二次函数平行四边形存在性问题例题

1、二次函数平行四边形存在性问题例题一.解答题(共9小题)1 .如图，抛物线经过 A ( - 1, 0), B (5, 0), C (0,得)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N,使以A, C, M, N四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理2 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于 点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点B (点B在点A右 侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2

2、)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交 抛物线于点E.求ME长的最大值；(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P,使以M, F, B, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.3 .已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线厂肝&与x轴、y轴的交点 分别为A、B两点，将/ OBA对折，使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交 x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若(1)中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP 为平行四边形？若存

3、在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由；(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N (点F 在点N的左侧)两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q, 使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在， 请说明理由.4 .已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线尸T科&与x轴、y轴的交点 分别为A、B,将/OBA对折，使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴 于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平 行四边形

4、？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出| QA- QO|的取值范围.5 .如图，RtA OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA与x轴重合， /OAB=90, OA=4, AB=2,把RtAOAB绕点。逆时针旋转90°,点B旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点 O, C, A三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点 P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两点，问：四边形PEFM的 周长是否有最大值？如果有，请求出

5、最值，并写出解答过程；如果没有，请说明 理由.(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点 N,使O (原点)、G H、 N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出 N点的坐标；若不存在， 请说明理由.经过B、C两点.抛物线y=ax2u4x+c(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求 出点E的坐标和 BEC面积的最大值?(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM, 点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P,使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；

6、如果不存在， 请说明理由.备月团7 .如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B (4, 0)、C (2, 0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点 D,过D作DE±x轴, 垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作 圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标；(3)过D点作直线DH/ AC交AB于H,当4DHF的面积最大时，在抛物线和直 线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接 写出符合要求的M、N两点的横坐标.8 .已知直线y

7、=kx+b (kw0)过点F (0, 1),与抛物线y?x2相交于B、C两此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除3本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式;(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线， 与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图 2,设 B (m. n) (m<0),过点 E (0. - 1)的直线 l /x 轴，BR!l 于R, CSL l于S,连接FR FS.试火J断 RFS的形状

8、，并说明理由.9 .抛物线y=x2+bx+c经过A (0, 2), B (3, 2)两点，若两动点D、E同时从原 点。分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的 速度是每秒2个单位长度.(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？2017年05月03日1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析.解答题(共9小题)1. (2016?安顺)如图，抛物线经过 A(1, 0), B (5, 0), C

9、 (0,(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N,使以A, C, M, N四 A ( 1, 0), B (5y=aX2+bx+c (aQ),0), C (0,解得抛物线的解析式为:y=x2 - 2x -5_.回'点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理 )三点在抛物线上,ab+i05c 二2r ia"2b=-25C2此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持5(2)二.抛物线的解析式为:2x 2.称

10、轴为直线x=畀-二2连接BC,如图1所示,- B (5, 0), C (0,互)2 '设直线BC的解析式为y=kx+b (kw 0),5k+b=0解得直线BC的解析式为y=Lx-当 x=2 时,y=1 -2一 -2P (2,(3)存在.如图2所示,当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2, C (0, -1-),- Ni (4,-4)； I当点N在x轴上方时，此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持7此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持11如图，过点N2作N2D，x轴于点D, 在AANzD

11、 与AMzCO 中, "ZN2AB-ZCM2O，AN2zan2d=zk2co.AN2DAM2CO (ASA,. N2D=OC=.,即N2点的纵坐标为-Lx （20167+堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- 3x-3与x轴交于 点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点 B （点B在点A右侧）. （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交 抛物线于点E.求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P,使以M, F, P为顶点的四边形是

12、平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.-2x-互巨 2 2解得 x=2+VH或 x=2 - k/14，n N2 (2+/H,N3 (2-714, -1).综上所述，符合条件的点N的坐标为（4,-二），（2+/14,）或（2 -V14，与）.【解答】解：(1)当y=0时，3x 3=0, x=- 1 A ( - 1, 0)当 x=0时，y=- 3, C (0, -3),抛物线的解析式是：y=X2- 2x- 3.当 y=0 时，x2 - 2x - 3=0,解得：xi= - 1 , x2=3 . B (3, 0).(2)由(1)知 B (3, 0), C (0, -3)直线 BC

13、的解析式是：y=x- 3,设 M (x, x -3) (0< x< 3),贝U E (x, x2 -2x- 3)ME= (x-3) - (x2-2x-3) =- x2+3x=- ( x-y) 2号;.当x=1时，ME的最大值为一.24亭,M (卷,(3)答：不存在.由(2)知ME取最大值时ME=1, E (三,42MF=1-, BF=OB- OF搀.2'2设在抛物线x轴下方存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形,WJ BP/ MF, BF/ PM.P1 (0,-大)或 P2 (3,当 P2 （3,当 Pi （0, -1）时，由（1）知 y=x2-2x-3=-

14、 3 -1 Pi不在抛物线上.）时，由（1）知 y=X2 - 2x - 3=0 - P2不在抛物线上.综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形 是平行四边形.3. （2016?义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线产q肝8 与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将/ OBA对折，使点。的对应点H落在 直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由;（3）若把（1）中

15、的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N （点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点 Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在,请说明理由.【解答】解：（1）连接CH 由轴对称得 CHI±AB, BH=BQ CH=CO 在 CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2 直线厂-1工十6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点 当 x=0 时，y=6,当 y=0 时，x=8 .B (0, 6), A (8, 0) .OB刊 OA=8,在RtAOB中，由勾股定理，得AB=10设 C (a, 0),. OC=aCH=

16、a AH=4, AC=8- a,在 RtAAHC中，由勾股定理，得 (8-a) 2=a2+42解得a=3C (3, 0)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,由题意，得I缸64解b+cI0=9a+3b4cr i解得：, U-JH b- 4 c=6抛物线的解析式为：一工一工11 ? 25n 1?(2)由(1)的结论,设BC的解析式为：y=kx+b,则有解得b=6k-2直线BC的解析式为：y=- 2x+6设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P (m, n)作 PEL OA于 E, HD 交 OA于 F. ./PEOW AFD=90, PO=DA PO/ DA丁 / POE玄 DAF. .O

17、P/ AADFP.点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点(3)由题意得，平移后的解析式为:对称轴为：x=2, 当 x=0 时,y=16当y=o时，。甘依-2)?选 解得:V F在N的左边F (七 0), E (0,-磊)，N 碎,0) 210£连接EF交x=2于Q,设EF的解析式为：y=kx+b,则有EF的解析式为：y=- -x-8164. （2016?采圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线安得/6与 x轴、y轴的交点分别为A、B,将/OBA对折，使点。的对应点H落在直线AB 上，折痕交x轴于点C.此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除13本文档可自

18、行编辑和修改内容，感谢您的支持(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平 行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出| QA- QO|的取值范围.此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持17【解答】解：(1)点C的坐标为(3, 0). (1分)点A、B的坐标分别为A (8, 0), B (0, 6),可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a (x- 3) (x-8)

19、.将x=0, y=6代入抛物线的解析式，得. (2分).二过A、B、C二点的抛物线的解析式为 尸广乂:6 ( 3分)(2)可得抛物线的对称轴为直线,顶点D的坐标为设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为y=-2x+6.4分)设点P的坐标为(x, - 2x+6).解法一：如图，作OP/ AD交直线BC于点P, 连接AP,彳PM，x轴于点M.v OP/ AD,丁. / POM=/ GAD, tan / POM=tanZ GAD. 4.OH 6卜25即一 2" &二 16经检验是原方程的解.耳T此时点P的坐标为学，与）.（5分）但此时qmW，G仁擀，OM<GA.气

20、&T正嘉知T NFQNIG出 .OP< AD,即四边形的对边 OP与AD平行但不相等, 直线BC上不存在符合条件的点P （6分）解法二：如图，取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,彳PN± x轴于点 N.贝U/PEO力 DEA, PE=DE可得 PEN ADEG由优才器=4,可得E点的坐标为（4, 0）.NE=EG=, ON=OE- NE=-, NP=DG=.2216 点P的坐标为得，y1）. （5分）x=7时，Z叶2父争'6二苓工2216点P不在直线BC上.直线BC上不存在符合条件的点P. （6分）口（3） |QA-QO|的取值范围是区也殳划叱工!.（8分

21、）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK则| QA- QO|=0,当Q在AH的延长线与直线BC交点时，止匕时| QA- QO|最大，直线AH的解析式为：y=- x+6,直线BC的解析式为：y= - 2x+6,联立可得：交点为（0, 6） .OQ=6, AQ=10|QA-QO|=4,|QA-QO| 的取值范围是：00|QA- QO| <4.5. （2016?山西模拟）如图，RtAOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，/ OAB=90, OA=4, AB=2,把RtA OAB绕点。逆时针旋转90°,点B旋转到点C的位置，一条抛

22、物线正好经过点 O, C, A三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点 P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明 理由.(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点 N,使O (原点)、G H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出 N点的坐标；若不存在, 请说明理由.可以确定点C的坐标为,AB=2,把4AOB绕点O逆时针旋转90°,又因为抛物线经过原点,(2, 4);由图可知点A的坐标为(4, 0),

23、故设 y=a*+bx 把(2, 4), (4, 0)代入,0=16er+4b4=4a+2b解得a=-lb=4所以抛物线的解析式为y=- x2+4x;(2)四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P(a, - a2+4a)则由抛物线的对称性知OE=AF EF=PM=4- 2a, PE=MF- a2+4a,则矩形 PEFM的周长 L=24- 2a+ ( - a2+4a) =-2 (a- 1) 2+10,当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；(3)在抛物线上存在点N,使O (原点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平 行四边形，理由如下：.y= x2

24、+4x= - (x-2) 2+4 可知顶点坐标(2, 4),此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除17本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持知道C点正好是顶点坐标，知道 C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=- 4作x轴的平行线，与抛 物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有-x2+4x=- 4解得xi=2+2差，龙=2-2吏.N 点坐标为 Ni (2+22, -4), N2 (2-|2V2, -4).6. (2015?葫产岛)如图，直线y=-93与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛 物线y=aW咛x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解

25、析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求 出点E的坐标和 BEC面积的最大值？(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM, 点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P,使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在， 请说明理由.此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持19y备用国点B的坐标是(0, 3),点C的坐标是(4, 0),，,抛物线y=a*+x+c经过B> C两点, 416X4+c=O=-x2+x+3.84(2)

26、如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M, EF交x轴于点F,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,则点M的坐标是(x, - x+3),19【解答】解：(1)二.直线y=-二x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B, 4设点E的坐标是(x,-±x21x+3),此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持EM=-'x2+±x+3 - ( -x+3) = _-lx2x 84482二 &BE(=SBEM+SaMEC工ll,L二义(- -x2+- -x) X 4=-x2+3x4= - (x- 2) 2+3,4当x=2时，即点

27、E的坐标是(2, 3)时， BEC的面积最大，最大面积是3.(3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.如图2,：-由(2),可得点M的横坐标是2,丁点M在直线y= x+3上，点M的坐标是(2,年)，又二点A的坐标是(-2, 0),AM所在的直线的斜率是： W示塾= y=- -x2gx+3的对称轴是x=1,84设点Q的坐标是(1, m),点P的坐标是(x, -1-x2+1x+3),. x< 0,点P的坐标是（-3,-会.如图3,由（2）,可得点M的横坐标是2,丁点M在直线y=- -x+3上， 4点M的坐标是（2,卷）,又二点A的坐标是（-2, 0）,一AM所

28、在的直线的斜率是： 的不T: y= x2+yx+3 的对称轴是 x=1,84设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是（x,-借"X24x+3）,此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持23+ 工 +7工+二才O 44. x> 0, 点P的坐标是（5,-里）.S由（2）,可得点M的横坐标是2,丁点M在直线y=- -x+3上，4 点M的坐标是（2,卷），又二点A的坐标是（-2, 0）, 二 AM=限"2）产+仔-0）2 啰， y=- 4x2+-x+3 的对称轴是 x=1,84;设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是（x, -

29、?1+3）,“二 T解得I 15，点P的坐标是(1,耳.8综上，可得在抛物线上存在点P,使彳导以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标是(-3,21此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除本文档可自行编辑和修改内容，感谢您的支持277. (2015甘吾州)如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B (4, 0)、C(-2, 0),连接AR AC,在第一象限内的抛物线上有一动点 D,过D作DE，x轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，

30、求 G点的横坐标；(3)过D点作直线DH/ AC交AB于H,当4DHF的面积最大时，在抛物线和直 线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接16a+4b+2=04a-2b+2=0所求的抛物线为：y=4/卷升2.（2）抛物线y=J_K2+XK+2,则点A的坐标为（0, 2）,设直线AB的解析式为y=kx+b,lb=2直线AB的解析式为y=- -x+2,设F点的坐标为（x, -lx+2）,则D点的坐标为（x, 2.G点与D点关于F点对称,.，G点的坐标为（X,二,若以G为圆心，GD为半径作圆，使得。G与其中一条坐标轴相切，若。G与x轴相切则必须由DG=GEIP - -

31、x2+x+2 - （L 2一 十z）二 J二 十24 24242 T解得：x=|-, x=4 （舍去）；若。G与y轴相切则必须由DG=OE即孑工一式一 ' -二一二解得：x=2, x=0 （舍去）.综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时,横坐标为2或（3） M点的横坐标为2±2&，N点的横坐标为春，得工十2），G点的8. (2015?资阳)已知直线y=kx+b (kw 0)过点F (0, 1),与抛物线y=L/相交4于B、C两点.(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴

32、的平行线， 与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图 2,设 B (m. n) (m<0),过点 E (0. - 1)的直线 l /x 轴，BR!l 于R, CSL l于S,连接FR FS.试火J断 RFS的形状，并说明理由.【解答】解：(1)因为点C在抛物线上，所以C (1,十)，又直线BC过C、F两点，飞二L故得方程组： 1k+l>=4”,b二 1所以直线BC的解析式为：y=-三x+1;4(2)要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则 MD=OF,如图1所 示，设 M (x, 一 x+1),则 D (x,4x2), 44.MD/y 轴,MD=-由 MD=OF,可得 | -徐+1 -yx2| =1,当一Wx+1 - x2=1 时， 44解得xi=0 （舍）或xi= - 3,所以M （-3,子），当二x+1x, 二1 时,