二次函数图像与性质总结

1、与性质总Document number ： NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1 ,二次函数基本形式：的性质:。的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质向上y轴x>0时，），随x的增大而增大；工<。时，丁随犬的增大而减小；x=。时，y 有最小值0 .向下y轴x>0时，随x的增大而减小；x<0 时，丁随犬的增大而增大；犬=。时，y 有最大值。.a的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.y = a/+c的性质：上加下减。a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质向上y轴x>0时，y随x的增大而增大；a<0

2、 时，），随X的增大而减小；X =。时，y 有最小值C .向下），轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0 时，丁随犬的增大而增大；x=0时，y 有最大值c .3.' =伞-人的性质:左加右减。的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质向上X二h时，y随x的增大而增大；xv/7 时，y随x的增大而减小；犬=力时，y有最小值0 .向下X二h时，y随x的增大而减小；x<人 时，y随x的增大而增大；x=/?时，）， 有最大值0 .4. y = a(x-h) +k 的性质：。的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质向上X二h时，y随x的增大而增大；7 时，y随犬的增大而减小；x=/?

3、时，y 有最小值%.向下X二h时，y随x的增大而减小；xv/i 时,y随*的增大而增大；x=时,y 有最大值A .二、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y = "L)2+k,确定其顶点坐标(h，k)；保持抛物线 =，二的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：尸ox-V y=«(x-/O2V向右(人0)或左(k0)】 平移四个单.位向右60)【或左SvO)】 平移阳个单位向上伏0)或向下QvO)】平移田个单位 - y=ax2+k向上伏o)【或下伏0)】平移内个单位 H产向上(Q0)【或下伏0) 平移网个小位向右(60)1或左(kO)】

4、 平移同个单位2 .平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：，= a/+bx + c沿y轴平移:向上(下)平移个单位，y = *+x + c变成 y = ax1 +bx + c + m (或 y = ax2 + bx + c m )y =+)x + c沿轴平移：向左(右)平移机个单位 y = a/+以+ c变成y = a(x + my + bx + m) + c (或 y = a(x - in)2 + b(x - in) + c)三、二次函数y =与y = /+bx +。的比较从解析式上看，三心-疗+4与产+队+，是两种

5、不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即与生，其中 2a 4h4ac-b2h = -, k =.2a 加四、二次函数y =+6 + c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数），=，丁+6+。化为顶点式y = “（x-人-+h 确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点 （2/?,。、与x轴的交点（玉，0）, （x2, 0）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴 对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与工轴的交点，与,，轴的交点.五、二次函数&g

6、t; = «/+以+ C的性质1.当>0时，抛物线开口向上，对称轴为.丫 = -二，顶点坐标为 2a"4ac-h2>< 2。' 4 ，当x<-，时，），随X的增大而减小；当x>-冬时，），随X的增大而增大； 2a2a当X = -时，有最小值士"一"- -2a4a2.当“<0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -：,顶点坐标为2a用q当时，）,随I的增大而增大；当时，随x的增2a 4a ）2a2a大而减小；当x=_?时，y有最大值号.2a4a六、二次函数解析式的表示方法L一般式：y = ax2 +bx + c （

7、a , b ,。为常数，""0）；2 .顶点式：y = a（x-h）2 +k （ o , h , & 为常数，“。0）；3 .两根式：y = "（x-A）（x-x,） （aw0,演，x,是抛物线与x轴两交点的横坐 标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次 函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即二加c"时，抛 物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以 互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数广/+及 + c中，。作为二次项系数，显然"0 .当“

8、>0时，抛物线开口向上，。的值越大，开口越小，反之。的值越小，开口越大；当“<0时，抛物线开口向下，。的值越小，开口越小，反之。的值越大，开口越大.总结起来，。决定了抛物线开口的大小和方向，。的正负决定开口方向，同的大小决定开口的大小.2 .一次项系数人在二次项系数。确定的前提下，方决定了抛物线的对称轴.在>0的前提下，当>0时,当5 = 0时,当<0时,即抛物线的对称轴在）轴左侧;即抛物线的对称轴就是y轴； 即抛物线对称轴在）轴的右侧.在"V。的前提下，结论刚好与上述相反，即当人>0时，-=>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 111当人=0

9、时，-，=0,即抛物线的对称轴就是y轴；当b<0时，-3<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.总结起来，在。确定的前提下，人决定了抛物线对称轴的位置.他的符号的判定：对称轴工=-3在y轴左边则C必0,在），轴的右侧则 2aab0,概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c当c。时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与，轴交点的纵坐标为 正；当c = 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标 为。；当。0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为 负.总结起来，。决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要“，人。都确定，那么这条抛物线就是唯一确

10、定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二 次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一 般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称y =+以+。关于x轴对称后，得到的解析式是y = 一6 bx- c ;y = a（xi/+A关于八,轴对称后，得到的解析式是尸-（-力）-；2 .关于,，轴对称y = a/+bx + c关于y轴对称后，得到的解析式是），= <4-反+ c ；+A关于），轴对称后，得到的解析式是y = a（x + +M ；3 .关于原点对称&