2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 教案

1、1第二节第二节空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.理解空间直线、平面位置关系的定义，提升空间想象能力，凸显直观想象的核心素养理解空间直线、平面位置关系的定义，提升空间想象能力，凸显直观想象的核心素养2了解可以作为推理依据的公理和定理，培养阅读理解能力，凸显数学抽象的核心素养了解可以作为推理依据的公理和定理，培养阅读理解能力，凸显数学抽象的核心素养3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养分析问题能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养分析问题、解决问题的能力，凸显

2、逻辑推理的核心素养解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养理清主干知识理清主干知识1公理公理 13文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言公公理理1如果一条直线上的如果一条直线上的两点两点在一个平面内，那么这在一个平面内，那么这条直线在此平面内条直线在此平面内alblabl公公理理2过过不在一条直线上不在一条直线上的三的三点，有且只有一个平面点，有且只有一个平面a，b，c 三点不共线三点不共线有且只有一个平面有且只有一个平面，使使a，b，c公公理理3如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它有一个公共点，那么它们有且只有们有且只有一条一条过该点过该点的公共直线的公共直线

3、p，且且 pl，且，且 pl提醒提醒公理公理 1 是判断一条直线是否在某个平面内的依据是判断一条直线是否在某个平面内的依据， 公理公理 2 及其推论是判断或证明及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理点、线共面的依据，公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据是证明三线共点或三点共线的依据2公理公理 2 的三个推论的三个推论推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论推论 2：经过两条：经过两条相交相交直线有且只有一个平面；直线有且只有一个平面；推论推论 3：经过两条：经过两条平行平行直线有且只有一个平面直线有且只有一个平面3

4、空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系(1)位置关系分类：位置关系分类：位置关系位置关系共面直线共面直线相交相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行平行直线：同一平面内，没有公共点；直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在异面直线：不同在任何一个平面任何一个平面内，没有公共点内，没有公共点.(2)平行公理平行公理(公理公理 4)和等角定理：和等角定理：2平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角等角定理：空间中如果两个角的两边分别对

5、应平行，那么这两个角相等或互补相等或互补4异面直线所成的角异面直线所成的角(1)定义定义：已知两条异面直线已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点经过空间任一点 o 作直线作直线 aa，bb，把把 a与与 b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线 a 与与 b 所成的角所成的角(或夹角或夹角)(2)范围：范围：0，2 .5空间中直线与平面、平面与平面的位置关系空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内在平面内三种情况三种情况(2)平面与平面的位置关系有平面与平面的位置关系有平行平行、相交相交两种

6、情况两种情况澄清盲点误点澄清盲点误点一、关键点练明一、关键点练明1(直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系)已知已知 a，b 是异面直线是异面直线，直线直线 c 平行于直线平行于直线 a，那么那么 c 与与 b()a一定是异面直线一定是异面直线b一定是相交直线一定是相交直线c不可能是平行直线不可能是平行直线d不可能是相交直线不可能是相交直线解析：解析：选选 c假设假设 cb，又因为，又因为 ca，所以，所以 ab，这与，这与 a，b 是异面直线矛盾，故是异面直线矛盾，故 c 与与 b不可能平行不可能平行2(确定平面的依据确定平面的依据)下列命题正确的是下列命题正确的是()a经过三点确定一个平

7、面经过三点确定一个平面b经过一条直线和一个点确定一个平面经过一条直线和一个点确定一个平面c四边形确定一个平面四边形确定一个平面d两两相交且不共点的三条直线确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定一个平面解析解析：选选 da 选项考查公理选项考查公理 2，即三点必须不在同一条直线上即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面才能确定一个平面；b 选选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；c 选项中的四边形有可能是空选项中的四边形有可能是空间四边形，只有间四边形，只有 d 是正确的是正确的3(异面直线所成角异面直线所成角)如图所示

8、如图所示，在正方体在正方体 abcda1b1c1d1中中，e，f 分别分别是是 ab，ad 的中点，则异面直线的中点，则异面直线 b1c 与与 ef 所成角的大小为所成角的大小为()a30b45c60d90解析解析：选选 c连接连接 b1d1，d1c(图略图略)，则则 b1d1ef，故故d1b1c 为所求的角为所求的角，又又 b1d1b1cd1c，d1b1c60.4(平面的基本性质及推论平面的基本性质及推论)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是四边形一定是()3a梯形梯形b矩形矩形c菱形菱形d正方形正方形解析：

9、解析：选选 b如图所示，易证四边形如图所示，易证四边形 efgh 为平行四边形，因为为平行四边形，因为 e，f 分分别为别为 ab，bc 的中点，所以的中点，所以 efac，又，又 fgbd，所以，所以efg 或其补角或其补角为为 ac 与与 bd 所成的角，而所成的角，而 ac 与与 bd 所成的角为所成的角为 90，所以，所以efg90，故四边形故四边形 efgh 为矩形为矩形二、易错点练清二、易错点练清1(误解异面直线的概念误解异面直线的概念)下列关于异面直线的说法正确的是下列关于异面直线的说法正确的是()a若若 a，b，则，则 a 与与 b 是异面直线是异面直线b若若 a 与与 b 异

10、面，异面，b 与与 c 异面，则异面，则 a 与与 c 异面异面c若若 a，b 不同在平面不同在平面内，则内，则 a 与与 b 异面异面d若若 a，b 不同在任何一个平面内，则不同在任何一个平面内，则 a 与与 b 异面异面解析解析：选选 da、b、c 中的两条直线还有可能平行或相交中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知由异面直线的定义可知 d 说法说法正确正确2 (忽视直线在平面内忽视直线在平面内)若直若直线线 ab， 且直且直线线 a平面平面， 则直则直线线 b 与平面与平面的位置关系是的位置关系是()abbbcb或或 bdb 与与相交或相交或 b或或 b解析：解析：选选 d

11、将直线与平面放在正方体中，易知将直线与平面放在正方体中，易知 b 与与相交或相交或 b或或 b都可以都可以3 (忽视异面直线所成角的范围忽视异面直线所成角的范围)如图所示如图所示， 已知在长方体已知在长方体 abcdefgh 中中，ab2 3，ad2 3，ae2，则则 bc 和和 eg 所成角的大小是所成角的大小是_；ae和和 bg 所成角的大小是所成角的大小是_解析解析：bc 与与 eg 所成的角等于所成的角等于 eg 与与 fg 所成的角所成的角，即即egf，tanegfeffg1，egf45.ae 与与 bg 所成的角等于所成的角等于 bf 与与 bg 所成的角所成的角，即即gbf，ta

12、ngbfgfbf2 32 3，gbf60.答案：答案：4560考点一考点一平面的基本性质及应用平面的基本性质及应用典例典例如图，在正方体如图，在正方体 abcda1b1c1d1中，中，e，f 分别是分别是 ab 和和 aa1的中点求证：的中点求证：(1)e，c，d1，f 四点共面；四点共面；(2)ce，d1f，da 三线共点三线共点4证明证明(1)如图所示，连接如图所示，连接 cd1，ef，a1b，因为，因为 e，f 分别是分别是 ab 和和 aa1的中点，的中点，所以所以 efa1b 且且 ef12a1b.又因为又因为 a1d1綊綊 bc，所以四边形所以四边形 a1bcd1是平行四边形，所以

13、是平行四边形，所以 a1bcd1，所以所以 efcd1，所以所以 ef 与与 cd1确定一个平面确定一个平面.所以所以 e，f，c，d1，即，即 e，c，d1，f 四点共面四点共面(2)由由(1)知知 efcd1且且 ef12cd1，所以四边形所以四边形 cd1fe 是梯形，是梯形，所以所以 ce 与与 d1f 必相交，设交点为必相交，设交点为 p，则则 pce平面平面 abcd，且且 pd1f平面平面 a1add1，所以所以 p平面平面 abcd，且，且 p平面平面 a1add1.又因为平面又因为平面 abcd平面平面 a1add1ad，所以所以 pad，所以，所以 ce，d1f，da 三线

14、共点三线共点方法技巧方法技巧1证明点或线共面问题的证明点或线共面问题的 2 种方法种方法(1)首先由所给条件中的部分线首先由所给条件中的部分线(或点或点)确定一个平面，然后再证其余的线确定一个平面，然后再证其余的线(或点或点)在这个平面在这个平面内；内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合2证明点共线问题的证明点共线问题的 2 种方法种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线直接证明这些点都在同一条特定直线(如

15、某两个平面的交线如某两个平面的交线)上上3证明线共点问题的常用方法证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点针对训练针对训练1.如图所示如图所示，abcda1b1c1d1是长方体是长方体，o 是是 b1d1的中点的中点，直线直线 a1c交平面交平面 ab1d1于点于点 m，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()aa，m，o 三点共线三点共线ba，m，o，a1不共面不共面ca，m，c，o 不共面不共面db，b1，o，m 共面共面5解析：解析：选选 a连接连接 a1c1，ac，则，则 a1c1ac，a1，c1，a，c 四

16、点共面，四点共面，a1c平面平面 acc1a1，ma1c，m平面平面 acc1a1，又又 m平面平面 ab1d1，m 在平面在平面 acc1a1与平面与平面 ab1d1的交线上的交线上同理同理 a，o 在平面在平面 acc1a1与平面与平面 ab1d1的交线上，的交线上，a，m，o 三点共线三点共线2.如图如图，在空间四边形在空间四边形 abcd 中中，e，f 分别是分别是 ab，ad 的中点的中点，g，h分别在分别在 bc，cd 上，且上，且 bggcdhhc12.(1)求证：求证：e，f，g，h 四点共面；四点共面；(2)设设 eg 与与 fh 交于点交于点 p，求证：，求证：p，a，c

17、三点共线三点共线证明：证明：(1)e，f 分别为分别为 ab，ad 的中点，的中点，efbd.在在bcd 中，中，bggcdhhc12，ghbd，efgh.e，f，g，h 四点共面四点共面(2)egfhp，peg，eg平面平面 abc，p平面平面 abc.同理同理 p平面平面 adc.p 为平面为平面 abc 与平面与平面 adc 的公共点的公共点又平面又平面 abc平面平面 adcac，pac，p，a，c 三点共线三点共线考点二考点二空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系典例典例(1)(多选多选)下列结论正确的是下列结论正确的是()a在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行在空间中，

18、若两条直线不相交，则它们一定平行b平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行c一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交d空间中四条直线空间中四条直线 a，b，c，d，如果，如果 ab，cd，且，且 ad，那么，那么 bc(2)已知已知是一个平面是一个平面，m，n 是两条不同的直线是两条不同的直线，a 是一个点是一个点，若若 m ，n，且且 am，a，则，则 m，n 的位置关系不可能是的位置关系不可能是()a垂直垂直b相交相交c异面异面d平行平行解析解析(1)若两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面，若

19、两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面，a 错误；由公理错误；由公理 4 可知可知 b6正确；若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异正确；若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面，面，c 错误；由平行直线的传递性可知错误；由平行直线的传递性可知 d 正确故选正确故选 b、d.(2)是一个平面是一个平面，m，n 是两条不同的直线是两条不同的直线，a 是一个点是一个点，m ，n，且且 am，a，a 在平面在平面内，内，m 与平面与平面相交相交am，a，a 是是 m 和平面和平面的交点，的交点，m 和和 n 异面或相交异面或相交

20、(特殊情况可垂直特殊情况可垂直)，但一，但一定不平行定不平行答案答案(1)bd(2)d方法技巧方法技巧空间两直线位置关系的判定方法空间两直线位置关系的判定方法针对训练针对训练1(多选多选)(2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中中()aaecdbchbecdgbhdbgde解析：解析：选选 bcd还原正方体直观图如图，还原正方体直观图如图，可知可知 ae 与与 cd 为异面直线，故选项为异面直线，故选项 a 不正确；不正确；由由 eh 綊綊 bc，可得，可得 chbe，故选项，故选项 b

21、正确；正确；正方体中易得正方体中易得 dg平面平面 bch，所以有，所以有 dgbh，故选项故选项 c 正确；正确；因为因为 bgah 且且 deah，所以，所以 bgde，故选项，故选项 d 正确正确2(多选多选)如图是正四面体的平面展开图，如图是正四面体的平面展开图，g，h，m，n 分别为分别为 de，be，ef，ec 的中点，则在这个正四面体中的中点，则在这个正四面体中()agh 与与 ef 平行平行7bbd 与与 mn 为异面直线为异面直线cgh 与与 mn 成成 60角角dde 与与 mn 垂直垂直解析：解析：选选 bcd还原成正四面体还原成正四面体 adef 如图所示，其中如图所示

22、，其中 h 与与 n 重重合合，a，b，c 三点重合三点重合，易知易知 gh 与与 ef 异面异面，bd 与与 mn 异面异面连连接接 gm，gmh 为等边三角形为等边三角形，gh 与与 mn 成成 60角角由图易由图易得得deaf，又，又 mnaf，mnde，因此正确的选项是，因此正确的选项是 b、c、d.考点三考点三异面直线所成的角异面直线所成的角典例典例(1)在正三棱柱在正三棱柱 abca1b1c1中中，若若 aa12ab，d 是是 aa1的中点的中点，则则 bd 与与 a1c1所所成角的余弦值为成角的余弦值为()a.12b.24c.22d.2 23(2)(2021岳阳联考岳阳联考)在四

23、面体在四面体 abcd 中，中，bdad，cdad，bdbc，bdad1，bc2，则异面直线，则异面直线 ab 与与 cd 所成角的余弦值为所成角的余弦值为()a.105b.3 1010c.155d.1010解析解析(1)如图如图，取取 cc1的中点的中点 m，连接连接 dm，bm.由于由于 d 为为 aa1的中点的中点，所以所以 dma1c1， 所以所以bdm 或其补角为异面直线或其补角为异面直线 bd 与与 a1c1所成的角所成的角 设设aa12ab2，则则 adab1.因为三棱柱因为三棱柱 abca1b1c1为正三棱柱为正三棱柱，所所以以bd 2，dm1，bm 2.在在bdm 中中，co

24、sbdmbd2dm2bm22bddm 2 212 2 22 2124，故选故选 b.(2)如图如图，在平面在平面 bcd 内内，过点过点 d 作作 bc 的平行线与过点的平行线与过点 b 所作所作 cd 的的平行线相交于平行线相交于 e，连接连接 ae，则四边形则四边形 bcde 为平行四边形为平行四边形，所以所以 debc2，且且abe 或其补角为异面直线或其补角为异面直线 ab 与与 cd 所成的角因为所成的角因为 adbd，adcd，bdcdd，所以所以 ad平面平面 bcd，则则 adde，所以所以 ae ad2de2 5，易知易知 ab ad2bd2 2.因为因为 bdbc，所以所以

25、 dc bd2bc2 5，则则 becd 5，于是在于是在abe 中中，由余弦定理由余弦定理，得得 cosabeab2be2ae22abbe2552 2 51010，8故选故选 d.答案答案(1)b(2)d方法技巧方法技巧平移法求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的步骤平移平移平移的方法一般有三种类型：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点利用特殊点(线段线段的端点或中点的端点或中点)作平行线平移；作平行线平移；(3)补形平移补形平移证明证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角证明所作的角是异面直线所成的角或其补角寻找寻找

26、在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之取舍取舍因为异面直线所成角因为异面直线所成角的取值范围是的取值范围是 090，所以所作的角为钝角时，应取它，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角的补角作为异面直线所成的角针对训练针对训练1在长方体在长方体 abcda1b1c1d1中，中，ab1，ad2，aa13，则异面直线，则异面直线 a1b1与与 ac1所成所成角的余弦值为角的余弦值为()a.1414b.8 314c.1313d.13解析解析：选选 ac1d1a1b1，异面直线异面直线 a1b1与与 ac1所成的角即为所成的角即

27、为 c1d1与与 ac1所成的角所成的角，即即ac1d1或其补角或其补角连接连接 ad1，易知，易知 ad1c1d1.在在 rtac1d1中，中，c1d11，ad1 2232 13，ac1122232 14，cosac1d1c1d1ac11141414.2已知已知 a，b 两点都在以两点都在以 pc 为直径的球为直径的球 o 的表面上，的表面上，abbc，ab2，bc4.若球若球 o的体积为的体积为 8 6，则异面直线，则异面直线 pb 与与 ac 所成角的余弦值为所成角的余弦值为_解析解析：由题意得三棱锥由题意得三棱锥 pabc，如图所示如图所示，其中其中 paac，pbbc，abbc.过点

28、过点 a 作作 bc 的平行线，过点的平行线，过点 b 作作 ac 的平行线，两线交于点的平行线，两线交于点 d，则异面直线则异面直线 pb 与与 ac 所成角为所成角为pbd(或其补角或其补角)由由 pbbc， abbc，pbabb， 得得 bc平面平面 pab， 即即 bcpa， 又又 paac， bcacc，pa平面平面 acbd，paad.计算可得计算可得 ac2 5bd，设球设球 o 的半径为的半径为 r，则，则43r38 6，r 6，pc2 6，pa2，9pb2 2，pd2 5.取取 pb 的中点的中点 e，连接，连接 de，pdbd，depb，cospbdbebd22 51010

29、，即异面直线即异面直线 pb 与与 ac 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1010.答案：答案：1010创新思维角度创新思维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法异面直线所成角的解法探究异面直线所成角的解法探究典例典例正方体正方体 abcda1b1c1d1中，中，p 为为 bc1的中点，的中点，q 为为 a1d 的中点，则异面直线的中点，则异面直线 dp与与 c1q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为_思路点拨思路点拨在正方体中求异面直线所成角的余弦值在正方体中求异面直线所成角的余弦值，考虑到正方体的特征考虑到正方体的特征，可以用平移直可以用平移直线法求解；或建立空间直角坐标系，利用坐标法求解；或利用

30、基向量法求解；或利用三余线法求解；或建立空间直角坐标系，利用坐标法求解；或利用基向量法求解；或利用三余弦定理法求解弦定理法求解解析解析法一：平移直线法法一：平移直线法如图所示，连接如图所示，连接 cb1，qb1，因为四边形因为四边形 bcc1b1为正方形，为正方形，p 为为 bc1的中点，所以的中点，所以 b1p12b1c.因为因为 a1b1cd 且且 a1b1cd，所以四边形所以四边形 cda1b1为平行四边形，为平行四边形，所以所以 b1ca1d 且且 b1ca1d，又又 q 为为 a1d 的中点，所以的中点，所以 b1pqd 且且 b1pqd，所以四边形所以四边形 dpb1q 为平行四边

31、形，所以为平行四边形，所以 b1qdp，所以所以b1qc1或其补角为异面直线或其补角为异面直线 dp 与与 c1q 所成的角所成的角设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2，在，在 rtb1a1q 中，中，b1q a1q2a1b21 24 6；同理可得同理可得 c1q 6.在在b1c1q 中，中，cosb1qc1b1q2c1q2b1c212b1qc1q6642 6 623，故异面直线故异面直线 dp 与与 c1q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为23.法二：坐标法法二：坐标法10以以 d 为坐标原点为坐标原点，分别以分别以 da， dc，dd1的方向为的方向为 x 轴轴、y 轴轴、z 轴的正方向轴

32、的正方向，建立如图所建立如图所示的空间直角坐标系示的空间直角坐标系 dxyz.设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2，则各点的坐标为，则各点的坐标为 d(0,0,0)，p(1,2,1)，q(1,0,1)，c1(0,2,2)，所以所以 dp(1,2,1)，c1q(1，2，1)，所以所以 cos dp， c1qdpc1q| dp|c1q|1416 623.所以异面直线所以异面直线 dp 与与 c1q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为23.法三：基向量法法三：基向量法设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2， daa a， dcb b，dd1c c，则则 dpb b12(a ac c)12a ab b12

33、c c，c1qb b12(a ac c)12a ab b12c c.由直线由直线 da，dc，dd1两两垂直得两两垂直得 a ab bb bc ca ac c0，所以所以 dpc1q12a2b12c214a a2b b214c c214222214224，| dp|14a2b214c2 6，|c1q|14a2b214c2 6，所以所以 cos dp， c1qdpc1q| dp|c1q|46 623.所以异面直线所以异面直线 dp 与与 c1q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为23.法四：三余弦定理法法四：三余弦定理法如图所示，连接如图所示，连接 ad1，pq，ap，b1c，易知四边形，易知四边

34、形 abc1d1为平行四为平行四边形，且边形，且 dq平面平面 abc1d1，即即 pq 为为 dp 在平面在平面 abc1d1上的射影，上的射影，易易知知 apc1q， 所以所以apd 或其补角为异面直或其补角为异面直线线 dp 与与 c1q 所成的角所成的角设正方体的棱长为设正方体的棱长为 1，易知易知 cosapq63，cosdpq63，11由三余弦定理得由三余弦定理得 cosapdcosapqcosdpq636323，即异面直线即异面直线 dp 与与 c1q 所成角的余弦值为所成角的余弦值为23.答案答案23名师微点名师微点法一可通过平行四边形找平行线达到平移的目的，将两条异面直线所成

35、的角转化为两条相法一可通过平行四边形找平行线达到平移的目的，将两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角求解，这时往往将平移后的角置于一个三角形中，通过解三角形获得角的交直线所成的角求解，这时往往将平移后的角置于一个三角形中，通过解三角形获得角的三角函数值；法二可考虑到当载体是正方体或长方体时，建立空间直角坐标系，利用坐标三角函数值；法二可考虑到当载体是正方体或长方体时，建立空间直角坐标系，利用坐标去求角，这种方法往往比较简单；法三也可以利用空间向量基本定理，选取一组基向量，去求角，这种方法往往比较简单；法三也可以利用空间向量基本定理，选取一组基向量，然后利用基向量解决其他向量的夹角问题然

36、后利用基向量解决其他向量的夹角问题方法提炼方法提炼两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法(1)利用平移直线法求解的实质就是将空间两直线所成角转化为平面三角形的内角去求解利用平移直线法求解的实质就是将空间两直线所成角转化为平面三角形的内角去求解(2)向量法有两种，一是建立空间直角坐标系，利用坐标结合向量数量积的性质求解，二是向量法有两种，一是建立空间直角坐标系，利用坐标结合向量数量积的性质求解，二是利用基向量结合向量数量积的性质求解利用基向量结合向量数量积的性质求解(3)三余弦定理法的关键是找到两条异面直线中的一条在包含另一条三余弦定理法的关键是找到两条异面直线中的一条在包含另一条直线

37、的平面内的射影直线的平面内的射影如图所示如图所示，oa 是与平面是与平面相交的一条斜线相交的一条斜线，oa 在平面在平面内的射影内的射影为为ab，ac 是平面是平面内的一条直线内的一条直线，oac，oab1，bac2，则则 cos cos 1cos2.课时跟踪检测课时跟踪检测一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度1(多选多选)下列推断中，正确的是下列推断中，正确的是()aal，a，bl，blba，a，b，babcl ，ala da，b，c，a，b，c，且，且 a，b，c 不共线不共线，重合重合解析：解析：选选 abd直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，直线不在

38、平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以所以 c 错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故选错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故选 a、b、d.2已知直线已知直线 a 和平面和平面，l，a ，a ，且，且 a 在在，内的射影分别为直线内的射影分别为直线 b 和和 c，则直线则直线 b 和和 c 的位置关系是的位置关系是()a相交或平行相交或平行b相交或异面相交或异面c平行或异面平行或异面d相交、平行或异面相交、平行或异面12解析：解析：选选 d依题意，直线依题意，直线 b 和和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选的位置关系可能是相交、平行或异面，选 d.3下列命题

39、中，错误命题的个数为下列命题中，错误命题的个数为()直线直线 a 与平面与平面不平行，则直线不平行，则直线 a 与平面与平面内的所有直线都不平行；内的所有直线都不平行；直线直线 a 与平面与平面不垂直，则直线不垂直，则直线 a 与平面与平面内的所有直线都不垂直；内的所有直线都不垂直；异面直线异面直线 a，b 不垂直，则过直线不垂直，则过直线 a 的任何平面与直线的任何平面与直线 b 都不垂直；都不垂直；若直线若直线 a 和和 b 共面，直线共面，直线 b 和和 c 共面，则直线共面，则直线 a 和和 c 共面共面a1b2c3d4解析：解析：选选 c对于对于，若直线，若直线 a 在平面在平面内，

40、这时直线内，这时直线 a 和平面和平面不平行，但是平面内存在不平行，但是平面内存在直线和直线和 a 是平行的是平行的，故故错误错误；对于对于，若直线若直线 a 在平面在平面内内，这时直线这时直线 a 和平面和平面不垂直不垂直，但是平面内存在直线和直线但是平面内存在直线和直线 a 是垂直的，故是垂直的，故错误；对于错误；对于，根据线面垂直的定义可知，根据线面垂直的定义可知，是正确的是正确的；对于对于，直线直线 a，c 有可能是异面直线有可能是异面直线，故故错误错误综上所述综上所述，有有 3 个命题是个命题是错误命题，故选错误命题，故选 c.4如果两条异面直线称为如果两条异面直线称为“一对一对”，

41、那么在正方体的十二条棱中共有异面直线，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()a12 对对b24 对对c36 对对d48 对对解析：解析：选选 b如图所示，与如图所示，与 ab 异面的直线有异面的直线有 b1c1，cc1，a1d1，dd1四四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有 12 条棱，排除两棱的重复计条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线算，共有异面直线124224(对对)5已知已知 a，b，c，d 是空间四点，命题甲：是空间四点，命题甲：a，b，c，d 四点不共面，命题乙：直线四点不共面，命题乙：直线 ac和和 bd 不相交，则甲是乙成立的不相交

42、，则甲是乙成立的()a充分不必要条件充分不必要条件b必要不充分条件必要不充分条件c充要条件充要条件d既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析：选选 a若若 a，b，c，d 四点不共面四点不共面，则直线则直线 ac 和和 bd 不共面不共面，所以所以 ac 和和 bd 不相不相交；若直线交；若直线 ac 和和 bd 不相交，当直线不相交，当直线 ac 和和 bd 平行时，平行时，a，b，c，d 四点共面，所以甲四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件是乙成立的充分不必要条件6.(2021临沂模拟临沂模拟)如图如图，四边形四边形 abcd 和四边形和四边形 adpq 均为正方形均为正方形，

43、它们它们所在的平面互相垂直，则异面直线所在的平面互相垂直，则异面直线 ap 与与 bd 所成的角为所成的角为_解析：解析：如图，将原图补成正方体如图，将原图补成正方体 abcdqghp，连接，连接 gp，则，则 gpbd，所以，所以apg 为异面直为异面直线线13ap 与与 bd 所成的角，在所成的角，在agp 中，中，aggpap，所以所以apg3.答案：答案：3二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度1(2021威海一中月考威海一中月考)设设，为不重合的两个平面，为不重合的两个平面，m，n 为不重合的两条直线，则下列为不重合的两条直线，则下列命题正确的是命题正确的是()a若若，n，mn

44、，则，则 mb若若 m，n，mn，则，则c若若 m，n，mn，则，则d若若 n，n，m，则，则 m解析：解析：选选 d对于对于 a，若，若，n，mn，则，则 m 与与有可能相交，也有可能有可能相交，也有可能 m，故故 a 错误；对于错误；对于 b，若，若 m，n，mn，则，则与与有可能相交，也有可能平行，故有可能相交，也有可能平行，故 b 错错误；对于误；对于 c，若，若 m，n，mn，则，则与与有可能平行，也有可能相交，故有可能平行，也有可能相交，故 c 错误；对错误；对于于 d，由于，由于 m，n，所以，所以 mn，又知，又知 n，所以，所以 m，故，故 d 正确故选正确故选 d.2若若

45、m，n 是两条不同的直线是两条不同的直线，是三个不同的平面是三个不同的平面，则下列说法中正确的是则下列说法中正确的是()a，m，n mnb， c，mn，mndm，n，mn解析：解析：选选 c对于对于 a，由，由，m，n，可知，可知 m，n 无公共点，无公共点，则则 m 与与 n 平行或异面平行或异面，故故 a 错误错误；对于对于 b，由由，可知可知与与可能平行，也可能相交，故可能平行，也可能相交，故 b 错误；对于错误；对于 c，由于，由于 mn，m，所，所以以 n，又知又知，所以所以 n，故故 c 正确正确；对于对于 d，如图所示如图所示，m，n，mn，但，但与与相交，故相交，故 d 错误故

46、选错误故选 c.3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 abcda1b1c1d1中，中，aa12ab2，则异面直线，则异面直线 a1b 与与 ad1所成角的余弦值为所成角的余弦值为()a.15b.25c.35d.45解析解析：选选 d连接连接 bc1，易证易证 bc1ad1，则则a1bc1(或其补角或其补角)即为异面直即为异面直线线 a1b 与与 ad1所成的角所成的角连接连接 a1c1，由，由 ab1，aa12，则，则 a1c1 2，a1bbc1 5，14在在a1bc1中，由余弦定理得中，由余弦定理得 cosa1bc15522 5 545

47、.4若平面若平面，的公共点多于两个，则的公共点多于两个，则，平行；平行；，至少有三个公共点；至少有三个公共点；，至少有一条公共直线；至少有一条公共直线；，至多有一条至多有一条公共直线公共直线以上四个判断中不成立的个数为以上四个判断中不成立的个数为()a0b1c2d3解析：解析：选选 c由条件知，当平面由条件知，当平面，的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则，相相交；若公共点不共线，则交；若公共点不共线，则，重合故重合故一定不成立；一定不成立；成立；成立；成立；成立；不成立不成立5 (2021沈阳模拟沈阳模拟)如图如图， 在三棱在三棱柱柱 abca1b1

48、c1中中， 侧侧棱棱 aa1底底面面 a1b1c1，底面三角形底面三角形 a1b1c1是正三角形，是正三角形，e 是是 bc 的中点，则下列叙述正确的是的中点，则下列叙述正确的是()acc1与与 b1e 是异面直线是异面直线bac平面平面 abb1a1cae，b1c1为异面直线且为异面直线且 aeb1c1da1c1平面平面 ab1e解析：解析：选选 ccc1与与 b1e 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以在同一个侧面中，故不是异面直线，所以 a 错误；由题意知，上错误；由题意知，上底面是一个正三角形，故底面是一个正三角形，故 ac 不可能垂直于平面不可能垂直于平面 abb1a1，所以，所以

49、b 错误；因为错误；因为 ae，b1c1为为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，且因为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，且因为abc 为正三角形，为正三角形，点点 e 为为 bc 中点，所以中点，所以 aebc，又因为，又因为 bcb1c1，所以，所以 aeb1c1，所以，所以 c 正确；因正确；因为为a1c1所在的平面所在的平面 a1b1c1与平面与平面 ab1e 相交相交，且且 a1c1与交线有公共点与交线有公共点，故故 a1c1平面平面 ab1e不正确，所以不正确，所以 d 错误故选错误故选 c.6 (多选多选)(2021日照模拟日照模拟)如图如图，

50、 在长方体在长方体 abcda1b1c1d1中中， aa1ab4，bc2，m，n 分别为棱分别为棱 c1d1，cc1的中点，则的中点，则()aa，m，n，b 四点共面四点共面b平面平面 adm平面平面 cdd1c1c直线直线 bn 与与 b1m 所成的角为所成的角为 60dbn平面平面 adm解析：解析：选选 bc如图所示，对于如图所示，对于 a，直线，直线 am，bn 是异面直线，故是异面直线，故 a，m，n，b 四点不共面四点不共面，故故 a 错误错误；对于对于 b，在长方体在长方体 abcda1b1c1d1中中，可可得得ad平面平面 cdd1c1，所以平面，所以平面 adm平面平面 cd

51、d1c1，故，故 b 正确；对于正确；对于 c，取取 cd 的中点的中点 o，连接，连接 bo，on，可知三角形，可知三角形 bon 为等边三角形，故为等边三角形，故 c 正正确确；对于对于 d，因为因为 bn平面平面 aa1d1d，显然显然 bn 与平面与平面 adm 不平行不平行，故故 d错误故选错误故选 b、c.157.如图，已知圆柱的轴截面如图，已知圆柱的轴截面 abb1a1是正方形，是正方形，c 是圆柱下底面弧是圆柱下底面弧 ab 的中的中点，点，c1是圆柱上底面弧是圆柱上底面弧 a1b1的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线 ac1与与 bc 所成角的正所成角的正切值为切值为_解

52、析：解析：如图，取圆柱下底面弧如图，取圆柱下底面弧 ab 的另一中点的另一中点 d，连接，连接 c1d，ad，c 是圆柱下底面弧是圆柱下底面弧 ab 的中点，的中点，adbc，直线直线 ac1与与 ad 所成的角即为异面直线所成的角即为异面直线 ac1与与 bc 所成的角所成的角c1是圆柱上底面弧是圆柱上底面弧 a1b1的中点，的中点，c1d圆柱下底面，圆柱下底面，c1dad.圆柱的轴截面圆柱的轴截面 abb1a1是正方形，是正方形，c1dab 2ad，直线直线 ac1与与 ad 所成角的正切值为所成角的正切值为 2，异面直线异面直线 ac1与与 bc 所成角的正切值为所成角的正切值为 2.答案：答案： 28.如图如图，在正方体在正方体 abcda1b1c1d1中中，m，n 分别为棱分别为棱 c1d1，c1c 的中点的中点，有以下四个结论有以下四个结论：直线直线 am 与与 cc1是相交直线；是相交直线；直线直线 am 与与 bn 是平行直线；是平行直线；直线直线 bn 与与 mb1是异面直线；是异面直线；直线直线 am 与与 dd1是异面直线是异面直线其中正确的结论为其中正确的结论为_(填序号填序号)解析：解析：直线直线 am 与与 cc1是异面直线，直线是异面直线，直线 am 与与 bn 也是异面直线，故也是异面直线，故错误错误答案：答案：9(2021洛阳模拟洛阳模拟