用平移坐标法探究平行四边形的存在问题

1、用平務坐标袪探究平iiHia形的存在问題存在性问题是ifi年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分 折能力要求较高，有一定的难IL为此借用简单的平務坐标法来探究平形的存在性冋題解 平It Eli!形的存在性间题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步il图，第三步计算.如果已知三个定点，探寻平fiElia形的第El个1贞点，符合条件的有3个点：以已知三个定点 为三角形的頂点，il毎个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交臥血果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照ill或对角线分为两种悄况.更为通用的方 法是灵活运用向量和中心对称的性顾,可以使得解題简便.假定

2、-个点为頂点,然后在按照已知 的三直来确定。平移坐标法的思路：先由體目条件探索三自的坐标（若只有两个定点，可设一个动自的坐 标）.再画岀以三点为贞点的平行四边形，根据坐标平務的性质写岀第E1个换自的坐标.最后根 据题目的要求（动点在什么曲线上），判斷平liEli!形的存在性.1、平杨坐标法的探究如图1,点A、B、C是坐标平面不在同一貞线上的三自.（1）画出以A、B、c三自为顷点的平行四边形.（2）若A、B、C三贞的坐标分别为（几X）、（勺,）、（兀，乃），写岀第四个顷点D的坐标. 解：（1）如图3, UA、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以A、B、C三点为顶点的平fiElffl形有三个

3、:以BC为对角线,有口 CABD1；以AC为对角线，有口 ABCD2；以AB为对角线, 有 EJACBD3.（2）在DCABD1中，线g AC平移到BD1,因A-B横坐标增加（花_西）、纵坐标增加（力一儿）, 根据坐标平稼的性质得D1 （兀+兀一為，儿+儿一X ）.同理得 D2（£+X|X2,比+ 才一'2）、°3（吃+册一冷，y2 + y 厂）'3）.結论：以不在同一貞线上的三点为顷点的平行四边形有三个.由已知的三点坐标可根扬图形 平杨的坐标II质，直接写岀第El个取点的坐标称之为平杨坐标法.2.平杨坐标法的运用2.1.三个定点，一彳、动点，探究平行呱边形

4、的存在性.例1如图4,拋物线y = +bx-3与X轴交于A B两点，与y轴交干C自，冃经过点（2, 一3。）,対称轴是直"1,顶点是M.可修编.(1) 求枢物线对应的函数表达武；(2) 经ijC,M两点作貞线与兀轴交于点W,在枢物线上是否存在送样的点P,使以点P、A、ff： (1 ) tIO的函数表这式为y = x2-2x-3.(2 )由已知条件易探究得4 C、4/三点坐标为力(一1,0)、 C(0, - 3)、N (-3,0).下面探讨以三点4G"为顷虑的平fiElill形的第El个顷虑坐标.如图5,由平務的性质直 接写出第E1个1贞点的坐标：以为对角线，第E1个顷点坐标

5、为人(一2,3)； WAC为对角线，第四个 頂点坐标为£(2,3);以AN ft对角线，第Elf顷自坐标为£(7,3).将其分别代人«物线 y = x2-2x-3巾检验，其中只有£(2,3)在抛物线上.点坪：本題已知三个定自坐标的具休数值，可以根摇坐标平杨的性质直接写出第四个顷自的 坐标.值得注克的是，若没有约定由三点沟成的三条线段中郦条为ill或对角线，则三种悄况都必 须考虑.例2( 2009 )已a«IOy = x2-2A- + 6/ ( "<0 )与)，轴相交于点A,顷点为M.直线y = Lx-uy相交干c直，与直线AM相

6、交于点、N .2 (1) «空：试用含d的代数式分别表示点M与N的坐标，则M(),N()；(2) 如图6,在枢物线y = x2-2x + a ( a<0 )上是否存在一点P，使得以P, A, C, N为顶点的 四边形是平fi Elffl形？(41 ch al3 3：(1 ) M(l, "-1), N(2)由已知条件易探究fl A C、三点坐标为力(0,町、久0,“)、片卜一扛若以AC为对角线,第四个頂点为a5,代人解桥贰得"二一瓦，即(55若以AN为对角线,第呱个頂点为15，代人解析式得"一£>0,不合题恿，无解.所以在抛物线上存在

7、点(5 512 8R ，一 fil 、，使得以只A G N为顶点的Elill形是平下面探讨以4 C、4/三点为顷点的平行四辿形的第B1个顷点的坐标，如图7.若以为对用线，第E1个顶点为T,即估);"轨V",代入解析式借行四遡形.点评：有些解法通ii分桥图形认为WAN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显 然”并不显然.2.2两个定点、两个动点，探究平行皿边形的存在性。« 3( 2009 )已知：如图8,关于兀的拋物线y = ax2+x+c(aO)与x轴交于点A(2,0)、点3(6,0),与y轴交于点C.(1 )求岀此拋物线的解折式，并写岀顷点坐标；(2) 在

8、拋物线上有-点D，使皿边形ABDC为等腰悌形，写岀点D的坐标，并求岀貞线AD 的解折式；(3) 在(2)巾的直AD交抛物线的对称轴于点M,枢物线上有一动点P,兀轴上有一动 &Q.是否存在以A、M、P、Q为顷点的平行呱辺形？解：(1 )抛物线解析式为y = ：+ + / + 3,顷点坐标是(2, 4).4(3) 直线)，=斗兀+ 1与抛物线对称轴兀=2的交点坐标为M12, 2).厶0H殳X轴上动点0的坐标为(加,0).下面探过以4 M 0三点为换点的平iiElia形的第El个顶点坐标(图9).若tt MQ为对角线，第El个融坐标为旳+ 4,2)，代人严一卜5 + 3驯=一2±2

9、妊若以AM为对角线，第四个取点坐标为鬥(一"2),代入y = -lx2+x + 3得加=2±2血.若以AQ为对角线，第四个顷点坐标为农(?一4,一2),代人y = -Lx2+x+3得加=6±2石.存在满足条件的点有El个：0(22-2,0) ,QN-2近_2, 0) ,(6 2品0),ft (6+26,0)先假设一个动点的坐标，将其看成一个定虑，按照平務的性质，写出第四个换自的坐 标.再由另一动点应满足的条件，求岀相应的坐标.上述側題中总有两个自在同一坐标轴上，尚可通过平務和旋转来探究平fj0iU形的存在冋 题.如果题目中没有两点在同一坐标轴上，难么，难以通11分

10、折图形的相互位置关系来探究平行 四边形的存在间题.然而平移坐标法将是解决这一间题的一个法宝(见附件)倒4( 2009 )如图12,已知施物线：yi=-x2+2x2(1) 求拋物线儿的顶农坐标.(2) 将儿向右平務2个单位，再向上平務个单位，得到拋物线儿，求儿的解折式(3) 忆物线儿的顶虑为P，久轴上有一动点在儿、儿这两条拋物线上是否存在虑M使0、p、M、点构成以为一边的平行EliJi形？解：(1 )儿的顶虑坐标是(2, 2)(2 ) ”二-1x2+4x-5 2(3)假设x轴上动点坐标为(加,0).有已知条件易得P(4,3)卞面探究以0、P、三点为换自(OP为边)的平行四ill形第四个頂点N的坐

11、标.如图13,因为P为枢物线儿、儿的最高点，若U PM为对舟线，有PN/OM.不可能在拋物线儿或儿上，於不可能存在满足条件的虑；若U 0M为湘轴线，用平務坐标法看岀点坐 标为(加一4, 一3).若点在拋物线儿上，可得：加一 4 = 2-J亍6或加一 4 = 2 + >/币；若点在穗物线力上，可得：加4 = 4 2弟或加 4 = 4 + 2巧.存在满足条件的点有El个：他(2 + 価,一3)、他(2-皿一3)、他(4 + 2苗,一3)、他(4 2更,一3).点弊：本題中点可以在拋物线”上，也可以在枢物线儿上，运动的围较大，学生难以探 索，用平杨坐标法不必分折复杂的图形，降低了分桥的难lt.

12、lt现了平務坐标法强大的解題功效 本题中因确定了以为一边，所以只有两种悄况需要探究.例5、已知捷物y = -ax2+2ax+b与X轴的一个交自为A(-1,0),与y轴的正半初交于点C.(1)直接写岀枢物线的对称轴，及抛物线与*轴的另一个交点B的坐标;(2)当点C在以AB为直径的0P±时，求抛物线的解桥式;B、C为换点的四边形是平(3)坐标平面是否存在点M,使得以点M和中H物线上的三虑A、 liElill形？若存在，请求岀点M的坐标；若不存在,请说明理由.解：(1)对称轴是直线：x = l,点B的坐标是(3,0).2分如图,连接PC, .点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0)

13、,.-.AB = 4. ./C=2AB=2X4 = 1在 RtAPOC 中，.0P二PA OA = 2 1 =1,.OC=<PC-PO2 = V22-l: =. b = h. .3 分 性当 x = -, y = 0 时，-“-2& + 75 = 0, 3 4 分5分(3)存在.6分理由：如图，连接AC、BC.设点M的坐标为M(x,y).当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB,且CM = AB. 由知,AB = 4, /.|x| = 4, y = OC = j3.-.x = ±4.的坐标为 M(4,Q)或(_4,J5) .9 分(2)当以AB为对角线时，

14、点M在X轴下方.UM 作 MN丄AB 干 N, KUMNB= ZAOC = 90°.vfflifi形AMBC是平行四边形，.AC = MB,且ACMB.-.ZCAO=乙MBN. /. AAOCABNM. /.BN = AO = 1, MN = CO =. OB = 3, /.ON = 3-1 = 2.点M的坐标为"(2,苗)12分妹上所ii,坐标平面存在点M,使得以点A、B、C、M为頂自的四边形是平行呱边形.其坐 标为 M,(4, V3),A/2M,>/3),M3(2,-V3)例6、如图,Ji物y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，貞线丨与拋物线交于

15、A、C两点，其中C点的横坐标为2.求A、B两点的坐标及直SAC的函数表这式;(2)P是线段AC上的一个动点，11 P贞作y轴的平行线交拋物线于E点，求线段PE长度的最大a；(3)点G抛物线上的动自，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的El f点为换点的E1边形是平llElia形？血果存在，求岀所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.(1) y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)/. A(-1,0),B(3,0)把 x=2 代人戶(x+1)(x-3)中，得 y=-3,.C(2-3)设直SAC的函数表这武为y=kx+b,将A, C两点坐标带入得r.-k+b=0,2k+b=-3,解

16、得 k=-1,b=-1 A AC 的函数表达式为 y=-x-1由題意设 P(x-x-1),E (x,x2-2x-3),:.PE=-(x-1)- (x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-0.5)2+9/4当x=1/2 W,线段PE长H的最大值为9/4(3)存在4个这样的点F,分月|是耳°)月(7°)，琢4+匝°)止梓一0°)9i 7： (2007义乌)如图10, fthSy = -2x-3与x轴交A、B两点(力点在0点左儼)，SS/与抛物线 交T A C两点，其中6点的橫坐标力2.(1)求力、两点的坐标及頁线力6的因数表达直；(2) j5 G是擅物线上的动点，在x轴上是否存在点尸，使A C.