函数与几何综合应用

1、1 7.函数与几何综合应用 海南中考典例精： I 例 1.【06 海南中考】如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线y = x m与该 二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y上. (1 )求 m 的值及这个二次函数的关系式; (2)P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A、B 不重合)，过 P 作X轴的垂线与这个二次函 数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为h，点 P 的横坐标为 关系式，并写出自变量 x的取值范围; (3) D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 2 2 PE=h=yP-yE =(x

2、+1)-(x -2x+1)=-x +3x. 2 即 h=-x +3x (0 v xv 3). (3)存在. x，求h与X之间的函数 上是否存在一点 P，使得 四边形 DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时 P 点的坐标; 若不存在, 请说明理由 解:点 A(3,4)在直线 y=x+m 上, / 4=3+m. / m=1. 2 设所求二次函数的关系式为 y=a(x-1) 点 A(3,4)在二次函数 y=a(x-1)2的图象上, 2 -4=a(3-1) , - - a=1. 所求二次函数的关系y=(x-1)2 2 即 y=x -2x+1. (2)设yp 和 yE . 解法 1 :要使四边形 DC

3、EP 是平行四边形，必需有 PE=DC. 2 点 D 在直线 y=x+1 上，点 D 的坐标为(1,2), 2 2 - -x +3x=2 .即 x -3x+2=0 .3 解之，得 X1=2, X2=1 (不合题意，舍去) 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. 例 2.【07 海南中考】如图，直线y=-|x 4与x轴交于点A，与y轴交于点 C , (1) 求该二次函数的关系式; (2) 设该二次函数的图象的顶点为 M，求四边形 AOCM 的面积; 3 (3) 有两动点D、E同时从点 O 出发，其中点 D以每秒个单位长 2 度的速度沿折线 OAC 按 O T A T C

4、 的路线运动，点 E以每秒4 ODE 的面积为 S . 不存在，请说明理由; 请求出 S 关于t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围; 设So是中函数 S 的最大值，那么So = 解：(1 )令 x=0，则 y = 4 ；令 y = 0 则 x = 3. /.A 3,0、C 0,4 二次函数的图象过点C 0,4，/可设二次函数的关系式为 0_9a*3b*4，解之，得 0 = a b +4 . -x2 8 x 4 已知二 次函数的图象经过点 A、C 和点B -1,0 . 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O T C T A的路线运动，当D、 E两点相遇时，它们都停止运动 设D、 E同时从点

5、 0 出发t秒时, 请问D、E两点在运动过程中，是否存在 DE / 0C，若存在，请求出此时 t的值；若 又B -1,0 2 y = ax bx 4 , b=8 3 3 /所求二次函数的关系式为 y匸 y| M C O X 4 3 3 (2) / y = _4x2+8x+4=_(x_1j+16 3 3 3 3 根据题意得 D、 E 两点相遇的时间为 J 3t 咚t2 27t 2 2 5 5 2 t 24时，设点 E 的坐标为（x3 , y3 ），类似 ii 可得y3 11 顶点 M 的坐标为1 , 一 |过点 M 作 MF 丄X轴于 F (3 1 卜16 + 丄4+16沢1 =10 2 3 2

6、 四边形 AOCM 的面积为10 (3)不存在 DE / OC 若 DE / OC,则点 D、E 应分别在线段 OA、CA 上，此时 1t2，不满足 3 3 1t2. 不存在 DE / OC. 现分情况讨论如下: ii 当 1 t W2时, 设点 y2 _ 5 - 4t -4 ? 1 3 当0 t 1时，孑43严; E 的坐标为x2 , y2 36 -16t 设点 的坐标为 X4 , y4 3t-3 6t -12 5 - S 二 S.AOE -S.AOD =2 3 3 2 5 2 5 5 243 80 例 3.【08 海南中考】如图，已知抛物线经过原点 O 和 x轴上另一点 A,它的对称轴 x

7、=2 与 x 轴交于点 C,直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 36 16t iii 当 6 (1 )求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； (2) 求证：CB=CE ;D 是 BE 的中点； (3) 若 P(x, y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P, 使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 解(1) / 点 B(-2,m)在直线 y=-2x-1 上，/ m=-2 冷 2)-仁 3. B(-2,3) /抛物线经过原点 0 和点 A，对称轴为 x=2, 点 A 的坐标为(4,0). 设所求的抛物线对应函数关系式为 y=a(x-0)

8、(x-4). 将点 B(-2,3)代入上式，得 3=a(-2-0)(-2-4), 所求的抛物线对应的函数关系式为 y =丄 x(x -4)，即 y =丄 x2 -X 4 4 (2)直线 y=-2x-1 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为 D(0,-1) E(2,-5). 过点 B 作 BG / x轴，与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G, 则 BG 丄直线 x=2, BG=4. 在 Rt BGC 中，BC= CG2 BG2 =5. T CE=5, - CB= CE=5. 过点 E 作 EH / x轴，交 y 轴于 H , 又点 F、D 的坐标为 F(0,3)、D(0,-1), F

9、D = DH=4, BF=EH=2 , / BFD = / EHD=90 . DFB 也厶 DHE ( SAS) , BD = DE. 即 D 是 BE 的中点.则点 H 的坐标为 H(0,-5). 7 (3) 存在. 由于 PB=PE, 点 P 在直线 CD 上， 符合条件的点 P 是直线 CD 与该抛物线的交点 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b. b = _1 1 将 D(0,-1) C(2,0)代入，得 .解得 k= , b = _1. 2k+b=0 2 1 直线 CD 对应的函数关系式为 y=x-1. 2 例 3.【09 海南中考】如图 2,已知抛物线经过坐标原点 0 和

10、 x轴上另一点 E,顶点 M 的坐 标为(2,4);矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x轴、y 轴上，且 AD= 2, AB= 3. (1) 求该抛物线所对应的函数关系式； (2) 将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 2 所示的位置沿 x轴的正方向匀速平行 移动，同时一动点 P 也以相同的速度 从点 A 出发向 B 匀速移动，设它们运动的时间为 T动点 P 的坐标为(X, X2 *_X), 4 解得 x =35 , X2 =3-、.5. X-1 = x2_x. 2 4 15 1- .5 2 t 秒(0 WW3)，直线 AB 与该抛物线的交点为 5

11、当 t= 5时，判断点 P 是否在直线 ME 上, 2 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 出这个最大值；若不存在，请说明理由. N (如图 3 所示). 并说明理由； S,试问 S 是否存在最大值？若存在，求 解：(1)因所求抛物线的顶点 M 的坐标为(2,4)， 8 2 故可设其关系式为 y=ax-2 42 9 解得 a=-1 2 o 所求函数关系式为 y = - x -2 亠4，即y = _x2 4x . (2)点 P 不在直线 ME 上. 根据抛物线的对称性可知 E 点的坐标为(4,0), 又 M 的坐标为(2,4)，设直线 ME 的关系式为 y=kx + b. 所以直线 ME

12、 的关系式为 y=-2x+8 由已知条件易得，当 t=?时，OA=AP=5 , - P- 5 : 2 2 0 , PN= -t +3 t (i )当 PN=0,即 t=0 或 t=3 时，以点 P, N, C, D 为顶点的多边形是三角形，此三角 1 1 形的高为 AD , S= DC AD=丄 X 3 X 2=3. . 2 2 (ii )当 PN 工0时以点 P, N, C, D 为顶点的多边形是四边形 / PN / CD , AD 丄 CD, 1 1 2 - s= (CD+PN ) AD= 3+(-1 +3 t) 2 2 3 其中(0v tv 3)，由 a=-1 , 0v v 3, 2 3

13、 综上所述，当时，以点 P, N , C, D 为顶点的多边形面积有最大值,于是得 Nk +b =0 2k +b =4 L ，解得?=_2 p=8 2 X=-t +3 t+3 = 21 此时S最大二. 4 x 10 基础达标演练 、解答题 (09 黑龙江佳木斯)如图，抛物线y = 1 x2 bx c经过A(-、3,0) BO,- 3两点，此抛物 3 线的对称轴为直线丨，顶点为C，且丨与直线AB交于点D . (1) 求此抛物线的解析式； (2) 直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (3) 连接 BC ,求证：BC = DC ； 2 3. ( 09 四川广安)已知：抛物线y =ax bx c与

14、x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C.其 中点 A 在 x轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的负半轴上，线段 OA、OC 的长(OAOC)是方程 2 x 5X 4 =0的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x =1 . (1) 求 A、B、C 三点的坐标; (2) 求此抛物线的解析式； (3) 若点 D 是线段 AB 上的一个动点(与点 A、B 不重合)，过点 D 作 DE / BC 交 AC 于 点 E,连结 CD，设 BD 的长为, CDE 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系式，并 写出自变量 m的取值范围.S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D 点坐 标；若不存在，请说

15、明理由. 2 ( 09 四川达州)如图 1，抛物线y =a(x 3)(x-1)与x轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 右侧)，过点 A的直线交抛物线于另一点 C,点 C 的坐标为(-2, 6). (1) 求 a 的值及直线 AC 的函数关系式； (2) P 是线段 AC 上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 M，交 x轴于点 N. 求线段 PM 长度的最大值； 在抛物线上是否存在这样的点 M，使得 CMP 与厶 APN 相似？如果存在，请直接写出 4 说明： ( ii)中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合. 这个最大值为 21 1. 所有满足条件的点 M 的坐标(

16、不必写解答过程) 11 4. ( 09 福建龙岩)如图，抛物线 y=1x2 mx，n与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，四 2 边形 OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点 D ( 5, 2),连结 BC、AD . (1) 求 C 点的坐标及抛物线的解析式； (2) 将厶 BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90后再沿 x轴对折得到 BEF (点 C 与点 E 对应)， 判断点 E是否落在抛物线上，并说明理由； (3) 设过点 E 的直线交 AB 边于点 P,交 CD 边于点 Q.问是否存在点 P,使直线 PQ 分 梯形 ABCD 的面积为 1 : 3 两部分？若存在，求出

17、 P 点坐标；若不存在，请说明理由. 5. (09 河南)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、 D(8,8).抛物线y=ax2bx过A、C两点. (1) 直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2) 动点P从点A出发，沿线段 AB向终点B运动，同时点 Q从点C出发，沿线段CD向 终点D运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC 于点E . 过点E作EF丄AD于点F，交抛物线于点 G 当t为何值时，线段 EG最长？ 连接EQ 在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得 CEQ是等腰三角形？ 请直接写出相应的

18、t值. x 12 6. (09 湖南长沙)如图，二次函数 y二ax2 bx c ( a = 0 )的图象与x轴交于A、B两点， 与y轴相交于点 C .连结AC、BC, A、C两点的坐标分别为 A(-3,0)、C(0, 3),且当 x = Y 和x = 2时二次函数的函数值 y相等. (1) 求实数a, b, c的值； (2) 若点M、N同时从B点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC边运动， 其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为 t秒时，连结MN，将 BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标； (3) 在(2)的条件下，二次函数图象的

19、对称轴上是否存在点 Q，使得以B, N , Q为项点 的三角形与 ABC相似？如果存在，请求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由. 13 7. (09 江西)如图，抛物线y - -X2 2x 3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)， 与y轴相交于点C，顶点为D . (1 )直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点P为线段BC上的一个动点，过点 P作 PF / DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m ; 用含m的代数式表示线段 PF的长，并求出当m为何值时，四边形 PEDF为平行四 边形? 8. (09 辽宁本溪)如图所示，在平面直角

20、坐标系中，抛物线 A(-1,0) , B(3,0) , C(0,3)三点，其顶点为 D，连接BD，点P是线段BD上一个动点(不与 B D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E ,连接BE . (1) 求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； (2) 如果P点的坐标为(x, y), PBE的面积为s ,求s与x的函数关系式，写出自变量x的 取值范围，并求出s的最大值； (3) 在(2)的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF ,把 PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P，请直接写出P 点坐标，并判断点 P是否在该抛物线 上.设 BCF的面积为S，求S与m的函数关系式 y = ax2 bx c ( a = 0)经过 2 9. (0