2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　两直线的位置关系

1、第 2 讲两直线的位置关系一、知识梳理1两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线 l1， l2， 斜率分别为 k1，k2平行k1k2k1与 k2都不存在垂直k1k21k1与 k2一个为零、另一个不存在2.两条直线的交点3三种距离点点距点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之间的距离|p1p2| (x2x1)2(y2y1)2点线距点 p0(x0，y0)到直线 l：axbyc0 的距离d|ax0by0c|a2b2线线距两条平行线 axbyc10 与 axbyc20 间的距离d|c1c2|a2b2常用结论1会用两个充要条件(1)两直线平行或重合的充要条件直线

2、l1：a1xb1yc10 与直线 l2：a2xb2yc20 平行或重合的充要条件是 a1b2a2b10.(2)两直线垂直的充要条件直线 l1：a1xb1yc10 与直线 l2：a2xb2yc20 垂直的充要条件是 a1a2b1b20.2直线系方程(1)与直线 axbyc0 平行的直线系方程是 axbym0(mr 且 mc)(2)与直线 axbyc0 垂直的直线系方程是 bxayn0(nr)(3)过直线 l1：a1xb1yc10 与 l2：a2xb2yc20 的交点的直线系方程为 a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)，但不包括 l2.3六种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)

3、的对称点为(x，y)(2)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)，关于 y 轴的对称点为(x，y)(3)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点为(y，x)(4)点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y)，关于直线 yb 的对称点为(x，2by)(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by)(6)点(x，y)关于直线 xyk 的对称点为(ky，kx)，关于直线 xyk 的对称点为(ky，xk)二、教材衍化1两直线 4x3y10 与 2xy10 的交点坐标为_答案：(4，2)2已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为

4、 1，则 a 等于_答案： 213已知直线 l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10 互相平行，则实数 a 的值是_解析：由直线 l1与 l2平行，可得a(a1)23，a12，解得 a3.答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线 l1和 l2的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)已知直线 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2为常数)，若直线 l1l2，则 a1a2b1b2

5、0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏常见误区|(1)求平行线间距离忽视 x，y 的系数相同；(2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况1两条平行直线 3x4y120 与 6x8y110 之间的距离为()a235b2310c7d72解析：选 d直线 3x4y120 可化为 6x8y240，所以两平行直线之间的距离为|1124|366472.2已知直线 l1：axy40 和 l2：2xay10 若 l1l2，则 a_解析：因为 l1l2，则 2aa0，所以 a0.答案：0考点一两直线的位置关系(基础型)复习指

6、导|能根据斜率判定两条直线平行或垂直核心素养数学运算，逻辑推理(一题多解)已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210.(1)当 l1l2时，求 a 的值；(2)当 l1l2时，求 a 的值【解】(1)法一：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线方程可化为 l1： ya2x3， l2： y11ax(a1)， 由 l1l2可得a211a，3(a1)，解得 a1.综上可知，a1.法二：由 l1l2知a1b2a2b10，a1c2a2c10，即a(a1)120，a(

7、a21)160a2a20，a(a21)6a1.(2)法一：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与 l2不垂直，故 a1 不符合；当 a1 时，l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)，由 l1l2，得a2 11a1a23.法二：因为 l1l2，所以 a1a2b1b20，即 a2(a1)0，得 a23.(1)两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒判断两条直线位置关系应注意：1注意斜率不存在的特殊情况2注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策

8、略在解这类问题时， 一定要“前思后想” “前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解1(2020天津静海区联考)“a1”是“直线 ax2y80 与直线 x(a1)y40平行”的()a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件解析：选 a设直线 l1：ax2y80，直线 l2：x(a1)y40.若 l1与 l2平行，则a(a1)20，即 a2a20，解得 a1 或 a2.当 a2 时，直线 l1的方程为2x2y80，即 xy40，直线 l2的方程为 xy40，此时两直线重合，则 a2.当 a1 时

9、， 直线 l1的方程为 x2y80， 直线 l2的方程为 x2y40， 此时两直线平行 故“a1”是“直线 ax2y80 与直线 x(a1)y40 平行”的充要条件故选 a2求满足下列条件的直线方程(1)过点 p(1，3)且平行于直线 x2y30；(2)已知 a(1，2)，b(3，1)，线段 ab 的垂直平分线解：(1)设直线方程为 x2yc0，把 p(1，3)代入直线方程得 c7，所以直线方程为 x2y70.(2)ab 中点为132，212，即2，32 ，直线 ab 斜率 kab211312，故线段 ab 垂直平分线斜率 k2，所以其方程为 y322(x2)，即 4x2y50.考点二两直线的

10、交点与距离问题(基础型)复习指导|1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离核心素养：数学运算角度一两直线的交点与直线过定点(1)对于任给的实数 m，直线(m1)x(2m1)ym5 都通过一定点，则该定点的坐标为()a(9，4)b(9，4)c(9，4)d(9，4)(2)经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 p，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程为_【解析】(1)(m1)x(2m1)ym5 即为 m(x2y1)(xy5)0，故此直线过直线 x2y10 和xy50 的交点 由x2y10

11、，xy50得定点的坐标为(9， 4) 故选 a(2)由方程组x2y40，xy20，得x0，y2，即 p(0， 2) 因为 ll3， 所以直线 l 的斜率 k43，所以直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60.【答案】(1)a(2)4x3y60角度二三种距离问题(1)已知点 p(1，1)，a(1，0)，b(0，1)，则abp 的面积为_(2)若两平行直线 l1：x2ym0(m0)与 l2：2xny60 之间的距离是 5，则 mn_【解析】(1)因为 a(1，0)，b(0，1)，所以|ab| 2，直线 ab 的方程为 xy10，则点 p(1，1)到直线 ab 的距离 d32，所以abp 的

12、面积为12 23232.(2)因为 l1，l2平行，所以 1n2(2)，1(6)2m，解得 n4，m3，所以直线 l2： x2y30.又 l1， l2之间的距离是 5， 所以|m3|14 5， 得 m2 或 m8(舍去)，所以 mn2.【答案】(1)32(2)2两种距离的求解思路(1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式(2)两平行直线间的距离的求法利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中 x，y 的系数化为相同的形式)1与直线 l1：3x2y60 和直

13、线 l2：6x4y30 等距离的直线方程是_解析：l2：6x4y30 化为 3x2y320，所以 l1与 l2平行，设与 l1，l2等距离的直线 l 的方程为 3x2yc0，则|c6|c32|，解得 c154，所以 l 的方程为 12x8y150.答案：12x8y1502l1，l2是分别经过 a(1，1)，b(0，1)两点的两条平行直线，当 l1，l2间的距离最大时，直线 l1的方程是_解析：当两条平行直线与 a，b 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大又 kab11012，所以两条平行直线的斜率为 k12，所以直线 l1的方程是 y112(x1)，即 x2y30.答案：x2y30考点三对

14、称问题(综合型)复习指导|对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点 m 与点 n 关于直线 l 对称，则线段 mn 的中点在直线 l 上，且直线 l 与直线 mn 垂直已知直线 l：2x3y10，点 a(1，2)求：(1)点 a 关于直线 l 的对称点 a的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程【解】(1)设 a(x，y)，由已知得y2x1231，2x123y2210，解得x3313，y413.所以 a3313，413 .(2)在直线 m 上取一点，如 m(2，0)，则 m(2，0)关于直线 l 的对称点 m必在直线 m上设 m(a，b)，则2a22

15、3b0210，b0a2231.解得 m613，3013 .设直线 m 与直线 l 的交点为 n，则由2x3y10，3x2y60.得 n(4，3)又因为 m经过点 n(4，3)，所以由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，求直线 l 关于点 a(1，2) 对称的直线 l的方程解：设 p(x，y)为 l上任意一点，则 p(x，y)关于点 a(1，2)的对称点为 p(2x，4y)，因为 p在直线 l 上，所以 2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.1与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为_解析：设 a(x，y)为所求直线上的任意一点，则

16、a(x，y)在直线 3x4y50 上，即 3x4(y)50，故所求直线方程为 3x4y50.答案：3x4y502已知点 a(1，3)关于直线 ykxb 对称的点是 b(2，1)，则直线 ykxb 在 x 轴上的截距是_解析：由题意得线段 ab 的中点12，2在直线 ykxb 上，故23k1，12kb2，解得 k32，b54，所以直线方程为 y32x54.令 y0，即32x540，解得 x56，故直线 ykxb 在 x 轴上的截距为56.答案：56基础题组练1已知直线 ax2y20 与 3xy20 平行，则系数 a()a3b6c32d23解析：选 b由直线 ax2y20 与直线 3xy20 平行

17、知，a23，a6.2 已知直线 4xmy60 与直线 5x2yn0 垂直， 垂足为(t， 1)， 则 n 的值为()a7b9c11d7解析：选 a由直线 4xmy60 与直线 5x2yn0 垂直得，202m0，m10.直线 4x10y60 过点(t，1)，所以 4t1060，t1.点(1，1)又在直线 5x2yn0 上，所以52n0，n7.3若点 p 在直线 3xy50 上，且 p 到直线 xy10 的距离为 2，则点 p 的坐标为()a(1，2)b(2，1)c(1，2)或(2，1)d(2，1)或(1，2)解析：选 c设 p(x，53x)，则 d|x(53x)1|12(1)2 2，化简得|4x

18、6|2，即 4x62，解得 x1 或 x2，故 p(1，2)或(2，1)4直线 axy3a10 恒过定点 m，则直线 2x3y60 关于 m 点对称的直线方程为()a2x3y120b2x3y120c2x3y120d2x3y120解析：选 d由 axy3a10，可得 a(x3)(y1)0，令x30，y10，可得 x3，y1，所以 m(3，1)，m 不在直线 2x3y60 上，设直线 2x3y60 关于 m 点对称的直线方程为 2x3yc0(c6)，则|636|49|63c|49，解得 c12 或 c6(舍去)，所以所求方程为 2x3y120，故选 d5直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的

19、直线方程是()ax2y30bx2y30cx2y10dx2y10解析：选 a设所求直线上任意一点 p(x，y)，则 p 关于 xy20 的对称点为 p(x0，y0)，由xx02yy0220，xx0(yy0)得x0y2，y0 x2，由点 p(x0，y0)在直线 2xy30 上，所以 2(y2)(x2)30，即 x2y30.6过两直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为_解析：过两直线交点的直线系方程为 x3y4(2xy5)0，代入原点坐标，求得45，故所求直线方程为 x3y445(2xy5)0，即 3x19y0.答案：3x19y07已知直线 l1：axy3a40 和

20、l2：2x(a1)ya0，则原点到 l1的距离的最大值是_；若 l1l2，则 a_解析：直线 l1：axy3a40 等价于 a(x3)y40，则直线过定点 a(3，4)，当原点到 l1的距离最大时， 满足 oal1， 此时原点到 l1的距离的最大值为|oa| (3)2425.若 a0，则两直线方程为 y40 和 2xy0，不满足直线平行；若 a1，则两直线方程为 xy10 和 2x10，不满足直线平行；当 a0 且 a1 时，若两直线平行，则a21a13a4a，由a21a1得 a2a20，解得 a2 或 a1.当 a2 时，a23a4a，舍去，当 a1 时，a23a4a，成立，即 a1.答案：

21、518 已知点 a(1， 2)， b(3， 4) p 是 x 轴上一点， 且|pa|pb|， 则pab 的面积为_解析：设 ab 的中点坐标为 m(1，3)，kab423(1)12，所以 ab 的中垂线方程为 y32(x1)即 2xy50.令 y0，则 x52，即 p 点的坐标为(52，0)，|ab| (13)2(24)22 5.点 p 到 ab 的距离为|pm|1522323 52.所以 spab12|ab|pm|122 53 52152.答案：1529已知两直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值(1)l1l2，且直线 l1过点(3，1)；(2)

22、l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)因为 l1l2，所以 a(a1)b0.又因为直线 l1过点(3，1)，所以3ab40.故 a2，b2.(2)因为直线 l2的斜率存在，l1l2，所以直线 l1的斜率存在所以ab1a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以 l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb.联立可得 a2，b2 或 a23，b2.10已知abc 的顶点 a(5，1)，ab 边上的中线 cm 所在直线方程为 2xy50，ac边上的高 bh 所在直线方程为 x2y50，求直线 bc 的方程解：依题意知：kac2，a(5，1)，所以 lac的方程为 2xy110，

23、联立2xy110，2xy50，得 c(4，3)设 b(x0，y0)，则 ab 的中点 mx052，y012，代入 2xy50，得 2x0y010，联立2x0y010，x02y050，得 b(1，3)，所以 kbc65，所以直线 bc 的方程为 y365(x4)，即 6x5y90.综合题组练1 已知直线 y2x 是abc 中c 的平分线所在的直线， 若点 a， b 的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点 c 的坐标为()a(2，4)b(2，4)c(2，4)d(2，4)解析：选 c设 a(4，2)关于直线 y2x 的对称点为(x，y)，则y2x421，y2224x2，解得x4，y2，所以bc所在

24、直线方程为y12143(x3)， 即3xy100.同理可得点b(3，1)关于直线 y2x 的对称点为(1，3)，所以 ac 所在直线方程为 y2321(4)(x4)，即 x3y100.联立得3xy100，x3y100，解得x2，y4，则 c(2，4)故选 c2(创新型)(多选)定义点 p(x0，y0)到直线 l：axbyc0(a2b20)的有向距离为 dax0by0ca2b2.已知点 p1， p2到直线 l 的有向距离分别是 d1， d2.则以下命题不正确的是()a若 d1d21，则直线 p1p2与直线 l 平行b若 d11，d21，则直线 p1p2与直线 l 垂直c若 d1d20，则直线 p

25、1p2与直线 l 垂直d若 d1d20，则直线 p1p2与直线 l 相交解析：选 bcd对于 a，若 d1d21，则 ax1by1cax2by2c a2b2，直线p1p2与直线 l 平行，正确；对于 b，点 p1，p2在直线 l 的两侧且到直线 l 的距离相等，p1p 未必与 l 垂直，错误；对于 c，若 d1d20，即 ax1by1cax2by2c0，则点 p1，p2都在直线 l 上，所以此时直线 p1p2与直线 l 重合，错误；对于 d，若 d1d20，即(ax1by1c)(ax2by2c)0，所以点 p1，p2分别位于直线l 的两侧或在直线 l 上，所以直线 p1p2与直线 l 相交或重合，错误3设 mr，过定点 a 的动直线 xmy0 和过定点 b 的动直线 mxym30 交于点 p(x，y)，则|pa|pb|的最大值是_解析：易知定点 a(0，0)，b(1，3)，且无论 m 取何值，两直线垂直所以无论 p 与 a，b 重合与否，均有|pa|2|pb|2|ab|210(p 在以 ab 为直径的圆上)所以|pa|pb|12(|pa|2|pb|2)5.当且仅当|pa|pb| 5时等号成立答案：54.如图，已知 a(2，0)，b(2，0)，c(0，2)，e(1，0)，f(1，0)，一束光线从 f 点出发射到 bc 上的 d 点，经 bc