2017-2018学年高中数学第二章随机变量及其分布能力深化提升新人教A版选修2-3

1、第二章随机变量及其分布能力深化提升类型一条件概率【典例 1】已知 100 件产品中有 4 件次品，无放回地从中抽取 2 次,每次抽取 1 件,求下列事件的概率：(1) 第一次取到次品,第二次取到正品.(2) 两次都取到正品.(3) 两次抽取中恰有一次取到正品.【解析】设 A=第一次取到次品,B=第二次取到正品.4(1)因为 100 件产品中有 4 件次品，即有正品 96 件，所以第一次取到次品的概率为P(A)=10,第二次取到96496正品的概率为 P(B|A),所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)= MHxW0.0388.969596因为 A=第一次取到

2、次品,且 P(八)=1-P(A)= WP(B| 八)y 所以 P(B)=P()P(B| )= 1 W95W 0.92.(3)两次抽取中恰有一次取到正品,包括事件 AB 及山所以964P(ABU川 X小丿0.0776.【方法总结】条件概率的求法P(AB)(1) 利用定义，分别求出 P(A)和 P(AB),解得 P(B|A)=.(2) 借助古典概型的概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含n(AB)的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)=.【巩固训练】5 个乒乓球，其中 3 个新的,2 个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求在第一次取到新球

3、的情 况下，第二次取到新球的概率.【解析】设“第一次取到新球”为事件 A, “第二次取到新球”为事件 B.方法一：因为 n(A)=3X4=12,n(AB)=3X2=6,-3 -n(XB) 6 1所以 P(B|A)= 川小=12=2.方法二:P(A)= C,P(AB)= =1。10P(AB) 3 1所以 P(B|A)=PG)=2类型二相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验及二项分布【典例 2】(2017 福州高二检测)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为 Pi，乙的命中率为 P2,在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发则称该射击小组为

4、“先进和谐组”(1)若P2=2,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率计划在 2016 年每月进行 1 次检测，设这 12 次检测中该 小组获得“先进和谐组”的次数为E,如果 E(E) 5,求 P2的取值范围【解析】(1)因为 P1= *,P2=2,根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P=2 1 I 1 (2 2(1 1詞(幻功+(亍趴丈_3(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”/ . 2 1P=亍 W P2-(1-P2)+,而EB(12,P),所以 E(E)=12P

5、,()-4 -5 -血罰4由 E(E) 5 知， 125,解得：卜三 P2W1.【方法总结】求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1) “P(AB)=P(A)P(B) ”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具(2) 涉及“至多” “至少” “恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系(3)公式“ P(AUB)=1-P(”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率1【巩固训练】(2017 成都高二检测)甲、乙两位篮球运动 员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为 -,乙2投篮一次命中的概率为每人各投 4 个球,两人投篮命中的概率互不影响.求甲至多命中

6、 1 个球且乙至少命中 1 个球的概率.所以甲至多命中 1 个球且乙至少命中1 个球的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=、xJ1类型三离散型随机变量的分布列及期望与方差【典例 3】(2016 天津高考)某小组共 10 人,利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.(1) 设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件 A 发生的概率.(2) 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望【解题指南】(1)利用组合数表示出事件个数.确定

7、随机变量 X 的可能取值，计算相应的概率，再列出分布列，计算数学期望.C +谒Q2【解析】(1)由已知事件 A:选 2 人参加义工活动，次数之和为 4,则 P=(2)随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,【解析】设“甲至多命中 1 个球”为事件 A, “乙至少命中1 个球”为事件B,由题意=16+16=16,卩但)=1_21-3 J804丄=1-81=81,580 25得,P(A)-6 -cl + cl + clpH山=-7 -P(X=1)=C語=肓尸(*=2)= C語巧则 X 的分布列为X012P415【方法总结】求离散型随机变量的期望与方差的步骤【巩固训练】(2017 南昌高二检测)A,

8、B 两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知 A,B 两个方案至少一个方案试验成功的概率是0.36.(1)求两个方案均成功的概率设试验成功的方案的个数为随机变量E,求E的分布 列及数学期望 E(E).【解析】(1)设 A,B 方案独立进行科学试验成功的概率均为 x,则 A,B 两个试验方案在试验中都未能成功的 概率为(1-x)2,所以 1-(1-x)2=0.36,所以 x=0.2 或 x=1.8(不符合题意，舍去).所以两个方案均成功的概率为20.2 =0.04.试验成功的方案个数E的分布列为E012P0.640.320.04E(E)=0X0.64+1X0.32+2X0.04=04类型四

9、正态分布的概率-8 -【典例 4】设 XN(10,1).(1)证明:P(1X2)=P(18X19).设 P(XW2)=a,求 P(10X18).【解析】因为 XN(10,1),所以，正态曲线$(x)关于直线 x=10 对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直219线 x=10 对称，所以 I $ - (x)dx$ (x)dx,即 P(1X2)=P(18X19).(2)因为 P(XW2)+P(2Xw10)+P(10X18)=1,P(Xw2)=P(X18)=a,P(2Xw10)=P(10X18),所以,2a+2P(10X18)=1,l-2a 12 2即 P(10X18)= J a.【延伸探究】 在题设条件不变的情况下，求 P(8wXw12).【解析】由 XN(10,1)可知，卩=10, /=1,又 P(8wXw12)=P(10-2wXw10+2)=0.9545.【方法总结】正态分布的概率求法(1) 注意“ 3c”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2) 注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题【巩固训练】某市去 年高考考生成绩服从正态分布N(500,502),现有 25000 名考生，试确定考生成绩在 550600 分的人数.【解析】因为考生成绩