特殊两位数的速算

1、特殊两位数的速算 速算是提高学生心算能力，发展学生思维的有效途径，在速算过程中，要使运算尽可能简 便、快速、正确，就要注意培养学生对数字的感觉、直觉、熟记一些常用的数据。 同学们，三分学，七分练，只要耐心去练，熟能生巧，你一定会收到预期的效果，也相信 你们一定会通过数学的学习，变得越来越聪明。某些二位数的速乘法 : 两位数与两位数相乘是日常生活中经常遇到的事。如去买菜，西红柿 每斤 1.8 元，买了 1.2 斤，该付多少钱？一个 3.5 米见方的房间有多少平方米？某单位给 员工的午餐补贴是每天 15 元，19 个员工每天要补贴多少钱？等等。这些问题看似简单， 但在没有计算器和纸笔的情况下，要很

2、快算出正确答案也不是一件非常容易的事。这里介 绍的 “某些二位数乘法的速算（心算、口算）法 ”将两位数的乘法转化成了一位数的乘法 以及加、减法，可以快速而正确地得到答案，虽然不能涵盖所有的两位数乘法，但如能熟 练掌握，仍可带来很大的方便。一、“十位上数字相同，个位上数字互补 ”的两个两位数相乘如43X 47这样的两位数乘式，两个乘数十位上的数字相等（此例都是4），个位上的数字互补（所谓互补，就是其和为10。此例是 3 和 7），这一类两位数乘法的速算口诀是：十位乘以大一数，个位之积后面拖。就以43 X 47为例来说明口诀的运用。口诀第一句 “十位乘以大一数 ”的操作是：用 4（十位上的数）乘以

3、 5（比十位上的数大 1 的数），得到 20。口诀第二句 “个位之积后面拖 ”的操作是：用 3乘7得积 21，（个位之 积）直接写在 20 的后面（后面拖），得 2021 就是答案。需要注意的是当个位数是 1和 9时，它们的乘积 9也是个一位数，在往十位数的乘积后面“拖”的时候，在9的前面要加一个 0,即把9看成09。例如91 X 99，答案不是909而应 该是 9009。此速算法的代数证明如下：任意一个两位数可以用10a + b来表示，（例如 56就是10X5 + 6这里的a是5, b是6）另一个不同的十位数则可以用10c+ d来表示，两个不同的十位数相乘就可以写成：（10a+b）（ 10c

4、 + d）由于规定的条件是“十位上数字相同”所以上述代数式可以改写成（10a +b）（ 10ad） ,把这个代数式展开如下：（10a + b）（ 10a + d）= 100a2 + 10ad+ 10ab + bd=100a2 + 10a（d + b） + bd由于规定的另一个条件是“个位上数字互补（之和等于10） ”，也就是式中的d+ b= 10所以上式可以演化为=100a2+100a+ bd=100a（a + 1） + bd这个式子中的a就是“十位上的数字”，而（a + 1）就是“比它大1的数”，它们的乘积再 乘以100就是在后面添两个 0罢了。个位数的乘积 bd “拖”在后面实际上是加在两

5、个0位上。这也正是 bd = 9时要写成0 9的道理。适用于此类速算法的乘式有如下 45组：11X19 12X18 13X17 14X16 15X15 21X29 22X28 23X27 24X26 25X2531X39 32X38 33X37 34X36 35X35 41X49 42X48 43X47 44X46 45X4551X59 52X58 53X57 54X56 55X55 61X69 62X68 63X67 64X66 65X6571 X 79 72 X 78 73 X 77 74 X 76 75 X 75 81 X 89 82 X 88 83 X 87 84 X 86 85 X

6、8591 X 99 92 X 98 93 X 97 94 X 96 95 X 95 速算中遇有小数点时，可先不考虑它，待算出数字后，看两个乘数中一共有几位小 数点，在答案中点上就是了。例如每斤 1.8 元的西红柿，买了 1.2 斤，该多少钱？ 1乘 2 得 2，后面拖 16（2乘 8）得 2 1 6 。点上两位小数点得 2.16 元。二、“十位上数字互补，个位上数字相同 ”的两个两位数相乘第一种速算法要求 “” 而这一类两位数乘法要求的条件恰恰相反，要求 “十位上数字互 补，个位上数字相同 ” 。这一类两位数乘法的速算口诀是： 个位加上十位积，个位平方后面接就以 47X 67 为例来说明口诀的

7、运用。用 7（ “个位”上的数字）加上 24（十位上两个数字的乘积）得31（就是口诀 “个位加上十位积 ”），在 31 的后面接着写上 49（个位数的平方），得 31 49就是答案。 需要注意的是当个位数的平方也是个一位数时，在“ 接 ” 的时候，在其前面要添一个0，即把 1 看成 01；把 4看成 04；把 9看成 09。例如 23 X 83，答案不是 1 99而应该是 1909。 此速算法的代数证明如下：（10a + b）（10c + b） = 100ac + 10ab + 10bc+ b2=100ac + 10b（ac） b2因为十位上数字互补，所以式中的a+ c等于10,于是上式演化为

8、=100ac+100b+b2=100 （ac+ b）这（ac + b）就是“个位加上十位积”，乘100等于后面添两个0。式中的“+ b2” 就是加上个位数的平方。由于个位数的平方最多也就是两位数，所以必定是加在两个0位上，实际效果就是 “接” 在前面数字的后面。适用于此类速算法的乘式有如下 45组：11X91 21X81 31X71 41X6151X5112X92 22X82 32X72 42X6252X5213X93 23X83 33X73 43X6353X5314X94 24X84 34X74 44X6454X5415X95 25X85 35X75 45X6555X5516X96 26X8

9、6 36X76 46X6656X5617X97 27X87 37X77 47X6757X5718X98 28X88 38X78 48X6858X5819X99 29X89 39X79 49X6959X59其中加黑字体的 55X 55与第一种速算法重叠，也就是它既可以适用于第二种速算法，也适 用于第一种速算法。三、“十几乘十几 ”如 18X 16这样的乘式，两个两位数十位上的数相等而且都是 1 ，但个位上的两个数字则是 任意的（并不要求其互补），这就是 “十几乘十几 ” 。这一类两位数乘法的速算口诀是： 十几乘十几，好做也好记，一数加上另数个，十倍再加个位积以 18X 16为例来说明口诀的运用。

10、用 18（“一数 ” ，即其中的一个数）加上 6（另外一个数的个位数，简称 “另数个 ” ）得 24并将其扩大 10倍（后面添个 0即可）成 240，再加上两个个位数的乘积（6、8得48），所得 288 就是 18X 16 的答案。当个位数的乘积也是一位数时，由于这个积是加在前面一个已求出的和数扩大 10 倍后的那 个 0上的，所以实际上是直接 “拖”在那个 “和数”的后面就可以了。例如12X 13眼睛一看或是脑子一转就知道是15 ( 12加3)后面拖一个6 (2X3)答案是156 了。此速算法的代数证明如下：(10+a) (10+b) = 100+10a+10b+ab=10(10+a+b)+

11、ab括号中的10+a+b可以看成(10+a) +b或(10+b)+a其中的(10+a)或(10+b)即是两个乘数 中的一个，而所加的 b 或 a 就是另一个乘数的个位数，这就是口诀 “一数加上另数个 ”的 来由。(10+a+b)的前面还有10相乘，所以第二句口诀一开始就是要求“十倍”，然后“再加个位积 ”(就是公式中的 +ab)。适用于此类速算法的乘式有如下 45组：11X11 11X12 11X13 11X14 11X15 11X16 11X17 11X18 11X1912X 12 12 X 13 12 X 14 12 X 15 12 X 16 12 X 17 12 X 18 12 X 19

12、13X 13 13 X 14 13 X 15 13 X 16 13 X 17 13 X 18 13 X 1914X14 14X15 14X16 14X1714X18 14X1915X 15 15 X 16 15 X 17 15 X 18 15 X 1916X 16 16 X 17 16 X 18 16 X 1917X 17 17X 18 17X1918X 18 18 X 1919X 19 其中加黑字体的五组与第一种速算法重叠，也就是这五组乘式既可以适用于第二种速算 法，也适用于第一种速算法。四、二十几乘二十几如 26X 27 这样的乘式，两个两位数十位上的数相等而且都是 2，但个位上的两个 数

13、字则是任意的(并不要求其互补)，这就是 “二十几乘二十几 ” 。这一类两位数乘法的 速算口诀是： 一数加上另数个，廿倍再加个位积 以 26X 27为例来说明口诀的运用。用26加 7得33， “廿倍” 就是乘 2后再添 0，所以得 660。再加上 42(个位上的 6乘7) 答案是 702。当个位数的乘积也是一位数时，由于这个积是加在前面一个已求出的和数扩大20倍后的那个 0 上的，所以实际上是直接 “拖” 在那个翻倍后的 “和数” 的后面就可以了。例如 22X 23 眼睛一看或是脑子一转就知道是 25( 22 加 3)翻倍后得 50，后面拖一个 6(2X3 )答案是 506 了。此速算法的代数证

14、明如下：(20+a) (20+b) = 400+20a+20b+ab=20(20+a+b)+ab括号中的20+a+b可以看成(20+a) +b或(20+b)+a其中的(20+a)或(20+b)即是两个乘数中的一个，而所加的 b或a就是另一个乘数的个位数，这就是口诀“一数加上另数个”的来由。(20+a+b)的前面还有20相乘，所以第二句口诀一开始就是要求“廿倍”，然后“再 加个位积 ”（就是公式中的 +ab）。 适用于此类速算法的乘式有如下 45 组：21 X 21 21 X 22 21 X 23 21 X 24 21 X 25 21 X 26 21 X 27 21 X 28 21 X 2922

15、 X 22 22 X 23 22 X 24 22 X 25 22 X 26 22 X 27 22 X 28 22 X 2923X23 23X24 23X25 23X26 23X27 23X28 23X2924X24 24X25 24X26 24X2724X 28 24X 2925X 25 25X 2625X27 25X28 25X2926X26 26X27 26X28 26X2927X27 27X28 27X2928X 28 28 X 2929X 29其中加黑字体的五组与第一种速算法重叠，也就是这五组乘式既可以适用于第三种速算 法，也适用于第一种速算法，而且是用第一种速算法更快捷，更不容易出错

16、。不难看出， “二十几乘二十几 ”的口诀与 “ 十几乘十几 ” 的口诀极为相似。所不同的是 “十几乘十几 ”速算时，在求出 “一数加上另数个 ”之后，要求 “十倍”“ 再加个位 积”，而是 “二十几乘二十几 ”是“廿倍（二十倍） ”，然后 “再加个位积 ”。 实际上，这种方法一直可以适用到 “九十几乘九十几 ”。但是 “一数加上另数个 ”之后要 乘以 9，数字就比较大了，一般人容易出错。那就真正是“ 欲速则不达 ” 了。心算底子好的人不妨练习用此法去做“三十几乘三十几”、“四十几乘四十几”五、四十几的平方所谓“四十几” ，就是十位数是 4的两位数，它的个位数可以是1 9的任意一个数。这样的数一

17、共有 9 个，即 41、 42、 43、 44、 45、 46、 47、 48、 49。求它们平方的速算口诀有 两种。方法一的口诀： 廿五减去个位补，个补平方后面拖。以求 43 的平方为例说明口诀的运用。用基数 25减去个位数的补数（即减去 “个位补 ” 此例的个位数是 3，其补数是 7）得到差 数18后，在后面接着写上个位数补数的平方（ 7的平方） 49，得到 1849 就是答案了。 当“ 个位数补数的平方 ” 是个一位数时，在 “拖” 的时候前面要添一个 0。例如求 47的平方。个位补是 3，被 25减得 22，个补的平方是 9，答案应该是 2209 而不是 229。这 9个数字中，求 4

18、5平方的速算法与第一种速算法重叠，也就是 45的平方既可以适用于 第五种速算法，也适用于第一种速算法。此速算法的代数证明如下：“四十几 ”的平方的代数式是（ 40 a） 2设b是的a补数，即a+ b= 10于是a可以用b来表示：a = 10-b这样就有：(40 + a) 2= 40 +( 10- b) 2=(50 b)2= 2500- 100b b2= 100(25 b) b2括号内的25 b就是“廿五减去个位补”，再乘100就是后面添两个0, b2就是“个补平 方” ，所谓 “ 后面拖 ” 实际是加在两个 0 位上。此方法前后两句口诀都用个位数的 “ 补 数” 。方法二的口诀：十五加上个位数

19、，个补平方后面拖同样以求 43 的平方为例说明口诀的运用。 用15加上个位数 3得18，个位数 3的补数是 7， 7的平方是 49，把49写在 18后面得 1849 就是答案了。此速算法的代数证明如下： 方法一已经证明了(40a) 2=100(25b)b2现在用10 a代入括号中的b就得到(40a) 2=10025(10a) b2= 100(2510a) b2= 100(15a) b2方法二的两句口诀就是根据最后100 (15+ a) + b2这个式子来的。此方法的前一句用“个位数 ” ，后一句用 “个位数的补数 ” 。各人可根据自己习惯选用方法一或方法二。六、五十几的平方所谓“五十几” ，就

20、是十位数是 5的两位数，它的个位数可以是 19的任意一个数。这 样的数一共有 9个，即 51、52、53、54、55、56、57、58、59。求它们平方的速算口诀 是：廿五加上个位数，个位平方后面拖。以求 58的平方为例说明口诀的运用。用基数 25加上个位数 8得33，个位数 8的平方是 64，把64写在 33后面得 3364这就是答 案了。(此法不用 “补数 ” )此速算法的代数证明如下：(50+a) 2=2500 +100a+a2= 100( 25+ a)+ a2 此式与口诀的关系已经是一目了然了。七、“十位数相差 1，个位数互补 ” 的两位数相乘如37X 43、62 X 58、81 X

21、99这样的乘式就是 “十位数相差1,个位数互补”的两位数相 乘。这类乘式的速算方法也有两种。方法一的口诀： 大十平方减去一，小个添零加个积，前后相接在一起。以求 62X 58 为例说明口诀的运用。因为 62比 58大，所以把 62叫做“大数” ， 58叫做“小数” 。口诀中的 “大十” 指的是 “大数” 十位上的数字； “小个” 指的是“小数” 个位上的数字，而不一定是比较小的那 个各位数。如本例中的 “小个”是8而不是 2，“个积”是指个位数的乘积。用 6( “大十” )的平方 36减去 1得 35。再用 80( “小个添 0”)加上 16(“个积”) 得 96 。答案就是 3596。此速算

22、法的代数证明如下：设大数为 10a b, 小数为 10c d。(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10bc + 10ad+ bd因为十位数相差1, b和d互补，所以c = a 1 , b = 10 d以此代入上式得：=100a(a 1) + 10 (a 1)( 10 d) + 10ad+ bd=100a2 100a + 10(10a ad 10+ d) + 10ad+ bd=100a2 100a + 100a 10ad 100 + 10d+ 10ad + bd=100a2 100+ 10d+ bd=100(a2 1) + 10d+ bd式中的(a2 1)就是口诀的第一句

23、“大十平方减去一 ”，乘100是在后面添两个0,为“前 后相接”提供了方便。式中的10d+ bd,就是口诀的第二句“小个添0加个积”。方法二：由于任意两个两位数相乘的通式是 (10a+b)(10c +d), 现在的已知条件是十位数相差 1,个 位数互补，即c = a 1, d = 10 b所以(10a + b)(10c + d) = (10a + b)10 (a 1)+ 10 b=(10a + b) (10a 10+ 10 b)=(10a + b) (10a b)=100a2 10ab+ 10ab b2=100a2b2式中的a和b分别是数值比较大的那个两位数十位和个位上的数字，上式的意思就是用

24、数 值比较大的那个两位数十位上的数字平方后在后面添两个 0(即乘以 100),然后减去个位 上数字的平方。例如76X 64,十位上的6和7相差1，个位上的6和4互补，符合此速算法的条件。此题 实际上是( 70+ 6)( 70 6)根据方法二,选定 76(数值比较大的数),用 49(十位数上 7的平方)添两个 0,得 4900,然后减去 36(个位数 6的平方)得 4864就是答案了。所以方法二就是：用数值比 较大的那个两位数十位上的数字平方后添两个 0(即乘以 100),然后减去个位上那个数字 的平方。八、九十几乘九十几九十几乘九十几,虽然数字挺大,却也有速算的办法。这个命题的代数式是：(90

25、 + a) (90 + b)考虑到九十几已经接近 100 了(差一个补数)，因此可以利用一下补 数。令 a 的补数是 c,b 的补数是 d, 则有：(90 + a) (90 + b) =( 100 c) (100 d)=10000 100c100d + cd=100(100 c d) + cd这个式子表明：九十几乘九十几可以这样来速算：用 100减去两个乘数个位数的补数,再 在后面拖上两个乘数个位数补数的乘积即可。例如 97X 98,用 100减去 3(7 的补数)和 2(8 的补数)得 95,而补数的乘积是 6(06) 所以答案就是 9506。为了便于记忆，可以编成这样的口诀： 两个个补被百减，个补乘积后面写