维纳滤波器的设计与分析

1、课程(论文)题目：维纳滤波器的设计与分析内容：1背景在许多实际应用中，人们往往无法直接获得所需要的有用信号，能够观测到的是退 化了或失真了的有用信号。为了从信号中提取或恢复原始信号， 需要设计一种滤波器对 其进行滤波，使它的输出尽可能逼近原始信号，成为最佳估计。所谓“最佳”，是以一 定的准则来衡量的，包括：最大后验准则；最大似然准则；均方准则；线性均方准则。 维纳滤波器就是最佳滤波器的典型代表之一，采用的是线性均方准则。滤波理论的发展对于信息科学的发展有着很大的贡献，几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究 领域，本文主要讲述的就是维纳滤波器在信号处理方面的去噪功能。2算法原理维纳滤波器是一

2、个线性时不变系统，设其冲激响应为h(n)，输入为 x(n) =s(n) v(n)，则输出错误！未找到引用源。y(n) ' h(m)x(n - m)，我们希望x(n) 通过这个系统后得到的y(n)尽量接近于s(n)，因此称y)为s(n)的估值。按照最小均 方误差准则,h(n)应满足正交方程:Rxs(m)=為h(i)Rxx(m_i),-m。式中，Rxs(m)是s(n) 与x(n)的互相关函数，Rxx(m)是x(n)的自相关函数，这就是著名的的维纳-霍夫方程。本文采用最佳维纳滤波方法实现随机信号的维纳滤波。设h(n)为一因果序列，长度为N，同样利用最小均方误差准则，h(n)应满足：L = R

3、xxh ，其中 h 二h(0),h(1),h(N -1)T，q 二 Es(n)x(n)，Rxx 二 Ex(n)xT(n)。当 Rxx为满秩矩阵时， hR'is。由此可见，利用有限长的h(n)实现维纳滤波器，只要已知 Rxx和Q，就可 以按上式解得满足因果性的h。只要选择的N足够大，它就可以很好地逼近理想无限长 的维纳滤波器。3算法实现本文设计的FIR滤波器阶数为N，输入样本个数为L。利用生成的L个s(n)与x(n) 估计Rxx和并检测生成的x(n)自相关函数和互相关函数，使用 MATLAB软件绘制 维纳滤波前后对比图，估计h(n)与理想h(n)对比图，理想维纳滤波与 FIR维纳滤对比

4、图，改变N和L观察滤波效果。程序流程图如下所示：检测x(n)的自相关函数 和互相关函数V图1程序流程图部分程序段如下所示：%得到一个符合要求的x(n)序列while(1)wn = sqrt(sigma_a2)*( randn( L,1);sn = filter(1, a_, wn);vn = randn (L,1);xn = sn + vn;r_xx = xcorr(x n,'u nbiased');r_xx_t = a.Aabs(-K:K);%r_xx_t为自相关函数的理论值 r_xx_t(K+1)=r_xx_t(K+1)+1;%r_xx(L-K:L+K) 为自相关函数的实际

5、值 p = xcorr(s n,xn ,'u nbiased');r_xs = p(L : L+K);%r_xs为互相关函数的实际值rou_xx = sum(r_xx(L-K:L+K)-r_xx_t').A2)/sum(r_xx_t.A2);rou_xs = sum(r_xs-a.A0：K').A2)/sum(a.A0：K.A2);if rou_xx < 0.03 && rou_xs < 0.01break;endend%构造x(n)的N阶自相关矩阵R_xxn=0:N-1;for i=1:Nfor j=1:NR_xx(i,j)=r_x

6、x(i-j+L);endendhopt=inv(R_xx)*r_xs(1:N);% 利用维纳一霍夫方程求 h hopt_t=0.2379*(0.7239)An; %理想 h4仿真结果(1)图2和图3所示的是当N=11,L=1000时，维纳滤波前后x(n)和s(n)的比较 图。显然，与s(n)相比，x(n)在维纳滤波前与s(n)相差很大，维纳滤波后较接近s(n)， 可见滤波效果较好。图4为估计h(n)与理想h(n)的对比，二者近似程度很高。图5为FIR维纳滤波器的效果图，很难从图3和图5中比较出差异，只能通过二者最小均方差 来比较，理想维纳滤波e =0.2425 ,FIR维纳滤波ef =0.24

7、23。可见，理想维纳滤波效果FIR维纳滤波图2维纳滤波前x(n)和s(n)图3理想维纳滤波后 x(n)和s(n)(6)(7)(8)(9)(10)图4估计h(n)与理想h(n)图5 FIR维纳滤波后x(n)和 s(n)固定L = 5000，分别取N =4、21，观察N的大小对h(n)的估计和滤波效果的影响。当 N =4 时，ef =0.2386 ；当 N =21 时，ef= 0.2465。显然，N越大，滤波效果越好F9i guifc 鹫.nHrt TcaL DaiLtcp Wncnw Hi phD金口各E网曰右倉進0目口色)与僧：着色的比掠A图6 N =4估计h(n)与理想h(n)图8 N =2

8、1估计h(n)与理想h(n)图7 N =4FIR维纳滤波后s(n)与x(n)图9 N=21FIR维纳滤波后s(n)与x(n)(3)固定N =11,分别取L =1000050000,观察L的大小对h(n)的估计和滤波效果的影响。h(n)与h(n)越接近，精度越高，滤波效果越好当L -10000时，ef =0.2395 ；当 50000时，ef =0.2465。从仿真结果可知，L越大,图10 L =10000估计h(n)与理想h(n)图11 L=10000FIR维纳滤波后s(n)与x(n)图12 L =50000估计h(n)与理想h(n)图13 L = 50000FIR维纳滤波后s(n)与x(n)5总结从仿真结果可以看出，样本个数越大，参数精度越高。影响维纳滤波效果的因 素包括样本个数L、FIR滤波阶数，且均成正比关系，L越大或者FIR滤波器的阶数越 大则维纳滤波的效果越好。维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续 的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函 数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平