第三章 静态场及其边值问题的解ppt课件

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件DBtBEtDJH0tJ出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEBHJE12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )nSet 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解2分类分析求解电磁问题分类分析求解电磁问题静态电磁场静态电磁场0t0t电磁波电磁波按时间变化情况按时间变化情况第第3章章第第4、5、6、7、8章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其

2、边值问题的解3电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解400 HJEBD 0J 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEHBJE 12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )0ne 静态电磁场问题静态电磁场问题0t特点：电场和磁场独立特点：电场和磁场独立电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解50ED 0J 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件DEJE1212()0()nnSeEEeDD12(JJ )0ne 静态电场问题静态电场

3、问题按电荷静止或运动情况分类按电荷静止或运动情况分类静电场静电场恒定电流场恒定电流场静止静止 任任意意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解60HJB 出发点出发点Maxwell方程组方程组条条 件件本构关系本构关系边界条件边界条件HB 1212()()0snneeHHJBB 静态恒定磁场问题静态恒定磁场问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解7 本章内容安排本章内容安排 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问

4、题及解的惟一性定静态场的边值问题及解的惟一性定理理 3.5 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解83.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解9面对的问题面对的问题: :存在什么源？存在什么源？在何媒质环境中？在何媒质环境中？有何突变边界？有何突变边界？分析方法？分析方法？典型应用？

5、典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解102. 2. 边界条件一般性问题）边界条件一般性问题）( )( )( )0rrr DE微分形式：微分形式：( )( )DErr本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程一般性问题）基本方程一般性问题）n12n12()(| )0SSSeeDDEE0ddlESDCSq积分形式：积分形式：02t1tn2n1EEDDS或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件3. 3. 按媒质分类的两类问题特殊性问题）按媒质分类的两类问题特殊性问题）0理想介质：理想介质：0存在导体

6、：存在导体：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解11介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE导体内部的电场为零导体内部的电场为零0nnEDeeS0tnEDS或或 理想介质情况理想介质情况 导体情况导体情况 界面两侧场矢量的方向关系界面两侧场矢量的方向关系1n2n1t2t00DDEE 介质表面的自然边界条件介质表面的自然边界条件 静电平衡静电平衡 导体表面的边界条件导体表面的边界条件导体导体介质介质2, 011, 020E1EEne电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解12面对的问题！

7、面对的问题！分析求解方法：分析求解方法：已有方法及其适用范围？已有方法及其适用范围？利用静电场的特性，研究新利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？方法及其优越性？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解130E由由( )r称为静电场的标量电位函数或简称电位。称为静电场的标量电位函数或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解14求求

8、2. 电场强度与电位函数的关系电场强度与电位函数的关系EdEl 知知EdddlEl 知知求求E如何求出电位函数？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解15在均匀介质区域中，有在均匀介质区域中，有3. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，0EED202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程介质介质2 2介质介质1 12122 E11 E21022021 电荷区电荷区电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解164. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题2( )()qrrr 介质介质 E20 ()q

9、rr点电荷源情况：点电荷源情况：( )4qrCRoxzyRrr r311( )444qRqqE rRRR 31()RRR Rrr电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解174. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题(续续)dqd任意电荷源情况：任意电荷源情况：( (元电荷产生电位的迭加）元电荷产生电位的迭加）()( )4r dvrCRdqdvl体分布电荷源体分布电荷源( )4sdsrCRsdqdSl面分布电荷源面分布电荷源( )4ldlrCRldqdll线分布电荷源线分布电荷源( )4dqdrCR电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及

10、其边值问题的解1821120limd0PPlEl5. 利用电位求存在不同媒质空间中的问题利用电位求存在不同媒质空间中的问题 导体表面边界面导体表面边界面D 两理想介质分界面两理想介质分界面 （无强加自由电荷）（无强加自由电荷）0Snn1122常数，常数，SnSnn112221静电位的边界条件静电位的边界条件(任意静电场情况任意静电场情况)02t1tn2n1EEDDS实际问题中典型的静电场情况实际问题中典型的静电场情况电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解196. 由电位函数引出的经典物理量电压电位差）由电位函数引出的经典物理量电压电位差）( )( )dddPPQPQQElP

11、QEl P、Q 两点间的电位差两点间的电位差dEl 电场力做电场力做的功的功问题：选择不同的积分路径会改变问题：选择不同的积分路径会改变电压的计算结果吗？电压的计算结果吗？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解20静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (与零电位点的电压与零电位点的电压) ) 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义，比如其不能为无穷大。应使电位表达式有意义，比如其不能为无穷大。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区

12、域，通常应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远作电位参考点。取无限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。问题求解过程中参考点同一个问题只能有一个参考点。问题求解过程中参考点应是固定的。应是固定的。7. 电位参考点电位参考点解决办法：解决办法：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解21 例例 均匀电场的电位分布。选择点均匀电场的电位分布。选择点O O为电位参考点为电位参考点 例例 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l无限长直均匀线电荷产生的电位，无限长直均匀线电荷产生的电位，任选有限远处的某点

13、为电位参考点，例如，任选有限远处的某点为电位参考点，例如，= a 点点 例例 点电荷带电球的电位。选择无限远处为电位参考点点电荷带电球的电位。选择无限远处为电位参考点电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解22 例例3.1.1 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如下图。的均匀电荷分布，如下图。求两导体平板之间的电位和电场。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax

14、111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S121122( ) ,( )xx 分析分析用直接积分方法求解？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解230110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )Sxa bE xxea最后得最后得xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，0 x 处，处，1(0)0 x a2( )0a 处，处，0220( )( )SxbE xxea

15、 确定待定常数确定待定常数利用边界条件利用边界条件方法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解24 两区的介质不同？两区的介质不同？ 用高斯定理求解？用高斯定理求解？ 用用MaxwellMaxwell微分方程求解？微分方程求解？ 其它坐标系下的同类问题？其它坐标系下的同类问题？延伸应用思考：延伸应用思考：obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S12121E2E电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解25例例3.1.2 半径为半径为a的带电导体球，已知球体电位为的带电导体球，已知球体电位为U， 求空间电位分布及电场强度分布。求空间电位分布及电场强度分布。

16、解法一：导体球是等势体。解法一：导体球是等势体。ra时：时：0UE 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解26ra时：时：200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr 2raUer电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解27解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电总量为设导体球带电总量为Q Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场强度为：电场强度为：204rQEer001()44aaQQ

17、UE drra04QaU2raUEer2rraUE drdrraUr电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解28小结：求空间电场分布的方法小结：求空间电场分布的方法1 1、场源积分法、场源积分法积分困难，对大多数问题不能得出解析解。积分困难，对大多数问题不能得出解析解。2 2、应用高斯定理求解、应用高斯定理求解只能应用于电荷成对称分布的问题。只能应用于电荷成对称分布的问题。3 3、间接求解法、间接求解法先求解空间电位分布，再求解空间电场。先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的

18、求解。问题的求解。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解29面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用：典型应用：静电感应静电感应静电屏蔽静电屏蔽关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解30qC 1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两导体所组成电容器的电容两导体所组成电容器的电容12qqCU Cq 12Cqq 3.1.3 导体系统的电容与部分电容电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解31导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电介质导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电

19、介质与导体的带电量和电位无关与导体的带电量和电位无关决定电容量大小的因素决定电容量大小的因素电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解32假定导体假定导体/两导体带电荷两导体带电荷q /q求导体求导体/两导体间的电位两导体间的电位/电压电压 方法一：方法一：UqC 求解电容量的方法求解电容量的方法（利用与导体的带电量和电位无关）（利用与导体的带电量和电位无关） 方法二：方法二：按定义求得电容按定义求得电容假定导体假定导体/两导体的电位两导体的电位/电压电压求导体表面所带电量求导体表面所带电量q 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解33 解：设内导体的电荷为

20、解：设内导体的电荷为q q ，则由高斯定理可求得内外导体，则由高斯定理可求得内外导体间的电场间的电场44rr22qqDe,Eerr11d()44baqqbaUE rabab同心导体间的电压同心导体间的电压4qabCUba球形电容器的电容球形电容器的电容4Ca当当 时，时，b复习：复习：1、同心球形电容器的内导体半径为、同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其，其间填充介电常数为间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。的均匀介质。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容abo电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解34 复习：复

21、习：2、同轴线内导体半径为、同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln(

22、 / )2lb a电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解35 例例 3.1.3 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l解解 设两导线上的带电量分别为设两导线上的带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故可近似，故可近似地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间x处的电场强度为处的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差2100d11 ()dln

23、2DallaUElDaxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解36 例例3.1.4 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为b。内外导体。内外导体间充满介电常数分别为间充满介电常数分别为 和和 的两种理想介质，分界面半径为的两种理想介质，分界面半径为c。已知外导体接地，内导体电压为已知外导体接地，内导体电压为U。求求:(1)导体间的导体间的 和和 分布；分布； (2)同轴线单位长度的电容同轴线单位长度的电容12ED abc12分析：电场方向垂直

24、于边界，由边分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边界条件可知，在媒质两边 连续连续D解：设内导体单位长度带电量为解：设内导体单位长度带电量为l由高斯定律，可以求得两边媒质中由高斯定律，可以求得两边媒质中2lrDer1122/EDED12cbacUE drE dr12lnln22llcbac电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解3712212lnlnlUcbac 1221(lnln)rUeDcbrac 221121()(lnln)()(lnln)rrUearccbracEUecrbcbrac12212lnlnQCcbUac （2 2同轴线单位长度带电量为同轴线单

25、位长度带电量为 ，故单位长度电容为，故单位长度电容为l电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解38 a12b 例例3.1.5 球形电容器内导体半径为球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为，外球壳半径为b。其间。其间充满介电常数为充满介电常数为 和和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。12分析：电场平行于介质分界面，由分析：电场平行于介质分界面，由边界条件可知，介质两边边界条件可知，介质两边 相等。相等。ESD dSq2122()rDDq2122()rEEq解：令电场

26、强度为解：令电场强度为 ，由高斯定律，由高斯定律E2122 ()rqEer 1211( )()2 ()brqrE drrb 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解39小结：应用高斯定理求解静电场边值问题步骤：小结：应用高斯定理求解静电场边值问题步骤： 根据电荷分布，判断电场方向根据电荷分布，判断电场方向 判断电场方向与边界面关系垂直或相切）判断电场方向与边界面关系垂直或相切） 应用边界条件，判断是应用边界条件，判断是 连续还是连续还是 连续连续DE 应用高斯公式求解，一般用应用高斯公式求解，一般用 求解求解SD dSq电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的

27、解40面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用典型应用! !关联的一般性物理问题关联的一般性物理问题: :静电场的能量静电场的能量电容的储能电容的储能电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解41l 通过电位计算通过电位计算体分布电荷情况体分布电荷情况面分布电荷面分布电荷多导体组成的带电系统多导体组成的带电系统iq 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e双导体系统电容器的储能双导体系统电容器的储能1212211122211

28、22eWqqqqUCU3.1.4 静电场的能量静电场的能量 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解422. 电场能量密度电场能量密度EDw21e电场能量密度：电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE l 通过电场分布计算通过电场分布计算电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解43由边界条件知在边界两边由边界条件知在边界两边 连续。连续。

29、E解：设同轴线内导体单位长度带电量为解：设同轴线内导体单位长度带电量为Q QSD dSQ110(2)r ErEQ 110(2)rQEer 110ln(2)baQbUE dra ab01例例3.1.6 3.1.6 已知同轴线内外导体半径分别为已知同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间部分填充介，导体间部分填充介质，介质介电常数为质，介质介电常数为 ，如下图。已知内外导体间电压为，如下图。已知内外导体间电压为U U。求：导体间单位长度内的电场能量。求：导体间单位长度内的电场能量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解44110(2)lnlnUQba (lnln )rUEe

30、ba r12221011122eVVWE dVE dV2210122221111(2)2(lnln )2(lnln )bbaaUUrdrrdrbarbar21101(2)2 (lnln )Uba 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解45或或12eiiiWqU12eWQU110(2)lnlnUQba 21101(2)2 (lnln )Uba 知识延展：对电容器知识延展：对电容器12eWQU212eWCU电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解463.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定

31、磁场的矢量磁位和标量磁位3.3.3 电感电感3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3 恒定磁场分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解47面对的问题面对的问题: :存在什么源？存在什么源？在何媒质环境中？在何媒质环境中？突变边界上有何现象？突变边界上有何现象？分析方法？分析方法？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解482. 2. 边界条件一般性问题）边界条件一般性问题）微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程一般性问题）基本方程一般性问题）积分

32、形式：积分形式：3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件0HJB 0dddSSCSBSJlHBHSJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解49面对的问题！面对的问题！分析求解方法：分析求解方法：已有方法及其适用范围？已有方法及其适用范围？利用静磁场的特性，研究新利用静磁场的特性，研究新方法及其优越性？方法及其优越性？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解50()A r称为矢量磁位或

33、简称磁矢位。称为矢量磁位或简称磁矢位。1. 矢量磁位的定义矢量磁位的定义3.3.2 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位优越性：可以任意选择规定磁矢位的散度优越性：可以任意选择规定磁矢位的散度0BBA 在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。0A如何求出电位函数？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解512. 磁矢位的微分方程一般性问题）磁矢位的微分方程一般性问题）在无源区：在无源区：ABHJ0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边

34、值问题的解523. 无限大均匀媒质空间中的问题无限大均匀媒质空间中的问题（特殊性问题）（特殊性问题）21( )( )rr 类比方法求解类比方法求解1( )( )4Vr dvrCR211222233AJAJAJ 123123JxyzxyzA eA eA eJ eJ eJ eAJA2( )( )4iiiVJ r dvA rCRJ( )A( )C4Vr dvrR 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解533. 无限大均匀媒质空间中的问题无限大均匀媒质空间中的问题(续续)对于电流的不同分布形式：对于电流的不同分布形式：l体电流分布体电流分布l面电流分布面电流分布l线上的电流线上的电

35、流J()A( )C4VrdvrR J ( )A( )C4ssrdsrR ( )A( )C4lI r dlrR 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解544. 存在不同媒质空间中的问题一般性问题）存在不同媒质空间中的问题一般性问题）磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件0A 12AA12()nSeHHJ/HA 121211()nSeAAJSCSBlAdd2t1tAA 2n1nAA12AA121211()nSeAAJJA2电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解55关于矢量位关于矢量位A 的补充说明的补充说明 线电流的矢量位与电流方向一致，求解比较简单线电流的矢量位

36、与电流方向一致，求解比较简单 对体分布电流，需要直接从泊松方程求解，其过程比较复杂对体分布电流，需要直接从泊松方程求解，其过程比较复杂 引入矢量位引入矢量位A是为了简化求解磁场，但只有对复杂问题才能是为了简化求解磁场，但只有对复杂问题才能显示出其优越性，对于简单问题，还是直接求解磁场为宜显示出其优越性，对于简单问题，还是直接求解磁场为宜电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解56 解：先求长度为解：先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到点到点 的距离的距离 。那么。那么22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221()d4(

37、)LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 3.3.1 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流的磁矢位的磁矢位 L 02( )ln2zILA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR电磁场与电磁波电磁场与电磁波002( )ln02zILA reC xyzL-L( , , ) z zddzI le I z RL 当当 时时zzzLLII

38、LAeeLLILe222002202lnln442ln2 当当 时时,A为无限大为无限大.可以将可以将A的参的参考点选取在考点选取在 处处,即令即令L 0002ln2zILCe 故有故有于是于是00ln2zIAe 第三章 静态场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解58面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用：典型应用：电感自感、互感）电感自感、互感）关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？静态磁场静态磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解591. 磁通与磁链磁通与磁链3.3.3 电感电感 C 回路回路l 磁通

39、磁通CSSlASASBdddl 磁链磁链特征：回路可以是任意几何回路特征：回路可以是任意几何回路与所有电流回路铰链的总磁通与所有电流回路铰链的总磁通特征：特征：回路是电流回路回路是电流回路计入电流存在的所有回路计入电流存在的所有回路每个回路是计入与之铰链的全部每个回路是计入与之铰链的全部磁通磁通CI电流回路电流回路 I电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解60n: 为磁场铰链的电流与回路为磁场铰链的电流与回路电流电流I 之比之比（不一定为整数）（不一定为整数） n 单匝线圈单匝线圈 多匝线圈多匝线圈CI 细回路细回路 粗导线回路粗导线回路 iCI o粗回路粗回路l 磁链计算

40、磁链计算oi o :外磁链；外磁链； i :内磁链内磁链电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解61IL称为导体回路称为导体回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感ILiiILoo2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流和磁链的大小无关。的磁介质有关，与电流和磁链的大小无关。 自感的特点：自感的特点：特征：磁链是特征：磁链是I自已产生的自已产生的 iCI o粗回粗回路路电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静

41、态场及其边值问题的解62 解：先求内导体的内自感。设同轴解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为线中的电流为I I ，由安培环路定理，由安培环路定理0ii22,22IIHBaa处面元的磁通为0ii2ddd2IBSla(0)a 例例3.3.2 求同轴线单位长度的自感。求同轴线单位长度的自感。得得则其磁链为则其磁链为30ii4ddd2IIlIaabadIiB2222idaIaIIlHC电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解63因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为300ii40dd28aIIlla0ii8LI故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的

42、外自感。再求内、外导体间的外自感。00ooddln22baIIblla00ioln82bLLLa02IB0ooddd2Il那么那么o0oln2bLIa故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解64 例例3.3.3 计算平行双线传输线单位长度的自感。（计算平行双线传输线单位长度的自感。（D a ）00o11d()dln2DaaIIDaBSlxlxDxa011( )()2yIB xexDx外磁链为，外磁链为， 解解 应用安培环路定理和叠加原理应用安培环路定理和叠加原理 可得，可得，xyzxDaPII于是单位

43、长度的外自感为，于是单位长度的外自感为，o00olnlnDaDLIaa电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解6500ioln4DLLLa00i284L 两根导线单位长度的内自感为两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解6621211111 (=)MMLI回路回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。21212IM 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2特征：特征： 在在C

44、2中看由中看由I1产生的磁链产生的磁链特征：特征： 在在C1中看由中看由I2产生的磁链产生的磁链纽曼公式纽曼公式122112012dd4CCMMMllMR 112C1 C1 中总磁链中总磁链:1:1总总 =1+12 =1+12221C2 C2 中总磁链中总磁链:2:2总总 =2 +21 =2 +21考虑：考虑： 1 1总总 = =？；？； 2 2总总 = =？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解67 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。 满足互易关

45、系，即满足互易关系，即M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值。为负值。 互感的特点：互感的特点：电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解68计算自感或互感的一般步骤为：计算自感或互感的一般步骤为：(1)(1)假设回路中的电流为假设回路中的电流为I I；(2)(2)根据根据I I求出磁感应强度求出磁感应强度B B；(3)(3)求出与回路交链的磁链；求出与回路交链的磁链；(4)(4)计算比值，求出自感或互感。计算比值

46、，求出自感或互感。电感的计算电感的计算直接使用纽曼公式直接使用纽曼公式利用磁场能量利用磁场能量电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解6902IBe0001dd dd22dbzdbSddIIzBSz由图中可知由图中可知()tan( 3)3()zbdbd长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路Idz60bddSz穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I I ，根据，根据安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.4 如下图，长直导线与三角如下图，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求

47、它们之间的互感。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解70031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2bMbdbId因而因而故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解71面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用！典型应用！关联的一般性物理问题：关联的一般性物理问题：磁场能量磁场能量电感的储能电感的储能静态磁场静态磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解721. 通过磁场分布计算磁场能量通过磁场分布计算磁场能量磁场能量

48、密度：磁场能量密度：磁场能量：磁场能量：积分区域积分区域V内的内的磁场能量磁场能量对于线性各向同性媒质，则有对于线性各向同性媒质，则有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解73体分布电流时体分布电流时面分布电流时面分布电流时m1d2VWJ A V m1d2sSWJA S 回路线电流时回路线电流时md22CIIWAl 总2. 通过磁矢位计算磁场能量通过磁矢位计算磁场能量电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边

49、值问题的解743. 通过电感计算磁场能量通过电感计算磁场能量电感储能单个载流回路）：电感储能单个载流回路）：电感储能（电感储能（ N个载流回路）：个载流回路）：2m122IWI L总m11111221 2NNNjjjkjjjkNNjkjkjkWIII I M 总22m1 1221 21111222NNjkjkjkWI I ML IL IMI I例如对例如对2个载流回路个载流回路电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解75例例3.3.5 求半径为求半径为a的无限长直导线单位长度内自感。的无限长直导线单位长度内自感。 a0解：设导体内电流为解：设导体内电流为I I，则由安培环路定

50、律，则由安培环路定律02()2IrBeraa则导体内单位长度磁能为则导体内单位长度磁能为22220240011224mVVIWB dVr dVa222024001224aIrrdra2016I0228mWLI电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解76 例例3.3.6 试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。 解：由安培环路定理，得解：由安培环路定理，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解7722220m322() () 2 d22cbIcWcb

51、三个区域单位长度内的磁场能量分别为三个区域单位长度内的磁场能量分别为2200m120() 2 d2216aIIWa 2200m2() 2dln224baIIbWa 24220222223ln4()4()Icccbcbbcb电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解78单位长度内总的磁场能量为单位长度内总的磁场能量为mm1m2m3222422000222223lnln1644()4()WWWWIIIbcccbacbbcb单位长度的总自感单位长度的总自感422000m22222223lnln822()4()WbcccbLIacbbcb内导体的内自感内导体的内自感内外导体间的外自感内

52、外导体间的外自感外导体的内自感外导体的内自感电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解79例例3.3.7 矩形回路与长直导线共面，如图。求二者之间的矩形回路与长直导线共面，如图。求二者之间的互感。当矩形回路绕轴旋转互感。当矩形回路绕轴旋转90时，求磁场能量的变化。时，求磁场能量的变化。解：长直导线产生的磁场为解：长直导线产生的磁场为012IBr 01011ln22a bSaII cabdcdrra BSabcI2I1rdr0121ln2cabLMIa a+b/2cI2I1此时磁场能量为此时磁场能量为Wm。当矩形回路绕轴旋转当矩形回路绕轴旋转90时，时， =0，此时，此时的互感的

53、互感M=0，此时的磁场能量变为，此时的磁场能量变为01212ln2mmmWWWcI IabMI Ia mW 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解80 电位函数满足电位函数满足PoissonPoisson方程方程1212121212snnnn 基于电位求解分析静态电场问题的方法基于电位求解分析静态电场问题的方法 电位的边界条件电位的边界条件2 ()E 通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解81l磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件12AA121211()nSeAAJ2 ,(B=A)

54、AJ l 磁矢位函数满足磁矢位函数满足PoissonPoisson方程方程 基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解823.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解83面对的问题面对的问题: :存在什么源？存在什么源？在何媒质环境中？在何媒质环境中？有何特殊现象？有何特殊现象？边界有何物

55、理量的突变？边界有何物理量的突变？分析方法？分析方法？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解84 什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！ 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场为恒定电场。的电场

56、为恒定电场。 恒定电场和静电场满足相同的麦氏方程，具有相同的性质，恒定电场和静电场满足相同的麦氏方程，具有相同的性质，都是有散无旋场。都是有散无旋场。 电媒质中描述恒定电场的基本变量是电媒质中描述恒定电场的基本变量是JE、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解852. 2. 边界条件一般性问题）边界条件一般性问题）() D微分形式：微分形式：()DE本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程一般性问题）基本方程一般性问题）12nn12()0()0eJJeEE J d0d l0SCSE积分形式：积分形式：1n2n1t2t00JJEE或或3. 3. 按媒质分类的两类问题特殊性问题

57、）按媒质分类的两类问题特殊性问题）0导电媒质：导电媒质：0存在介质：存在介质：3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件00EJ(D d)SqSJE n12()SeDD1n2nSDD均匀导电媒质中存在均匀导电媒质中存在净电荷？净电荷？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解861t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEJEEJ1n2n0SDE 导电媒质情况导电媒质情况 存在介质情况存在介质情况 界面两侧场矢量的方向关系界面两侧场矢量的方向关系1n2n1t2t00JJEE 分界上两侧的边界条件分界上两侧的边界条件 界面上两侧场量的特殊性

58、界面上两侧场量的特殊性导体导体介质介质22, 11, 01Ene导电媒质导电媒质2 2导电媒质导电媒质1 122, 11, 212E1Ene2E面电荷？面电荷？1n2n()SDD导体是等位体？导体是等位体？有限有限21? 如如 2 1、且、且290，那么，那么10，即电场，即电场线近似垂直于良导体表面。此时，良导体表面可线近似垂直于良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为等位面。近似地看作为等位面。若媒质若媒质1 1为理想介质，即为理想介质，即 1 10 0，则，则J1=0J1=0，故，故J2n= 0 J2n= 0 且且 E2n= 0 E2n= 0，即导体表面处的电流和，即导体表面处的电流和

59、电场与分界面平行。电场与分界面平行。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解87恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别： （1 1与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为运动电荷和静止电荷，但其密度都不随时间变化。运动电荷和静止电荷，但其密度都不随时间变化。 （2 2恒定电场既可存在外部介质中，也可存在于导恒定电场既可存在外部介质中，也可存在于导体内部；一般情况下其表面同时有法向和切向分量，电体内部；一般情况下其表面同时有法向和切向分量，电场不垂直于表面，此时导电体不是等位体。场不垂直于表面，此时导电体不是等位体。ab1

60、1、 （3 3恒定电场中有电场能量的损耗恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的能量。电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解88面对的问题！面对的问题！分析方法：分析方法：哪些方法最适合？哪些方法最适合？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解89什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！分析解决问题的关键是求电场强度基于已知电荷的方法基于电流欧姆定律） 基于电位