2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4讲　数列求和

1、第 4 讲数列求和考点一分组转化法求和(基础型)复习指导|分组转化法求和是把数列的每一项分成两项或几项， 使其转化为几个等差、等比数列，再求解已知数列an的前 n 项和 snn2n2，nn*.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和【解】(1)当 n1 时，a1s11；当 n2 时，ansnsn1n2n2(n1)2(n1)2n.a1也满足 ann，故数列an的通项公式为 ann.(2)由(1)知 ann，故 bn2n(1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 t2n，则 t2n(212222n)(12342n)记 a212222n，b12342n，

2、则 a2(122n)1222n12，b(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前 2n 项和 t2nab22n1n2.分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和(2)通项公式为 anbn，n 为奇数，cn，n 为偶数的数列， 其中数列bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和1(2020资阳诊断)已知数列an中，a1a21，an2an2，n 是奇数，2an，n 是偶数，则数列an的前 20 项和为()a1 121b1 122c1 123d1 124解析：选 c由题意可知，数列a2n是首项为 1，公比为 2

3、 的等比数列，数列a2n1是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故数列an的前 20 项和为1(1210)12101109221 123.选 c2(2020吉林长春质量监测(二)各项均为整数的等差数列an，其前 n 项和为 sn，a11，a2，a3，s41 成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求数列(1)nan的前 2n 项和 t2n.解：(1)设等差数列an的公差为 d，因为 a11，a2，a3，s41 成等比数列，所以 a23a2(s41)，即(12d)2(1d)(36d)，解得 d2d12舍去，所以数列an的通项公式为 an2n3.(2)由(1)可知 anan12(n2)，所以 t2

4、n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)2n.考点二错位相减法求和(综合型)复习指导|如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解(2020郑州市第二次质量预测)已知数列an中，a11，an0，前 n 项和为 sn，若 an sn sn1(nn*，且 n2)(1)求数列an的通项公式；(2)记 cnan2an，求数列cn的前 n 项和 tn.【解】(1)在数列an中，ansnsn1(n2)，因为 an sn sn1，且 an0，所以得 sn sn11(n2)，所以数列 sn是以 s1 a11 为首项， 公差为 1 的等差数列，

5、 所以 sn1(n1)1n，所以 snn2.当 n2 时，ansnsn1n2(n1)22n1，当 n1 时，a11，也满足上式，所以数列an的通项公式为 an2n1.(2)由(1)知，an2n1，所以 cn(2n1)22n1，则 tn12323525(2n1)22n1，4tn123325527(2n3)22n1(2n1)22n1，两式相减得，3tn22(232522n1)(2n1)22n1，228(122n2)14(2n1)22n1103532n22n1，所以 tn(6n5)22n1109.用错位相减法求和的策略和技巧(1)掌握解题“3 步骤”(2)注意解题“3 关键”要善于识别题目类型，特别

6、是等比数列公比为负数的情形在写出“sn”与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“snqsn”的表达式在应用错位相减法求和时， 若等比数列的公比为参数， 应分公比 q1 和 q1 两种情况求解已知an为正项等比数列，a1a26，a38.(1)求数列an的通项公式 an；(2)若 bnlog2anan，且bn的前 n 项和为 tn，求 tn.解：(1)依题意，设等比数列an的公比为 q，则有a1a1q6，a1q28，则 3q24q40，而q0，所以 q2.于是 a12，所以数列an的通项公式为 an2n.(2)由(1)得 bnlog2anann2n，所以 tn1222

7、2323n2n，12tn122223n12nn2n1，两式相减得，12tn1212212312nn2n1，所以 tn11212212n1n2n112n112112n2n2n22n.考点三裂项相消法求和(综合型)复习指导|如果数列an的每一项都可以拆成两项或三项等，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，可利用裂项相消法求和数列an的前 n 项和为 sn，a11.现在给你三个条件an12an.sn2ant.sn2nk.从上述三个条件中选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答已知_，若 bnlog2an1，bn的前 n 项和为 tn.(1)求 tn；(2)求证：

8、数列1tn的前 n 项和 an2.【解】若选.由 a11，an12an知，数列an是首项为 1.公比为 2 的等比数列所以 an12n12n1.(1)所以bnlog22nn.bn1bnn1n1.所以bn是首项为1.公差为1的等差数列 所以 tnn1n(n1)21n(n1)2.(2)数列1tn的前 n 项和 an1t11t21tn2122232n(n1)2111212131n1n12nn12(n1)n12.所以 an2.若选.由 a11，sn2ant 得 n1 时，121t.所以 t1.n2 时ansnsn12an2an1所以an2an1所以数列an是首项为1.公比为2的等比数列 下与选相同 若

9、选.由 a11.sn2nk 知，n1 时，121k.k1.n2 时，ansnsn1(2n1)(2n11)2n1.下与选相同(1)裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止消项规律： 消项后前边剩几项， 后边就剩几项， 前边剩第几项， 后边就剩倒数第几项注意利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项(2)常用的裂项公式1n(

10、n1)1n1n1.1(2n1)(2n1)1212n112n1 .1n n1 n1 n.1(2020湖北八校联考)已知等差数列an的前 n 项和为 sn，且 a912a126，a24，则数列1sn的前 10 项和为()a1112b1011c910d89解析：选 b设等差数列an的公差为 d，由 a912a126 及等差数列的通项公式得 a15d12，又 a24，所以 a12，d2，所以 snn2n，所以1sn1n(n1)1n1n1，所以1s11s21s10112 1213 11011111111011.2数列an满足 a11,a2n2an1(nn*)(1)求证：数列a2n是等差数列，并求出an的

11、通项公式；(2)若 bn2anan1，求数列bn的前 n 项和解：(1)由 a2n2an1得 a2n1a2n2，且 a211，所以数列a2n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 a2n1(n1)22n1，又由已知易得 an0，所以 an 2n1(nn*)(2)bn2anan122n1 2n1 2n1 2n1，故数列bn的前 n 项和 tnb1b2bn( 31)( 5 3)(2n12n1) 2n11.基础题组练1数列an的前 n 项和为 sn，已知 sn1234(1)n1n，则 s17()a9b8c17d16解析：选 as171234561516171(23)(45)(67)(1415)

12、(1617)11119.2在数列an中，an2n12n，若an的前 n 项和 sn32164，则 n()a3b4c5d6解析：选 d由 an2n12n112n得，snn1212212nn112n，则 sn32164n112n，将各选项中的值代入验证得 n6.3在数列an中，a12，a22，an2an1(1)n，nn*，则 s60的值为()a990b1 000c1 100d99解析：选 an 为奇数时，an2an0，an2；n 为偶数时，an2an2，ann.故 s60230(2460)990.4已知函数 f(x)axb(a0，且 a1)的图象经过点 p(1，3)，q(2，5)当 nn*时，an

13、f(n)1f(n)f(n1)，记数列an的前 n 项和为 sn，当 sn1033时，n 的值为()a7b6c5d4解析：选 d因为函数 f(x)axb(a0，且 a1)的图象经过点 p(1，3)，q(2，5)，所以ab3，a2b5，所以a2，b1或a1，b4(舍去)，所以 f(x)2x1，所以 an2n11(2n1)(2n11)12n112n11，所以 sn1315 1519 12n112n11 1312n11，令 sn1033，得 n4.故选 d5(2020河北保定期末)在数列an中，若 a11，a23，an2an1an(nn*)，则该数列的前 100 项之和是()a18b8c5d2解析：选

14、 c因为 a11，a23，an2an1an(nn*)，所以 a3312，a4231， a5123， a6312， a7231， a8123， a9312， ，所以an是周期为 6 的周期数列，因为 1001664，所以 s10016(132132)(1321)5.故选 c6等比数列an中，若 a127，a91243，q0，sn是其前 n 项和，则 s6_解析：由 a127，a91243知，124327q8，又由 q0，解得 q13，所以 s627 11361133649.答案：36497(2020九江联考)若an，bn满足 anbn1，ann23n2，则bn的前 18 项和为_解析：因为 an

15、bn1，且 ann23n2，所以 bn1n23n21(n2)(n1)1n11n2，所以bn的前 18 项和为1213131414151191201212010120920.答案：9208已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，且 b23，b39，a1b1，a14b4.则an的通项公式为_；设 cnanbn，则数列cn的前 n 项和为_解析：设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列，由 b23，b39，可得 qb3b23，bnb2qn233n23n1.即有 a1b11，a14b427，则 da14a1132，则 ana1(n1)d12(n1)anbn2n13n1， 则数列

16、cn的前 n 项和为13(2n1)(1393n1)12n2n13n13n23n12.答案：an2n1n23n129已知数列an满足 a112，且 an12an2an.(1)求证：数列1an是等差数列；(2)若 bnanan1，求数列bn的前 n 项和 sn.解：(1)证明：因为 an12an2an，所以1an12an2an，所以1an11an12，所以数列1an是首项为 2，公差为12的等差数列(2)由(1)知1an1a1(n1)12n32，所以 an2n3，所以 bn4(n3)(n4)4(1n31n4)，sn4(1415)(1516)(1n31n4)4(141n4)nn4.10(2020广州

17、市综合检测(一)已知an是等差数列，且 lg a10，lg a41.(1)求数列an的通项公式；(2)若 a1，ak，a6是等比数列bn的前 3 项，求 k 的值及数列anbn的前 n 项和解：(1)因为 lg a10，lg a41，所以 a11，a410.设等差数列an的公差为 d，则 da4a1413.所以 ana13(n1)3n2.(2)由(1)知 a11，a616，因为 a1，ak，a6是等比数列bn的前 3 项所以 a2ka1a616.又 an3n20，所以 ak4.因为 ak3k2，所以 3k24，得 k2.所以等比数列bn的公式 qb2b1a2a14.所以 bn4n1.所以 an

18、bn3n24n1.所以数列anbn的前 n 项和为 snn(3n1)214n1432n212n13(4n1)综合题组练1(综合型)(2020黑龙江牡丹江一中模拟)已知数列an满足 a12，4a3a6，ann 是等差数列，则数列(1)nan的前 10 项的和 s10是()a220b110c99d55解析：选 b设等差数列ann 的公差为 d，则a66a15d，a66a333d，将已知值和等量关系代入，计算得 d2，所以anna1(n1)d2n，an2n2，所以 s10a1a2a3a4a102(1210)110，故选 b2已知数列an满足 a11，an1an2n(nn*)，则 s2 018等于()

19、a22 0181b321 0093c321 0091d321 0082解析：选 ba11，a22a12，又an2an1an1an2n12n2，所以an2an2.所以 a1，a3，a5，成等比数列；a2，a4，a6，成等比数列，所以 s2 018a1a2a3a4a5a6a2 017a2 018(a1a3a5a2 017)(a2a4a6a2 018)121 009122(121 009)12321 0093.故选 b3设数列an的前 n 项和为 sn，且 a11，anan112n(n1，2，3，)，则 s2n1_解析：因为 a11，anan112n(n1，2，3，)，所以 s2n1a1(a2a3)

20、(a2n2a2n1)1122124122n243114n.答案：43114n4(创新型)已知数列an，若 an1anan2(nn*)，则称数列an为“凸数列”已知数列bn为“凸数列”，且 b11，b22，则数列bn的前 2 019 项和为_解析：由“凸数列”的定义及 b11，b22，得 b33，b41，b52，b63，b71，b82，所以数列bn是周期为 6 的周期数列，且 b1b2b3b4b5b60，于是数列bn的前 2 019 项和等于 b1b2b34.答案：45(2019高考天津卷)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于 0.已知 a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足 cn1，n 为奇数，bn2，n 为偶数. 求 a1c1a2c2a2nc2n(nn*)解： (1)设等差数列an的公差为 d， 等比数列bn的公比为 q.依题意， 得3q32d，3q2154d，解得d3，q3，故 an