2018版高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数、余弦函数的图象导学案新人教A版必修4

1、1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标】1. 了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法 和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、 弦曲线之间的联系.西问题导学-知识点一正弦函数、余弦函数的概念思考从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值.这样，任意给定一个实数x,有唯一确定的值 sinx（或 cosx）与之对应.由 这个对应法则所确定的函数y= sinx（或y= cosx）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是 R.知识点二几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考 1 课本上是利

2、用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：1作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O,作出以0为圆心的单位圆；2等分单位圆，作正弦线：从O0与x轴的交点A起，把O0分成 12 等份.过O0上各分点 作x轴的垂线，得到对应于 0,nn, 3，n2，2n等角的正弦线；3找横坐标：把x轴上从 0 到 2n这一段分成 12 等份；4找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到 12.2.掌握“五点法”画正弦曲线余弦曲线.3.理解正弦曲线与余22n的图象，如图且k工0的

3、图象与函数y= sinx,x0,2n）的图象的形状完全一致.于是只要将函数y= sinx 0 , 2n）的图象向左、向右平行移动（每次 2n个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx,x R 的图象，如图.思考 2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？n答案 把y= sinx,x R 的图象向左平移g个单位长度，即可得到y= cosx,x R 的图象.梳理正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.知识点三“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考 1 描点法作函数图象有哪几个步骤？答案列表、描点、连线.思考 2“五点法”作正弦函数、余弦函数在x 0 , 2n上的

4、图象时是哪五个点？答案画正弦函数图象的五点(0,0)(n ,0)12 ，-1丿(2n ,0)画余弦函数图象的五点(0,1)& 0)(n，-1)A J U，丿(2n ,1)梳理“五点法”作正弦函数y= sinx、余弦函数y= cosx,x 0 , 2n图象的步骤:（1）列表x0n2n3n22nsinx010-10cosx10-101条正弦线的 12 个终点;连线：用光滑的曲线将12 个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y= sinx,x 0 ,H宝；1因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx,x2kn ,2(k+1)n),kZ(B)戸in “ EI仇2 E siIT3描

5、点4画正弦函数y= sinx,x 0 , 2n的图象，五个关键点是壬亠亠 J 亠，1 ；画余弦函数y= cosx,x 0 , 2n的图象，五个关键点是(0,1),亍二,(n，-1),曹二亠 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图题型探究类型一“五点法”作图的应用例 1 利用“五点法”描点连线，如图所示x0nTn3n2nsinx010101 sinx10121反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图“五点”即 cosx的图象在0 , 2n内的最高点、最低点和与x轴的交点“五点法” 法跟踪训练 1 用“五点法”作出函数y= 1 cosx(0wxW2 n)的简图y=

6、sinx或y=是作简图的常用方5类型二利用正弦、余弦函数的图象求定义域例 2 求函数f(x) = lg sinx+16-x的定义域.sinx0,解由题意，得x满足不等式组*216-x0,结合图象可得x 4,n)U(0 ,n).反思与感悟一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端 点的取舍.1 即 0sinxw2.n由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为X|2knxW2kn+石或 2kn5n +x0,即4Wx0，sinx0,求函数y=1 的定义域.6类型三与正弦、余弦函数有关的函数零点问题命题角度 1 零点个数问题例 3 在同一坐标系中，作函数y= s

7、inx和y= lgx的图象，根据图象判断出方程sinx=3 IT7Igx的解的个数解 建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y= sinx,x 0 , 2n的图象，再向右连续平移 2n个单位，得到y= sinx的图象描出点(1 , 0) , (10, 1)，并用光滑曲线连接得到y= Igx的图象，如图所示反思与感悟三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正 是数形结合思想方法的应用跟踪训练 3 方程x2 cosx= 0 的实数解的个数是答案 2解析 作函数y= cosx与y=x2的图象，如图所示,由图象可知，原方程有两个实数解nn设方程的两实根分别为xi,X2,

8、则由图象可知xi与X2关于X花对称，于是xi+x2=2G，n所以Xi+X2=反思与感悟 准确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析由图象可知方程sin命题角度 2 参数范围问题例 4 方程 sin(x+nn)= 2 在0，n上有两实根，求实数m的取值范围及两实根之和解 作出yi= sin(x+专)，y2=号的图象如图，由图象可知,要使yi= sin(x+亍)，=?在区间0，n上有两个不同的交点,应满足_23妾 1,即.3wn0,1即 sinx由y= sinx在0 , 2n的图象，n5n可知云WXW,6 6一5n所以y=2sinx- 1 的定义域为 |*+ 2kn, +

9、2kn,k 乙5.请用“五点法”画出函数y= 2sin 2x-6 的图象.n解 令X= 2x，贝 Ux变化时，y的值如下表：6X0n2n3n 2-2nxnn7n5n13n =12312612y0120120描点画图:12_乂JiF017IT TI卅、Z13TF屈_ 2将函数在n詈 上的图象向左、向右平移即得y= 2sin p j 的图象厂规律与方法-1. 对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低

10、点以及与x 轴的交点2. 作函数y=asinx+b的图象的步骤：113.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期0, 2n内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出12、选择题1.对于正弦函数y= sinx的图象，下列说法错误的是()A. 向左右无限伸展B. 与y= cosx的图象形状相同，只是位置不同C. 与x轴有无数个交点D.关于y轴对称答案 D解析易知 i6，2 不是关键点3.已知f(x) = sin ix + -2 ,g(x) = cos jX-n，则将f(x)的图象()A. 与g(x)的图象相同B. 与g(x)的图象关于y轴对称nC. 向左平移个单位，得g(

11、x)的图象nD.向右平移2 个单位，得g(x)的图象答案 D解析f(x) = sinix+ 专,g(x) = cosx-f=cos f-x=sinx,nf(x)的图象向右平移 个单位得到g(x)的图象.课时作业解析由正弦曲线知，A, B, C 均正确，D 不正确.2.用五点法画y= sinx,x 0 , 2n的图象时，下列哪个点不是关键点()A匸n6，2B. &JD.(2n ,0)C.(n ,0)答案 A4.函数y= sinx,x 亍,号的简图是(13A.7 B.8 C.9 D.10答案 A答案 D32cosx,0 xW2 或x2 n ,解析由题意得y=1，7.若函数y= 2cosx(

12、0 x2 n)的图象和直线y= 2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭 图形的面积是()1L） ,0/3TFx2-1答案 Dx5.方程 sinx= 10 的根的个数是TT P72ITIT3TT2ITXT显然只有 D 合适.nx0,x满足cosx0,即.-50,10.函数f(x)=|x+2,xv0,163n5n答案 x| 2xV0 或百 + 2knvXV百 + 2kn,k N一 一13解析在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y= q 的图象(图略)，由图易得一2x 0 或n5n+2kn Vx+2kn ,kN6 611.设 Owx0, 即卩 cosxsinx,在同一坐标系画出2n与y= cos

13、x,x 0 ,1y=空+ sinx,x 0 , 2n的简图.解(1)取值列表如下:x0n2n3n_2-2nsinx010101 .131112+ sinx22222(2)描点、连线，如图所示解 首先作出y= sinx在0 , 2n上的图象，如图所示,y= sinx,x 0 ,观察图象知x三、解答题5nz.12.用“五点法”画出函数13.利用正弦曲线，求满足12si nx的x的集合.2n的图象，如图所示17n2nx,x 0 , 2n的交点横坐标为和可.观察图象可知，在0 , 2n上,n n2n5n”1当 7x3 或 T 三xT 时，不等式 2sin所以 2sinxw#的解集为nn、2n5nx|y+2knxT +2kn或丁 +2knwx+2kn，k Z.四、探究与拓展14.已知函数y= 2sinx（专wx琴）的图象与直线y= 2 围成一个封闭的平面图形，那么此 封闭图形的面积为（）A.4B.8C.4nD.2n答案 C解析数形结合，如图所示.y= 2sinx,x 专,的图象与直线y= 2 围成的封闭平面图形的面积相当于由x=专,x5n5n n=2,y= 0,y= 2 围成的矩形面积，即S= 2% 2= 4n.15.函数f(x) = sinx+ 2|sinx| ,x 0