2017-2018学年高一数学上学期期末复习专题02函数的概念与性质导学案

1、般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有，那么函数 f(x)就叫做偶第二讲函数的概念与性质、基础知识整合1 函数的概念一般地，设 A, B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有_f(x)和它对应，那么就称 f :ATB 为从集合 A 到集合 B 的一个_ ，记作 y= f(x) , x A,其中，x 叫做_ , x 的取值范围 A 叫做函数的；与 x 的值相对应的 y 值叫做_，其集合f(x)|x A叫做函数的 _ .2 函数的表示方法(1) 解析法：就是用 _表示两个变量之间的对应关系的方法.(2) 图象法：就是

2、用 _表示两个变量之间的对应关系的方法.(3) 列表法：就是 _来表示两个变量之间的对应关系的方法.疋、3.构成函数的三要素(1) 函数的三要素是：_ , _ , _.(2) 两个函数相等：如果两个函数的 _ 相同，并且_ 完全一致，则称这两个函数相等.4分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.5.映射的概念一般地，设 A, B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合 A 中的_元素 x，在集合 B 中都有_ 元素 y 与之对应，那么就称对应 f :ATB为从集 合 A到集合 B 的一个映射.6映射与函数的关系(1

3、)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_L_区别：函数是从非空数集A 到非空数集 B 的映射；对于映射而言，A 和 B 不一定是数集.7. 复合函数一般地，对于两个函数 y= f(u)和 u= g(x)，如果通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数，那么 称这个函数为函数 y = f(u)和 u = g(x)的复合函数，记作 y= f(g(x)，其中 y= f(u)叫做复 合函数 y = f(g(x)的外层函数，u= g(x)叫做 y= f(g(x)的内层函数.8.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I

4、:1如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1 ,x2,当 x1vx2 时，都有 f(x1)vf(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是2如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的自变量的值 x1 ,x2,当 x1vx2 时，都有 f(x1) f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是格的)，区间 D 叫做 y= f(x)的9.奇、偶函数的概念(2)单调性与单调区间如果函数 y= f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y = f(x)在这一区间具有(严般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有，那么函数 f(x)就叫做偶(1)偶函数3函

5、数.奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 X,都有，那么函数 f(x)就叫做奇函数.10. 奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称.11. 具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件.12. 周期函数的概念(1) 周期、周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个 T，使得当 x 取定义域内的值时，都有,那么函数 f(x)就叫做周期函数.T 叫做这个函数的周期.(2) 最小正周期I 1如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.13. 函数奇偶性与

6、单调性之间的关系(1)若函数 f(x)为奇函数，且在a , b上为增(减)函数，则 f(x)在b, a上为:若函数 f(x)为偶函数，且在a , b上为增(减)函数，则 f(x)在b, a上为.14. 奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇奇=，偶偶=，奇乂奇=，偶乂偶=，奇X偶= .15. 函数的对称性如果函数 f(x) , x D,满足？x D,恒有 f(a + x) = f(b x)，那么函数的图象有对称轴a+b-;如果函数 f(x) , x D,满足？x D,恒有 f(a x) = f(b + x)，那么函数的图(象有对称中心_-ifjXA16. 函数的对称性与周期性的关系I 、I(1

7、)如果函数 f(x)(x D)在定义域内有两条对称轴x= a, x = b(ab)，则函数 f(x)是周期函数，且周期 T= 2(b a)(不一定是最小正周期，下同).如果函数 f(x)(x D)在定义域内有两个对称中心A(a , 0) , B(b , O)(a0,1【解析】 由题意，得 2x2 3x 2丰0.解之得1wxwi且XM2.x,x0,3. 设 f(x) = 2x, x0,则 f(f( 2)等于()113A. 1B.4C.2D.2【答案】C17. (1)f(x) =0; (2)x 轴 零点； (3)f(a) f(b)v0二、自主小测1.若函数 y=f(x)2Wxw2,值域为(a ,

8、b) f(c) = 0.N= y|0wyw2,则函数 y = f(x)的定义域为 W61 1111【解析】 因为一 20,所以 f(f( 2) = f4 = 1 4 = 1 2 = 2,故选 C.4.函数 f(x) = 3x x2 的零点所在区间是()A.(0 , 1)B.(1 , 2)C.( 2, 1)D.( 1, 0)【答案】D2【解析】 由于 f( 1) = 30, f( 1) f(0)0，对应关系 f :对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应.【答案】【解析】由于中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素，而中集合 P 不是数集，所以 和都不是集合 P 上的函数.由题意知

9、，正确.故填 .【名师点睛】1.函数是一种特殊的对应， 要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：定义域和对应关系是否给出；根据给出的对应关系，自变量 x 在其定义域内的每一个值是 否都有唯一确定的函数值 y 与之对应；集合 P, Q 是否为非空数集.2.两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关.在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变（即是否是等价变形）；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断.类型二函数的定义域x 1例 1. (1)函数 f(x) = In x 1 + x2 的定义域为()A.(0 ,+

10、)B.(1 ,+)7C.(0,1)D.(0,1)U(1,+s)8f(x+1)若函 数 y = f(x)的定义 域是1 , 2 017,则函 数 g(x) = x- 1 的定义域是【答案】(1)B (2)x|0wxw2 016，且 10,【解析】(1)要使函数 f(x)有意义，应满足 x 0,解得 x1,x 1故函数 f(x) = lnx 1 + x2 的定义域为(1 ,+)./ y = f(x)的定义域为1 , 2 017 , g(x)有意义，应满足x 1 工 0. 0wxw2 016，且XM1.因此 g(x)的定义域为x|0wxw2 016，且 1.【名师点睛】1. 求函数定义域的原则： 用

11、列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数 x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数 y= f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合，一般通过列不等式(组)求其解集.2. 求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于 0;(4) 实际问题还需要考虑使题目本身有意义.(5 )若 y = f(x)的定义域为(a, b)，则解不等式ag(x)l).X1LiX 1(刀设4-f由fl0)=2,得亡=2金 +1)

12、一 丸工)=4工 +1);+沁+ 1)+2 ax- bx】=工 一1，【名师点睛】求函数解析式方法：(1)配凑法：由已知条件 曲)皿 ,可将 %)改写成关于 gW 的表达式，然后以1wx+1w2 017,5J 2cDca+b=x b 9替代 魚)，便得 的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法;10例 1.已知总0 且，函数(a-l)A+3a-4,(x0)满足对任意实数 ；亠二，都有1成立，则丿的取值范围是(换元法：已知复合函数 他(M) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围;(4)方程思想：已知关于斥).1与或一 1的表达式，可根据已知条

13、件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 一】-1.类型四分段函数1+Iog2(2x),x 1,则 f( 2) + f(log212)=()A.3B.6 C.9D.12【答案】C【解析】根据分段函数的意义，f( 2) = 1 + Iog2(2 + 2) = 1 + 2= 3.又 Iog2121 f(log212)= 2(log212 1) = 2log26 = 6，因此 f( 2) + f(log212)= 3+ 6= 9.例 2.设函数 f(x)=3xb,x 1.若 f 6 = 4,贝 U b =()73A.1B.8 C.41D.2【答案】D【解析】门爭二3諾-片专-鮎若即 定时3

14、则广:/卜丁& i吕$ =4解之得方二亍不合題意苦古310三1,即迅 E 则3=4f解得5-【名师点睛】1. 对于分段函数结合复合函数的求值问题， 一定要先求内层函数的值， 因为内层函数的函数 值就是外层函数的自变量的值 .另外，要注意自变量 的取值对应着哪一段区间， 就使用哪一 段解析式2. 求分段函数的值域，关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决.3. 求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在另一区间上的解析式，常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等.画分段函数的图象要特别注意定义域的限制及关键点(

15、如端点、最值点)的准确性.分段函数的性质主要包括奇偶性、单调性、对称性等，它们的判断方法有定义法、图象法等.总而言之，“分段函数分段解决”，其核心思想是分类讨论.类型五函数的单调性、奇偶性与周期性11a-1 0a【解析】由已知，得函数y=f在R上单调递增，故满足3a-40 (a R)，若函数 f(x)在 R 上ex+a,x0,13D10)orf)0/(x)-x) = /(x)+/(2-x)-3 = x + x-l的小于雾稱点为-一r0 x2时，/l x) = (x-2j / (2-x) = 2-(2- = 4-,函数/(x)-g(x) = (x-2)3+4-x-3 = r-5x+5大于2的零点

16、为広二耳、综上可得函数3.有关函数零点的结论有一个实根，.a = ex(xw0)，则K a0.(A) 2(B) 3(C)4(D)5【答案】A【解析】当耳2*fiffi/(x)-2-|x| = 2+xJ/(2-.V)= xitOTffi数(疋)=2-|彳=2-斗/(2-x) = 2-y =f(x) g(x)的零点的个数为2.故选A.yyjfIk有两个零点，则a 的取值范围是()B.(a,0)C.( 1, 0)【答案】D【解1当 x0I 2十加2 =i.函数二- ：,则函数:.i：11()2-x| = xfx)-gix-2-工+疋一3 = 1无零点兰j1L【名师点1 函数 y= f(x)的零点即方

17、程 f(x) = 0 的实根，易误为函数点.2.由函数 y= f(x)在闭区间a , b上有零点不一定能推出f(a) f(b)v0，如图所示.所以 f(a) f(b)v0 是 y = f(x)在闭区间a , b上有零点的充分不必要条件.A.(a,1)例 2.已知函数的零点的个数为14(1) 若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.三、易错易混辨析J(31)匕+牝)也七1.已知/显 1= 亂是(8,+)上的减函数，那么a 的取值范围

18、是 ()8gl)? C-,-)nii) 37 3?【错解】误选 B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误.【正解】据题意使原函数在定义域 R 上为减函数，只需满足f3a-l m 在 D 上恒成立的充要条件是f(x)min m(2) 设 f(x)在某个集合 D 上有最大值，m 为常数，则 f(x) m 在 D 上恒成立的充要条件是 f(x)max 0 x-，故函数/（X）的定义域为.vX1所以正确答案为B.4.(2017A. 2C.9【答案】(x0),则 f 9 =()B. 3D. 911 1 1/ f 9 = Iog

19、39 = 2,.f 9 = f( 2) = 3 = 9.【解析】5.下列函数中，在区间（一 1, 1）上为减函数的是（）AA、1A.y = 1 xC.y = ln（x + 1）B.y = cos xD.y = 2 x1【解析】Ty= 1 x 与 y = ln（x + 1）在（一 1, 1）上为增函数，且 y = cos x 在（一 1, 1）上不1具备单调性 A, B, C 不满足题意.只有 y = 2 x = 2 在（1, 1）上是减函数.yizy6.已知函数 在二上是单调函数，且满足对任意二-匚，都有的值是（）B. 82C . 80.7616皐.8.若函数-i- -的定义域为，则实数的取值

20、范围是()A.(-2,2)B.(严厂2)U(2側c. Z 厂2U2,+oo|卜2,2【答案】D【解析】由题意知，对于任意.1 L 丄，二丨：匚二恒成立，则丄一丄 -一一： -.，解得一，故选 D.9.已知一；工是定义域为实数集丄：的偶函数，“ ，IL，若J，则0-4/(log“)3如果：-：，那么；的取值范围为/|)=7.已知函数A TJ【答案】D2x,x 0X-加也.若/H+/(a)0，则必的取值范围是()., C .一丄【解析】 依题意可得a0/ _ 2a +(-说)+ 2(迄)5 0或2(P)+ / 十2住W 0解得( )(吩)(A)【答案】【解析】(异)(B)-九兄，20, X曲，则

21、阳一无 3在Oj+co)上是减函数斤/(log ! I) /(I)8弓.的偶函数,定义在实数集/(焜“)18二上1718logi x -7- X1.c -x2或.一E解得2或IX 3S, l2x2r0 x XVu= x2 在(,0)上递减，在(0，+g)上递增，故 f(x)在(g,0)上单调递减.1 2 x 0三 ，若函数二_._为偶函数，则【答案】二(A)( 一了U一1)(B)(7 一1)(C)U ( D)(1【答案】【解析】由题意/(x) = -y(-x),K J卩-二所儿d-21+i)= o=b y(x)=n由- a2 -a2-12-a是 奇函数，则使 畑3成立的：的取值范围为()2Jr

22、+lio.若函数rrr/(X)“13.设函数lX实数“的值为19g()=【解析】-ax-1-2g(F)“ax-2-x0-2 A 0一(la)xT0 - 2ax-I0 x2, JX-sr2函数一一- 是单函数；3若:为单函数，丨二 且Iy - 一 ；4函数：在定义域内某个区间 丄上具有单调性，则，一定是单函数.其中的真命题是（写出所有真命题的编号）.【答案】14. 若函数 f(x)(x R)是周期为 4 的奇函数，且在0 , 2上的解析式为 f(x)=x(1x),0 x1,2941sinnx, 1xw2, 则 f 4 + f 6 =_ .EQ * jc0 * Font:Calibri * hps

23、21 o(sup 9(5 【答案】16,EQ * jc0 * Font:Calibri *hps21 o(sup 9(5,16294137【解析】 由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数，所以 f 4 + f 6 = f 4 + f 637373n5=f 4 + f 6 = f 4 f 6 = 16+ sin 6 = 16.15. 若函数 仙|八 2|4有两个零点，则实数b的取值范围是_.【答案】 0i2【解析】由函数 /W=|2K-2|-i 有两个零点，可得 八有两个不等的根，从而可得函数I 厂-函数匚的图象有两个交点，结合函数的图象可得,0b2 ，故答时总有二L.!,则称：为21【解析】若f(x) = x*-2x?则由/(吗)=/(花)得电一2码二好一2旳，即(可花X码+乞-2) = 0解得廿口或西+可-2=0,所以不是单函數.若亍则由的数團象可矩当2x.x 2Ifa=fg,时，西疋花，所以不是单函数根据单函数的走义可知，正确.在在走义域內某 个区间 Q上具有里调性，卑在整个定义域上不一定里调所以不一定正确，比如函数.故真命题为.x2+2x+a17 已知函数 f(x) = x , x 1 ,+)且 a0 恒成立，试求实数 a 的取值范围.EQ * jcO * Font:Ca