初三数学三角函数应用

1、初三数学三角函数应用1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为千米/小时小楠家住在距离公路米的居民楼（如图8中的P点处），在他家前有一道路指示牌正好挡住公路上的段（即点和点分别在一直线上），已知， ，小楠看见一辆卡车通过处，秒后他在处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗？请说明理由 ABPMN（图8）(参考数据：1.41，1.73)2.如图是某货站传送货物的平面示意图， AD与地面的夹角为60°为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°， 因此传送带的落地点由点B到点C向前移动了2米（1）求点A与地面的高度

2、；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米，那么请判断距离D点14米的货物是否需要挪走，并说明理由(参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75，取)B第4题图BC37°A45°D60°3.如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点到球心的长度为厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为.OEFG图10（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差；（2）联结，求的余切值.4.通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一

3、一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can，如图（1）在ABC中，AB=AC，底角B的邻对记作canB，这时canB，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°= ；（2）如图（2），已知在ABC中，AB=AC ，canB ，求ABC的周长BAA第10题（2）BCC第10题（1）B5.如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米

4、处现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处北东CDBEAl（第12题图）（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）（参考数据：，）6.冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼。该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°. (参考数据

5、：sin29°0.48；cos29°0.87；tan29°0.55)(1) 中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？(2) 若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）7.如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3米，且与灯柱BC成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想。问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。（结果保留根号）ADB灯柱3米150°第18题图公 路轴线CE 8.2010年5月，第42届世博会将在上海隆

6、重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理念，市政府对许多基础设施进行修缮。如图，某地下车库的入口处有斜坡长为5米，其坡度为，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为（参考数据：，）（1）求车库的高度；（2）求斜坡新起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）、9.林场工作人员王护林要在一个坡度为512的山坡上种植水杉树，他想根据水杉的树高与光照情况来确定植树的间距.他决定在冬至日（北半球太阳最偏南），去测量一棵成年水杉树，测得其在水平地面上的影长AB=16米，测得光线与水平地面夹角为，已知.（如图1） （1）请根据测得的数据求出这棵成年水杉树的高度（即AT的长）；NM光线水平线山坡T （2）如图2，他

7、以这棵成年水杉树的高度为标准，以冬至日阳光照射时前排的树影不遮挡到后排的树为基本要求，那么他在该山坡上种植水杉树的间距（指MN的长）至少多少米？(精确到米)TBA光线水平线（图1） （图2） 10.小明是世博志愿者，前不久到世博园区参观。园区的核心区域“一轴四馆”（如左图所示）引起了他的关注。小明发现，世博轴大致上为南北走向，演艺中心在中国馆的正北方向，世博中心在中国馆的北偏西45°方向，且演艺中心、世博中心到中国馆的距离相等.从中国馆出发向西走大约200米，到达世博轴上的点E处，这时测得世博中心在北偏西26.6°方向。小明把该核心区域抽象成右侧的示意图（图中只显示了部分信

8、息）.（1）把题中的数据在示意图上标出，有关信息用几何语言加以描述（如ABMN等）；（2）试求出中国馆与演艺中心的距离（精确到1米）NME . A中国馆世博轴.B 演艺中心世博中心C.主题馆 D .东北（世博核心区域的示意图）（备用数据：，）11.高速公路BC (公路视为直线)的最高限速为120千米时(即米秒)在该公路正上方离地面20米的点A处设置了一个测速仪（如图九所示）已知点A到点B的距离与点A离地面的距离之比为13: 5，点A测得点C的俯角为30°(1)求点B与点C的距离；(2) 测速仪监测到一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是2.5秒，试通过计算，判断该汽车在这段限速路上

9、是否超速?(参考数据：)BC。（图九）12. 教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.BCA 根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2（2）对于，

10、A的正对值sad A的取值范围是 . （3）已知，其中为锐角，试求sad的值.三角函数的应用复习题1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为千米/小时小楠家住在距离公路米的居民楼（如图8中的P点处），在他家前有一道路指示牌正好挡住公路上的段（即点和点分别在一直线上），已知， ，小楠看见一辆卡车通过处，秒后他在处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗？请说明理由 ABPMN（图8）(参考数据：1.41，1.73)解：同意小楠的结论过点作，垂足为MNAB， 在RtPQA中，在RtPQB中，千米/小时千米/小时（1分）小楠的结论是正确的APBCQ（第2题图）2.已知：如图，斜坡AP的

11、坡度为12.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin76°0.97，cos76°0.24，tan76°4.01）解：（1）过点A作AHPQ，垂足为点H斜坡AP的坡度为12.4，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k13k=26解得k=2AH=10答：坡顶A到地面PQ的距离为10米（2）延长BC交PQ于点DBCAC，ACPQ，BDPQ四

12、边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DHBPD=45°，PD=BD设BC=x，则x+10=24+DHAC=DH=x-14在RtABC中，即解得，即答：古塔BC的高度约为19米第3题图3.小明在电视塔上高度为米的处，测得大楼楼顶的俯角为。小杰在大楼楼底处测得处的仰角为.（1）求大楼与电视塔之间的距离；（2）求大楼的高度（精确到1米）（参考数据：解：(1)由题意可知：，在中, ，解得大楼与电视塔之间的距离的长为。 (2)过点D点作DFAB，垂足为F由题意可知：，在中, 大楼的高度约为。4.如图是某货站传送货物的平面示意图， AD与地面的夹角为60°为了提高传送过程的安全

13、性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°， 因此传送带的落地点由点B到点C向前移动了2米（1）求点A与地面的高度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米，那么请判断距离D点14米的货物是否需要挪走，并说明理由(参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75，取)B第4题图BC37°A45°D60°解：（1）作AEBC于点E ， 设, 在RtACE中，在RtABE中， ， BC=CE-BE， 解得答：点A与地面的高度为6米（2）结论：货物不用挪走 在RtADE中，

14、 CD=CE+ED= 货物不用挪走 5，一艘轮船自南向北航行，在处测得北偏东方向有一座小岛，继续向北航行60海里到达处，测得小岛此时在轮船的北偏东63.5°方向上之后，轮船继续向北航行约多少海里，距离小岛最近？（第5题图）北东（参考数据：， ，）解：过点作的垂线，垂足为点设，在Rt中，在Rt中， ， ，解，得 答：轮船继续向东航行约15海里，距离小岛C最近. 6如图7，小岛正好在深水港口的东南方向，一艘集装箱货船从港口出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，分钟后在处测得小岛在它的南偏东方向，求小岛离开深水港口的距离.（精确到千米）ABC北北（图7）参考数据：，. 【方法一】过点

15、作，垂足为在中， 在中， 【方法二】过点作，交延长线于在中，设， ，得 答：小岛离开深水港口的距离是千米（图六）HFEDABC7已知：如图六，九年级某班同学要测量校园内旗杆CH的高度，在地面的点E处用测角器测得旗杆顶点C的仰角CAD45°，再沿直线EF向着旗杆方向行走10米到点F处，在点F又用测角器测得旗杆顶点C的仰角CBA60°；已知测角器的高度为1.6米，求旗杆CH的高度（结果保留根号）解：根据题意，设DB=米在RtCBD中，CBD=60°CD=DB·tan60°=米在RtACD中，CAD=45°CD=AD=米+=10解得米CD=

16、米CH=米答：旗杆CH的高度是米8将两块三角板如图放置，其中C=EDB=90°，A=45°，E=30°，AB=DE=12，求（1）重叠的边DF的长度 （2）重叠部分四边形DBCF的面积解8。.  12-43； 483-609。如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点到球心的长度为厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为.OEFG图10（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差；（2）联结，求的余切值.解：（1）过点作，垂足为点.OEFG图10H 小球在最高位置和最低位置时的高度差就是的长. 根据题意

17、，可知 在中， . . （2）联结.在中， .10通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can，如图（1）在ABC中，AB=AC，底角B的邻对记作canB，这时canB，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°= ；（2）如图（2），已知在ABC中，AB=AC ，canB ，求ABC的周长BAA第10题（2）BCC第10题（1）

18、B 解： （1）can30°=- （2）在ABC中， canB ，- 设过点A作AH垂足为点H， AB=AC ABC的周长=-11。解：过点C作CDAE，垂足为点D，此时轮船离小岛最近，BD即为所求由题意可知：A=21.3°，AB=80海里，CBE=63.5°在RtACD中，tanA=， ；同理：； ， 解得： 12如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米处现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处北东CDB

19、EAl（第12题图）（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）（参考数据：，）12解：（1）作BHl，垂足为点H，则线段BH的长度就是点B到航线l的距离根据题意，得ADE=90°，A=60°，AED=30°又AD=2，AE=4，AB=10，BE=6BEH=AED=30°，BH=3，（2）在RtBCH中，CBH=76°，又，CD=CH-DH=3.38答：该轮船航行的速度约为每小时40.6千米13如图11，世博园段的浦江两岸互相平行，C、D是浦西江边间隔200m的两个场馆海宝在浦东江边的宝钢大舞台处，测得，

20、然后沿江边走了500m到达世博文化中心处，测得，求世博园段黄浦江的宽度(结果可保留根号)BDCF浦西浦东A（图11） 13，解：过点作交于点,，四边形是平行四边形，,又，在中，=答：世博园段黄浦江的宽度为14冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼。该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°. (参考数据：sin29°0.48；cos29&

21、#176;0.87；tan29°0.55)(1) 中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？(2) 若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）14 解：（1）沿着光线作射线AE交CD于点F, 过点F作FGAB于点G由题意, 在RtAFG中，GF=BC=12, ， ， 居民住房会受影响 （2）沿着光线作射线AE交直线BC于点E.由题意, 在RtABE中，AB=20, ， 至少要相距37米660ABCGFHD1米E（第15题图）15某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米.现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与F

22、G垂直且长均为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且. （1）求点D与点C的高度差DH的长度；（2）求所用不锈钢材料的总长度（即ADABBC，结果精确到0.1米）. （参考数据：，）15解：（1）DH（米）.（2）过点B作BMAH，垂足为M. 由题意得：MHBCAD= 1，. AMAHMH. 在RtAMB中， ，AB（米）.ADABBC（米）.答：点D与点C的高度差DH为米；所用不锈钢材料的总长度约为米.660ABCGFHD1米EM16. 教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小

23、与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.BCA 根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2（2）对于，A的正对值sad A的取值范围是 . （3）已知，其中为锐角，试求sad的值.16、解：（1）B；（2）；BCDHA(3) 如图，在ABC中，ACB=，sinA.在AB上取点D，使AD

24、=AC，作DHAC，H为垂足，令BC =3k，AB =5k， 则AD= AC=4k， 又在ADH中，AHD=，sinA. ，.则在CDH中，.于是在ACD中，AD= AC=4k，.由正对定义可得：sadA=，即sad.17如图9，小杰在高层楼点处，测得多层楼最高点的俯角为，小杰从高层楼处乘电梯往下到达处，又测得多层楼最低点的俯角为，高层楼与多层楼之间的距离为已知米，求多层楼的高度（结果精确到1米）参考数据：，CEABD图917. 解：过点作，垂足为 由题意，得：，1分 ， 在Rt中， 在Rt中， （米） 答：多层楼的高度约米.18如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3

25、米，且与灯柱BC成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想。问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。（结果保留根号）ADB灯柱3米150°第18题图公 路轴线CEFGADB灯柱3米150°第18题图公 路轴线CE 18解：过点C作CF/AB，交DE于点F，过点F作FGAB于点GDE 与CD垂直，在直角三角形DFC中，CD=3米，CF=6米根据题意四边形FCBG为矩形 CF=BG=6米，BC=FGAB=28米，E为AB的中点，EG=14-6=8米在直角三角形EFG中， FG=米 BC=米答：

26、当灯柱高为米时能取得最理想的照明效果。19如图是一座大楼前的六级台阶的截面图，每级台阶的高为0.15米，宽为0.30米，现要将它改为无障碍通道（图中EF所示的斜坡），如果斜坡EF的坡角为8º，求斜坡底部点F与台阶底部点A的距离AF（精确到0.01米）BADEF（第19题图）（备用数据：tan8º=0.140，sin8º=0.139，cos8º=0.990）19解：作EHAB，垂足为点H由题意，得EH=0.9，AH=1.5在RtEFH中，FH6.429AF=FH-AH=6.429-1.5=4.9294.93（米）202010年5月，第42届世博会将在上海隆

27、重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理念，市政府对许多基础设施进行修缮。如图，某地下车库的入口处有斜坡长为5米，其坡度为，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为（参考数据：，）（1）求车库的高度；（2）求斜坡新起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）20 (1) i= ， 设CD=t，BD=2t- 则在中，BC=t=, 得 t=5 CD=5米（2）BD=2t=10米在RtADC中，CD=5， AD=518.66米- AB=AD-BD=18.66-10=8.66米21、林场工作人员王护林要在一个坡度为512的山坡上种植水杉树，他想根据水杉的树高与光照情况来确定植树的间距.他决定在冬至日（北半球太

28、阳最偏南），去测量一棵成年水杉树，测得其在水平地面上的影长AB=16米，测得光线与水平地面夹角为，已知.（如图1） （1）请根据测得的数据求出这棵成年水杉树的高度（即AT的长）； （2）如图2，他以这棵成年水杉树的高度为标准，以冬至日阳光照射时前排的树影不遮挡到后排的树为基本要求，那么他在该山坡上种植水杉树的间距（指MN的长）至少多少米？(精确到米)TBA光线水平线NM光线水平线山坡T （图1） （图2）21、解：（1）在中，令 则,即， 解得，. 答：这棵成年水杉树的高度为12米. （2）作,垂足为， 在中, ，令， 则，又在中，由，解得，11.2.答：在该山坡上种植水杉树的间距至少11.2

29、米.图7BADCH22如图7：某水坝的横断面为梯形，坝顶宽为米，坝高为米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为求（1）斜坡的坡角；（2）坝底宽（精确到米）（参考数据：， ）22.解：（1）斜坡的坡角是， 即. ， . . （2）过点作，垂足为点. 由题意可知：（米），（米）. 在中，（米）. 在中， ， . （米）. . （米）. 答：斜坡的坡角为，坝底宽约为米.DC23如图8，沙泾河的一段两岸、互相平行，、是河岸上间隔60米的两个电线杆小明在河岸上的处测得，然后沿河岸走了120米到达处，测得，求该段河流的宽度的值（结果精确到01米，计算中可能用到的数据如下表）角度35°05708207070°094034275ABF图8 23解：过作, 交.（如图