四边形ABCD正方形,ACL BQAO=CO=BO=DQE方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分） AAB（O ABC（O ACDO DAO都是等腰直角三角形， 并且 ABO 9 ABC（O2 ACD（ DAO 例2 （补充）已知：如图，正

8、方形ABCDK对角线的交点为 O, E是OB上的一点，DGL AE于G, DG交OA于F. 求证：OE=OF分析：要证明OE=OF只需证明 AE8 DFO由于正方形的 对角线垂直平分且相等，可以得到/ rAOE=/ DOF90° , AO=DO再 由同角或等角的余角相等可以得到/EAOh FDO根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得.证明：: 四边形ABC比正方形，又 DGL AE,/ EAOh FDO/EAO+ AEO= EDG+AEO=90 ./AOE= DOF=90 , AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等） AEODFQOE=OF .例3 （补充）已知：如,图，四

9、边形ABC虚正方形，分别过点 A、C两点作l i / l 2,作BM 于M DIU|1于11,直线MB DNb别交|2于0 P点.求证：四边形 PQM显正方形.分析：由已知可以证出四边形 PQM层矩形，再证 ABM DAN 证出AM=DN用同样的方法证 AN=DP即可证出 MN=NP从而得出结 论.证明：.PNL 11, QML 11,PN / QM / PNM=90 .PQ/ NM四边形PQMN1矩形. 四边形ABCD正方形/BADWADC=90 , AB=AD=DC正方形的四条边都相等，四个角都是直角）Z 1+7 2=90° .又 7 3+7 2=90° ,Z1=Z3.

10、MB阵 ADANAM=DN,同理 AN=DP.AM+AN=DN+DP即 MN=PN.四边形PQMN1正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）六、随堂练习1 .正方形的四条边，四个角，两条对角线2 .下列说法是否正确，并说明理由.对角线相等的菱形是正方形；（）对口角线互相垂直的矩形是正方形；（，）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）四条边都相等的四边形是正方形；（）四个角相等的四边形是正方形.（）1.已知：如图，四边形 ABCM正方形，E、F分别 为CD CB延长线上的点一且DE= BF.求证：/ AFE= / AEF.4.如图，E为正方形ABCDrt一点，且 EBC是等边三角形， 求/ EAD

11、与/ ECD的度数.七、课后练习1 .已知：如图，点 E是正方形 ABCD的边CD上一点，点 F是CB的延 长线上一点，且 DE=BE2.已知：如图， ABC 中，/C=90 , CD平分/ACB DEIBC于E, DF±AC于F.求证：四边形 CFD弱正方形.3.已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点,CD于 F,求证：AE=BE+DFAF平分/ DAE交求证：EA! AF.课后反思：15.2.2分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算重点难点1 .重点：熟练地进行分式的混合运算.2 .难点：熟练地进行分式的混合运算.3 .认知难点与突破方法教师强调

12、进行分式混合运算时， 要注意运算顺序，在没有括号的情况下， 按从左到右的 方向，先乘方，再乘除，然后加减 .有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序 . 混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1 .教科书例7、例8是,分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数 有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注 意最后的结果要是最简分式或整式 .2 .教科书练习1:写出教科书问题 3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应, 也

13、解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题丁二、课堂引入1 .说出分数混合运算的顺序.2 .教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同三、例题讲解（教科书,）例7计算分析这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子 ，、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简 分式.（教科书）例8计算：分析这道题是,分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序： 先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分， 注意运算的结果要是最简分式 .四、随堂练习计算：(x(3)(-a42 x)12

14、4)2x( a(九汽)2;)五、课后练习计算：(2)(1工 x y)(1-) y2a2 a /)a 4a 4(1 x1) zxyxy yz zx计算（六14,一-4,并求出当a -1的值.a 2 a2六、答案：四、（1） 2x（2） ab r （3） 3a b五、l.（l）2Xy 2（2）33）-x y a 2 z一， a2,，一，1.2. 原式=，当a -1时，原式=-1.a2 4313.3,1等腰三角形教学目标（一）教学知识点1 .等腰三角形的概念.2 .等腰三角形的性质.3 .等腰三角形的概念及性质的应用.（二）能力训练要求1 .经历作（画）出等腰三角形的过程，？从轴对称的角度去体会等腰

15、三角形的特点.2 .探索并掌握等腰三角形的性质.（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.重点难点重点：1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.教学方法探究归纳法.教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀.教学过程I .提出问题，创设情境师在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，？并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，？还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的

16、几何图形.来研究：三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？生有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是.师那什么样的三角形是轴对称图形？生满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，？也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.师很好，我们这节课就来认识一 种成轴对称图形的三角形 一等腰三角形.，n.导入新课师同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.B'IB,作出点B关于直线L的对称点C,连作一条直线L,在L上取点A,在L外取点 接AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.生乙在甲同学的做法中， A点可以取直线L上的任意一点.师对，按这种方法我们可以得到一系列

17、的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，？剪出一个等腰三角形.师按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三 角形.相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角.师有了上述概念，同学们来想一想.（演示课件）1 .等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴.2 .等腰三角形的两底角有什么关系？3 .顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4.底.边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？生甲

18、等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三 角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.师同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它，的对称轴，并看它的两个底角有什么关系.生乙我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等.生丙我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所 以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.生丁我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底 边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.生戊老师，我发现底边上

19、的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.师你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察.生齐声它们是同一条直线.师很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.生我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个 等腰三角形的两个底角相等，？而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高.师很好，大家看屏幕.（演示课件）等腰三角形的性质：1 .等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角"）.2 .等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、？底边上的高互相重合（通常称作主线合一 ”）.师由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三

20、角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程）.（投影仪演示学生证明过程）生甲如右图，在 4ABC中，AB=AC ,作底边 BC的中线 因为ABBDADAC, CD, AD,所以 BAD 叁匕 CAD （ SSS）.所以/ B=/C.生乙如右图，在 4ABC中，AB=AC ,作顶角/ BAC的角平分线 AD ,因为AB AC,BAD CAD,AD AD,所以 ABADCAD .一1 ,所以 BD=CD , / BDA= / CDA= / BDC=902师很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规 范.下面我们来看大屏幕.（演示课件）

21、例1如图，在4ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD求：4ABC各角的度数.师同学们先思考一下，我们再来分析这个题.生根据等边对等角的性质，我们可以得,到/ A= / ABD , / ABC= / C= / BDC , ?再由/ BDC= /A+ / ABD ,就可得至ij/ ABC= /C=/ BDC=2 / A.再由三角形内角和为 180°, ?就可求出ABC的三个内角.师这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把 ZA设为x的话，那么/ ABC、/ C都可以用x来表示，这样过程就更简捷.（课件演示）例因为 AB=AC , BD=BC

22、=AD , 所以/ ABC= /C=/ BDC./A=/ABD （等边对等角）.设 / A=x ,则/ BDC= / A+ / ABD=2x , 从而 / ABC= / C= / BDC=2x .于是在 ABC 中，有/ A+ ZABC+ ZC=x+2x+2x=180 °, 解得x=36 °.在4ABC 中，/A=35°, /ABC=/C=72°.师下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.m.随堂练习（一）课本练习 1、2、3.练习1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.1 1)(2)答案：（1） 72°（2） 30°

23、2 .如图，4ABC是等腰直角三角形（AB=AC , / BAC=90° ）, AD是底边BC上的高,标出/ B、/ C、/ BAD、/ DAC 的度数,图中有哪些相等线段答案：/ B=Z C=Z BAD= / DAC=45°3.如图，在 4ABC 中，AB=AD=DC , ZC的度数.答：/ B=77 , / C=38.5° .;AB=AC , BD=DC=AD ./ BAD=26°，求/ B 和（二）阅读 裸本，然后小结.W.课时小结并对性质作了简单的应用. 等腰三角形是轴 ,等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质

24、, 对称图形，它的两个底角相等（等边对等角） 且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高.我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们.V.课后作业（一）习题 13.3 第 1、3、4、8 题.（二）1 .预习课本.2.预习提纲：等腰三角形的判定. I.活动与探究如图，在4ABC中，过C作/ BAC的平分线 AD的垂线，垂足为 D, DE/AB交AC 于E.求证：AE=CE .过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，？等腰三角形的性质.结果：证明：延长 CD.交AB的延长线于 P,如图，在 4ADP和4ADC中，12,AD AD,ADP

25、ADC,ADPA ADC . ./ P=Z ACD .又 DE / AP, ./ 4=/ P. ./ 4=/ACD .DE=EC .同理可证：AE=DE . . AE=C.E.板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1 .等边对等角2 .三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1 .如果4ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A.某一条边上的高B.某一条边上的中线C.平分一角和这个角对边的直线D.某一个角的平分线2 .等腰三角形的一个外角是100。，它的顶角的度数是（）A. 80°B. 20° C, 80°和 20° D. 80°或 50°答案：1. C 2. C3 .已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm,并且它的周长为16 cm.求这个等腰三角形的边长.解：设三角形的底边长为x cm,则其腰长为（x+2） cm,根据题意，得4 （x+2） +x=16 .解得 x=4 .所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm