群决策与社会选择

1、群决策与社会选择§ 12-1 概述一、为什么要研究群决策A. 在现实生活中任何决策会影响一群人,因此在公正、民主的社会中,重大的决策应尽量满足受该决策影响的群众的愿望和要求.群众通过代表反映愿望和要求,代表们构成各种委员会.行政机构中的领导班子社会发展信息和知识的积累及更新速度加快 ,领导个人难以在掌和应付智囊团和咨询机构应运而生并广泛存在 ,作用加强 .委员会、代表大会、议会、协会、俱乐部, 领导班子、组织 , 智囊团等等都是群 ,群中的成员各有偏好 , 要形成集体意见需要研究群决策和社会选择理论 .B. 世界上矛盾无处不在 , 人与人、组织与组织、国与国之间的矛盾如何解决 ,如何

2、避免冲突升级 ,需要研究协商、谈判、仲裁、调解、合作对策等冲突分析方法 , 因而冲突分析也是群决策的主要研究内容 .二、分类涉及内容及解决办法投票表决社会选择社会选择函数社会福利函数委员会集体专家判断和激发创造性采集意见系统结构的探索决群体参与策Team theory仿真实施与管理群一般均衡理论递阶优化决组织机构决策组织决策策管理正规型多一般对策论扩展型人特征函数决Nash策冲协商与谈判K-S突Mid-mid分均衡增量析主从对策与激励仲裁与调解强制仲裁最终报价仲裁亚对策论组合仲裁三、社会选择的定义与方式1. 定义 : ( Luce & Raiffa )社会选择就是根据社会中各成员的价值

3、观及其对不同方案的选择产生社会的决策 ;即把社会中各成员对各种状况的偏好序集结成为单一的社会偏好模式 2. 社会选择的常用方式 :惯例、常规、宗教法规、职权、独裁者的命令、投票表决和市场机制 .其中 : 投票 : 少数服从多数 , 大多用于解决政治问题; 市场机制 :本质是用货币投票, 大多用于经济决策; 独裁 : 根据个人意志进行(取代 )社会选择 ; 传统 :以惯例、常规、宗教法规等代替社会中各成员的意志.传统到独裁的演变: 传统 (无论惯例、 常规还是宗教法规)在开始时是社会上大部分公民或成员认可的规则 (以及规定、法规 ), 随着社会的发展 , 总有新的问题、新情况是原来的规则 (以及

4、规定、法规 )所无法解决的 ,解决这些新的问题、新情况的新规则就要由社会上比较有威望的某些人制订 , 这些人在解决新问题、 新情况时就代替整个社会进行了选择 . 只要这些人不是以民主方式选举产生的, 他们的权力就会逐渐增大 , 成为代替社会进行决策的小团体. 这个小团体中最强有力的人物最终也就有可能成为独裁者.§ 12.2 投票表决 (选举 )(Voting)投票表决可分成两步: 1.投票 ,应简单易行2. 计票 ,应准确有效一、非排序式投票表决 (Non-ranked Voting Systems)(一)只有一人当选1. 候选人只有两个时 : 计点制 (Spot vote)投票 :

5、 每人一票 ;计票 : 简单多数票 (simple plurality) 法则(即相对多数 ).2. 候选人多于两个时 简单多数 (相对多数 )过半数规则 (绝对多数Majority)第一次投票无人获得过半数选票时 ,a.二次投票 ,如法国总统选举.b. 反复投票 : i. 候选人自动退出 ,如美国两党派的总统候选人提名竞选 ;ii. 得票最少的候选人的强制淘汰 ,如奥运会申办城市的确定 .例 12.1由 11 个成员组成的群 ,要在 a、b、c、d四个候选人中选举一人 .设各成员心目中的偏好序如下 :成员 i1234567891011排序第一位aaabbbbcccd第二位cccaaaaaaa

6、a第三位dddccccdddc第四位bbbddddbbbb按简单多数票法则, b 得4 票当选.实际上,虽然有 4 虽然只有人认为 b3 人认为最好 ,但是有 7 人认为 b 最差 ;a 最好 ,但是其余8 人认为 a 是第二位的;例 12.2所以 ,由 a 当选为宜 .设各成员心目中的偏好序如下:成员i:1234567891011排序第一位bbbbbbaaaaa第二位aaaaaacccdd第三位cccddddddcc第四位dddccccbbbb按简单多数票法则或过半数规则, b 得 6 票当选 .实际上 ,虽然有 6 人认为 b 最好 ,但是有 5人认为 b 最差 ; 虽然只有 5 人认为

7、a 最好 ,但是其余6 人认为 a 是第二位的 ; 所以 ,由 b 当选未必合适 .例12. 3设各成员心目中的偏好序如下:成员 i:1234567891011排序 第一位bbbccccddaa第二位aaaaaaaaabd第三位dcdbbbdcbdc第四位cdcdddbbccb按过半数规则 , 第一次投票无人获得过半数选票, c、 b 得票多 ,第二投票时 ,6 人认为 c 比 b 优 , c 当选 . 而在该问题中没有人认为 a 处于第二位以下 ,却有 4 人认为 c 最差 .由上面三个例子可知 , 无论简单多数票法则、 过半数规则 还是二次投票 ,都有不尽合理之处 .(二 ). 同时选出二

8、人或多人1. 单一非转移式投票表决 (Single nontransferable voting)投票人每人一票, 得票多的候选人当选.如 :日本议员选举采用选区制,每选区当选人数超过2 个 ,1890年起即用此法.2.复式选举 (Multiple voting)每个投票人可投票数=拟选出人数但对每个候选人只能投一票弊端 : 在激烈的党派竞争中,实力稍强的党派将拥有全部席位 .因此该方法只能用于存在共同利益的团体、组织内部,如党团组织和班干部的选举.3.受限的选举 (Limited voting)每个投票人可投票数拟选出人数对每个候选人只能投一票弊端 : 同上 .1868 年英国议会选举采用此

9、法, 1885 年即取消 .4. 累加式选举 (Cumulate voting)每个投票人可投票数 =拟选出人数 .这些选票由选举人自由支配 ,可投同一候选人若干票利 : 可切实保证少数派的利益.大多用于学校董事会的选举,例 :英国(1870-1902).( 注意 :公司董事会的选举与此不同.)5. 名单制 (List system)由各党派团体开列候选人名单, 投票人每人一票, 投给党团 .此法于 1899 年用于比利时, 以后被荷兰、 丹麦、挪威和瑞典等国采用.计票分两种 : .最大均值法 ; .最大余额法例 12. 4 24000 人投票 ,选举 5 人 , A 、 B、 C、 D 四个

10、党派分别得 8700、 6800、 5200、 3300 票 , 如何分配议席 ?(1)最大均值法 :A 党首先分得第一席.第二席分给各党派时, 各党派每一议席的均值如下 :党派得票除数均值 (每一议席的得票均值 )A870024350B680016800C520015200D330013300由于 B 党的均值最大 B 党得第二席 .分第三席时各党派每一议席的均值如下 :党派得票除数均值A870024350B680023400C520015200D330013300C 党得第三席 , 分第四席时各党派每一议席的均值如下:党派得票除数均值A870024350B680023400C5200226

11、00D330013300由于 A 党的均值最大 , A 党得第四席 .分第五席时各党派每一议席的均值如下 :党派得票除数均值A870032900B680023400C520022600D330013300B 党的均值最大B 党得第五席 .最后 AB各得2席 ,C得1席. . 最大余额法 :首先计算 Q=N/K 的值 : Q=24000/5=4800, 用各党派得票数除以 Q 并计算余数 :党派得票除数分得席位余额A8700480013900B6800480012000C520048001400D3300480003300按每 4800 票得一席 ,A、B、C 党各得一席 , 剩余 2 席,因为

12、 A、D 两党的余额大 ,最后 A 党得 2 席, B、C 和 D 党各得一席 .可以证明 ,最大均值法对大党有利; 最大余额法对小党有利 .6. 简单可转移式选举 (Single nontransferable voting)常常用于 3-6 个席位的选区 .投票人每人一票 . 现况值Q=N/(K+1), 得票数大于 Q 的候选人人选 ,得票最少的候选人被淘汰 , 由未被淘汰的未当选候选人在下一轮中竞争剩余席位 .仍以例12.4说明.N=24000,K=5,故Q=N/(K+1)=24000/6=4000,设各党派候选人的第一次投票得票数为 :候选人 :A 1A2A3B 1B 2C 1C 2D

13、 1得票数 :4100410050041002700405011503300其中,A1,A 2,B1,C1第一次投票后可入选 ,A3被淘汰 ,B2,C2, D1通过第二次投票 竞争最后一席.这时Q=24000/2=12000. 支持 A 党的可转移投票方向, 他们在让谁入选上有决定性影响 .7. 认可选举 ( Approval vote )每个投票人可投任意张选票, 但他对每个候选人只能投一张票 . 得票最多的前K 个候选人当选 . 如职称评定 , 评奖, 评先进等 .(三 ). 其它投票表决(选举 )方法1.资格认定 .候选人数 M=当选人数 K即等额选举 , 用于不存在竞争或不允许竞争的场

14、合. . 不限定入选人数如学位点评审 ,职称评定 , 评奖等 . 目的不是排序 .而是按某种标准来衡量被选对象 .2. 非过半数规则 2/3 多数 , 例美国议会推翻总统否决需要2/3 多数 . 2/3 多数 60%多数 , 例如希腊议会总统选举 ,第一次需要 2/3 多数 ,第二次要 60% 多数 . 3/4 多数 , 美国宪法修正案需要 3/4 州议会的批准 . 过半数支持 , 反对票少于 1/3. 例如 1993 年前我国博士生导师的资格认定.一票否决 , 安理会常任理事国的否决权.二、偏好选举与投票悖论1.记号N= 1, 2,A=a 1 ,( Paradox of voting ),n

15、 表示群 ,即投票人的集合;,a m 备选方案 ( 候选人)集合;i, i成员 (投票人 ) i的偏好; G ,n或jkGN(aja k)群的排序群中认为.a j优于ak的成员数采用上述记号, 过半数规则可以表示为:对aj,a k A若njk nkj则ajGa k;若n jk =n kj则 a j G ak2. Borda 法 ( 1770 年提出 )由每个投票人对m 个候选人排序, 排在第一位的得m-1 分 ,排在第二位的得m-2 分 ,根据各候选人所得总分多少确定其优劣.3. Condorcet 原则 ( 1785 年提出 )对候选人进行成对比较, 若某个候选人能按过半数规则击败其它所有候

16、选人, 则称为Condorcet 候选人 ; 若存在Condorcet候选人,则由其当选.用上述记号表示,即 :若njk n kj a k Aa j,则aj当选.例 12.5群由60 个成员组成, A= a, b, c ,群中成员的态度是:23 人认为acb(即a 优于c ,c优于b, a也优于b)19 人认为16 人认为2 人认为a 与 b 相比N(aa 与 c 相比N(ab 与 c 相比N(bbcacbcab)=25,N(bc)=23,N(cc)=19,N(caba)=35a)=37b)=41因此有因此有因此有bccGaGaGb由于候选人c 能分别击败a 与b,所以c 是Condorcet

17、候选人,由 c 当选 .但是 ,常常不存在Condorcet 候选人 .4. 多数票循环 (投票悖论 )例 12. 6 若群中 60 个成员的态度是 :23人认为abc17人认为bca2人认为bac8人认为cba10人认为cab由于 N(ab)=33,N(ba)=27因此有 aG bN(bc)=42,N(ca)=18因此有 bG cN(ac)=25,N(ca)=35因此有 cG a每个成员的偏好是传递的, 但是按过半数原则集结得到的群的排序并不传递,出现多数票循环,这种现象称作Condorcet 效应 (也叫投票悖论 )5. 出现Condorcet 效应的概率成员数 N:357111525方案

18、数m=3.0556.0694.0750 .0798.082.0843.08774.111.14.15.17555.16.20.22.25136.20.25.27.31528.4152101 .488715.608720.681130.791449.8405三、策略性投票(操纵性 )1. 小集团控制群例 : 百人分蛋糕2. 谎报偏好而获益例 12.7群由 30 个成员组成 , A= a, b, c ,群中成员的态度是:14 认为abc4 人认为bac4 人认为bca8 人认为cba根据 Borda 法和 Condorcet 原则 ,都应由 b 当选 , 但是 , 若认为a b c 的 14 人中

19、有 8 人撒谎 , 称他们认为 a c b , 则按Borda法 ,将由a 当选.3. 程序(议程)问题例12.6 所述问题:后参加表决的方案获胜.四、衡量选举方法优劣的标准能否充分利用各成员的偏好信息若存在Condorcet 候选人 ,应能使其当选 .能防止策略性投票§ 12.3社会选择函数一、引言1. 仍以例 12.5 为例 :群由 60 个成员组成 , A= a, b, c ,群中成员的态度是:23 人认为acb19人认为bca16人认为cba2人认为cab根据 Condorcet 原则c 当选根据简单多数规则a 当选根据过半数 (二次投票 )规则b 当选该例中一共只有三个候选

20、人, 采用不同选举方法时, 这些候选人都有可能当选. 那么这些方法中究竟何者合理?据何判断选举方法的合理性?2 例 12.6 表明多数票循环不可避免, 问题是 : 出现多数票循环时该谁当选?研究社会选择问题的理论家提出：应该采用某种与群中成员偏好有关的数量指标来反映群(即社会 )对各方案的总体评价.这种数量指标称为社会选择函数.二、社会选择函数的几个性质0. 记号在对 x,y 比较时1若 xi yD i =0若 x i y-1若 yi x群中各成员的偏好分布D = ( D 1 , ,D n )偏好分布的集合D= -1, 0, 1 n社会选择函数F(D) = f( D 1 , ,D n )D D

21、即 F : -1, 0, 1 n -1, 0, 1 1. 明确性 (Decisiveness)D0 F(D) 02.中性 (Neutrality) 又称对偶性对侯选人的公平性f( -D 1 , ,-D n ) = - f( D 1 , ,D n )3.匿名性 (Anonymity) 又称平等原则各成员的权力相同f( D 1 , ,D n ) = f( D ( 1) , ,D ( n) )其中是(1,n)的新排列4. 单调性 (Monotonicity) 又称正的响应若 D D则 F(D)F(D )5.一致性 (Unanimity) 又称 Weak Pareto 性f ( 1, 1, , 1)

22、= 1or f ( -1, -1, , -1) = -16.齐次性 (Homogeneity)对任意正整 数 m F ( mD ) = F ( D )7.Pareto 性D i 1, 0 for all Iand D = 1 for some k F(D)= 1D i = 0for allI F ( D ) = 0三、社会选择函数1. Condorcet-函数f c (x) =min N( xiy )yA xf c ( .) 值愈大愈优 .例 12. 6群中 60 个成员的态度是:23人认为abc17人认为bca2人认为bac8人认为cba10人认为cabN(ab)=33, N(ac)=25因

23、此 f c ( a ) = 25N(ba)=27, N(bc)=42,因此 f c ( b ) = 27N(ca)=18, N(ca)=35,因此 f c ( c ) = 18 b G a G cCondorcet-函数值还可以用下法求得:根据各方案成对比较结果列出表决矩阵-3325矩阵中各行最小元素:25N=27-42273518-18即 Condorcet- 函数值 .Condorcet- 函数满足性质16.2. Borda-函数fb(x) =N( xiy )yA xfb(x) 即表决矩阵中x 各元素之和,fb( .)值愈大愈优 .例 12. 6 中方案a ,b ,c 的 Borda- 函

24、数值分别是58, 69, 53, bG aGcBorda-函数满足性质16.3. Copeland-函数根据各方案两两比较的胜负次数的差来定f cp (x) = My: y A 且 xG y- My: y A 且 yG xf cp ( .) 值愈大愈优 . 例 12.6 中方案 a ,b ,c 的 Copeland函数值均为0, 三者平局 .Copeland-函数满足性质16.4. Nanson 函数用 Borda- 函数求解 , 每次淘汰 Borda- 函数值最小的方案 :即: A1 =A,A j 1 = A j x A j ; f b(x) f b(y), 且对某些 yf b(x) f b

25、(y) 直到A j 1 = A j为止 .例 12. 6 中 f b (c) 的 Borda- 函数值最小 ,= a, b A 3 = A 2 b = a aGb A 2 = A 1 c G cNanson 函数不满足性质(4).5. Dodgson 函数英， 1832 1898)使某个候选人成为Condorcet 候选人需要N 中成员改变偏好的总选票数 .N 个成员 ,m 个候选人记 n jk= N (a jiak )n 为偶数时n0 =n/2n 为奇数时n0 =(n+1)/2n jj= 0f (a j ) =mj=1, ,mk 1 |n0njk | ( n0 n jk ) 2例 12.6

26、中, a,b,c 的 Dodgson 函数值分别为5, 3, 12, bGaGcDodgson 函数不满足(4).6.Kemeny 函数· 使社会排序与各成员对方案的偏好序有最大的一致性.首先定义：社会选择排序矩阵L = ljk 1a jG akl jk=0a j Gak-1akGa jA 上的每一线性序都对应一个L记n jk= N (a jG ak )nkj= N (a k G a j)n*jk= N (a j G ak )比例矩阵M = mjk m jk= ( n jk + n*jk /2)/n投票矩阵E=M-M Tn jknkje jk =nn定义<E·L>

27、;=jke jkl jk即 , 群中认为 a jak的成员的比例与群的排序l jk 的内积 ,它反映群的排序与成员排序的一致性.Kemeny 函数f k = max < E· L > 。7.Cook-Seiford函数设成员 i 把方案 j 排在r ij 位 , 方案 j 的群体序为K则成员 I 与群体序的总偏差:| r ij -K |j各成员排序与群体序的总偏差d jk =| r ij -K |ij数学规划mind jkp jkjks.t.pjpkjkjk= 1= 1的解中p jk= 1表示方案j 的群体序为K8.本征向量函数Dodgson 矩阵D = d jk 其中

28、: d jk = n jk /n kj ,显然 d jk= 1/d kj, 但是 d jk djl*dlk ,可由(D - mI) W = 0求得W 后.按各分量的大小排相应方案的次序.9. Bernardo 函数上述各种方法只根据各成员对各方案的总体优劣集结成群体序 .对某些多人多准则问题, 尤其是实际工程问题,应该根据每个准则下各方案的优劣次序集结成群体序.一般的多准则社会选择问题可以表述为: 对有限方案集A= a 1 ,am ,由委员会 N= 1, 2, ,n 根据准则集 (即评价指标体系 ) C=c1, c1, ,cr 来确定各方案的优先次序 .在求解问题时 , 首先要根据r 种不同的

29、准则中的每一种准则 ,分别描述各方案aj 的优劣 . 为了集结各成员的意见,可以用协商矩阵表示委员会对各方案优劣的总体感觉. 是 m×m 方阵 , 其元素 jk 表示将方案 aj 排在第 k 位的成员人数 . 为了反映各准则的重要性 , 可以对各准则加权 . 权向量 W=w1, w2, wr. 设根据准则 cl, 有 xljk位成员将 ajr排在第 k 位 , 则 jk = wl . xljk ,Bernardo 定义一个0-1 矩阵1P, 其每行、每列只有一个元素为1,余者均为0. 使jk p jkj ,k极大, 即maxjk p jkjks.t.m=1k=1,2,mp jkj 1

30、mp jk =1j=1,2,mk 1p jk 0,1P 中的非 0 元素 p jk =1 表示方案aj 应该排在k 位 .§ 12.4 社会福利函数 (Social Welfare Function)一、社会福利(Social Welfare)1. 福利经济学是经济学中的一个学派，主要研究社会的福利与福利的判断问题；2. 福利经济学家 (例 Bergson, Samulson 等)认为：社会福利是一种可以测度的量，人们可据以判断一种社会状况是优于，无差异于还是劣于另一种社会状况。即可以用 Social welfare function 来度量社会福利。定义：SWF 是社会状态x 的实

31、值函数， 是社会福利的测度，记作 W( x)=G(w 1 (x), ,w n (x)Note: 社会福利是社会中各成员所享受福利的综合，而非总和 ;个人的福利 wi( x)与该成员对社会的贡献、地位、个人的兴趣、爱好等多种因素有关 .3. 若用 u i (x) 表示社会状态x 带给成员 i 的福利，则W(x)=G(u 1 (x), ,u n (x),在相互效用独立时 G 可表示为加性，即W(x)=ni 1 i ui ( x)但是，由于存在不确定性, 设导致x j 的自然状态 j 的概率为 ( j )故应有： max E W( x) =W( x j ) ( j ) ,所以社会福利的判j断极其复杂

32、 .即使对确定性的xa)各成员间的效用并不独立：不患寡而患不均;b)两个人的福利相加并无意义 (一个人享受双分福利与二人各享受一份绝不等价 ), 所以加性社会福利函数并无实际意义 .而且使用SWF 存在如下问题 :各成员的福利(效用 )函数如何确定 ?人与人间的福利函数如何校定基准值与比例尺，即如何进行效用的人际比较?由谁评价 ? 怎样评价 ? 即个人的诚实性与评价的公平性如何检验 ?社会福利函数的实质：是一种规则，是潜在的群决策过程 , 是从个人对社会状况的排序得出社会总体排序的方法.二、偏好断面(profile of preference ordering)( 偏好分布 )1 可能的偏好序

33、(1)二个方案xy ,xy ,x y(2)三个方案R 1 : xyz,R 2 : x zy , R13:xyz记各方案间可能的偏好序集合r= R1,R2, , RS,则可能的偏好序种类S 为 :方案数m234578只考虑强序时m!26241207205040全 部S313755414386460332偏好断面：记成员 i 的排序为 Oi , Oi r偏好断面 P = ( O1,O2,On)P r ( n)社会福利函数f : P r3. 可能的社会福利函数2个成员 , 2 个方案成员的偏好序 S=3 时 ,f 的定义域即偏好分布有3 2 = 9 种 , f 的值域即群的排序为 3,因此 , f

34、的可能形式有 39=19683 种 .3个成员 , 2 个方案时 , f 的可能形式有 3 27=7.6256× 1012 种 .2个成员 , 3 个方案时 , f 的可能形式有13 169 =1.8 ×10 188种 .3个成员 , 3 个方案 , 只考虑强序时 ,f 的可能形式有6 216 =1.2× 10 168 种 .在这许多可能形式中 ,哪些比较合理呢 ? K. J. Arrow 研究了社会福利函数应当满足的条件 .三、 Arrow条件 1.的条件 (即社会福利函数应当具有的性质完全域 (广泛性 )Universality)a).m 3b).N 2c).

35、 社会福利函数定义在所有可能的个偏好分布上;条件 2. 社会与个人价值的正的联系(Positive association ofsocial and individual value)若对特定P,原来有 xG y，则在 P 作如下变动后仍有有 x G yi. 对除 x 以外的方案成对比较时偏好不变ii. x与其他方案比较时或者偏好不变，或者有利于x。(有利于x 是指xi y xi y或者yi xxi y或xi y)原来有xG y,则在 P 作如上变动后仍有xG y 或xG y条 件3无 关 方 案 独 立 性 (I ndependence ofIrrelevantA lternatives)i

36、. A1A , A1 A1= A对A1中方案的偏好变化不影响A1中方案的排序,换言之ii. x , y 的优劣不因 z 的加入而改变 .条件 4. 非强加性 (公民主权 Citizen sovereignty) 总要有某些成员认为 x i y 时，才能有 x G y.条件 5. 非独裁性 ( Non-Dictatorship )群中任一成员i 都没有这样的权力:xi y xG y此外，个人和群的优先序应满足连通性(可比性 )，传递性 .条件 2 加条件 4 即 Pareto 条件 .四、 Arrow的可能性定理定理 1(m=2 的可能性定理)若方案总数为 2,过半数决策方法是一种满足条件 1

37、5 的社会选择函数，它能对每一偏好分布产生一个社会排序。定理 2 (一般可能性定理)即 Arrow 不可能定理若 m 3，社会中的成员可以对方案以任何方式自由排序，则满足条件 2 和 3 且所产生的社会排序满足连通性和传递性的社会福利函数就必定是，要么是独裁的，要么是强加的。Arrow不可能定理的本质是Condorcet 效应 (投票悖论 )的公理化描述.另一种表述法 *:满足的防投票策略性选举都可能产生一个独裁者,即没有一种选举方法是非独裁的且是防投票策略的.五、单峰偏Black 好与 Coombs 条件要使 Arrow 的不可能定理成为某种可能性定理 , 必须放松 Arrow 的条件 1、

38、 2 、 3. 首先放松条件 1(完全域 ).1. 单峰偏好背景 : 在议会中 ,通常可根据各党团的政治倾向从左到右 ( 或从激进到保守 )依次排列 .此时议员对各党派 (以及该党派的议案或候选人 )的排序就和这些党派的政治倾向与议员本人的政治观点的距离有关 , 即满足单峰偏好约束.2. Coombs 条件背景 : 给 aj 赋值 (aj), 成员 i 的理想点为Ii, 方案aj 的优劣与 | (aj)- Ii |的大小成反比例 .Coombs 条件与单峰偏好的区别： Coombs 条件要求对称于Ii .3. 多样性程度 (不考虑 , 只考虑强序 )Fb(m) = 2 m 1Fc (m ) = (m 1)m +12m345710Fb(m)