2018年高考数学考点一遍过专题38抛物线文

1、考点38抛物线了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、 离心率）直J知识整合丿一、抛物线的定义和标准方程i.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴.注意：直线I不经过点F,若I经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线I的一条直 线.2抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为2y =2px(p 0)；(2) 顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物

2、线的标准方程为2y - -2px(p 0)；(3) 顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为2x =2py(p 0);(4) 顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为2x = -2py(p 0).注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永-2 -远大于 0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表:抛物线方程2y = 2 px( p a 0)2y = -2 px(p0)2x =2py(p0)2x =2py(p0)焦半径| PF LP+x|PF |记 -X。|PFF + y。|PFI#-y

3、公式22223.抛物线的焦点弦pv0 的错误.、抛物线的几何性质抛物线上任意一点P(x,y)与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径.-3 -抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，A(x1, y1)，B(x2,y2)，则抛 物线 方程2y = 2 px( p 0)2y = -2 px( p =0)2x =2py(p0)2x = -2 py(p0)焦占八、弦公式| AB|= p+任+X2)|AB|=p(Xi+X2)|AB卜p + (% +y2)1

4、ABHp-(yi + y2)其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB称为抛物线的通径.对于抛物线y2=2px(p 0)，由A(, p),B(f,-p)，可得|AB|=2p，故抛物线的通 径长为 2p.4.必记结论直线AB过抛物线y2=2px(p 0)的焦点，交抛物线于A(xi,yi) ,B(x2,y2)两点，如图:-4 -cJD0(2) |AB| =xi+X2+p,xi+X22馭X2=P,即当xi=X2时，弦长最短为 2p.1 1 2(3)CAFf+両为定值p.2p(4)弦长AB=(a为AB的倾斜角).sina(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对 A,B

5、在准线上射影的张角为 90.点考向L 考向一抛物线的定义和标准方程1 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M个定点F(抛物线的焦点)条定直线l(抛物线的准线)，一个定值 1 (抛物线的离心率)2 抛物线的离心率e= 1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及 抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即|PF| = x+才或|PF|=|寸+号，使问题简化.(1)2yiy2=-p,X1X2=.4-5 -典例引领217典例 1 已知抛物线C:x=2py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为，则p,m的值分别为4

6、A.p=1, m=2B.p=1,m=2-6 -1C.p=,m=22【答案】D1丁1【解析】由抛物线的方程得其准线方程为y=-,根据抛物线的定义可知,4+,解得p=, 22所以抛物线的方程为x2=y,将Am4)代入抛物线的方程，解得m= 2.2 2x y C.1（y丰0）43【答案】D【解析IS坐标原点为2抛物线的焦点为州准纟訪过点2 o分别作AA丄d/S丄丄其中/ 为垂足贝为圆的堀療卩为切点，且心-；筋7如-4一T抛韧线过点4匸妙円加1厕!=|迟叭二P-B.-4L45|=/.点F的轨迹是以 g 为焦点的椭圆 /A B在抛物线上，焦点F不在x轴上，故抛物线的焦点的轨迹方程是2 2xy1（y* 0

7、）.43变式拓展21.已知点F是抛物线y= 4x的焦点，M N是该抛物线上两点，|MF| + |NF| = 6 ，则MN中点的横坐标为A.-B. 2D.p=, m=22典例 2 已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点线的焦点的轨迹方程为2 2Ax y A.1(x工 0)43A(-1,0),政 1,0),且以圆的切线为准线，则抛物22xy 22xy -7 -25C.D. 32考向二求抛物线的标准方程-8 -1 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程2 用待定系数

8、法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程典例引领典例 3 若点AB在抛物线y2=2px(p0)上，0是坐标原点，若正三角形0AB勺面积为 4 ,则该抛 物线的方程是2-3x3【答案】A【解析】根据对称性，可知ABL x轴，由于正三角形0AB勺面积是 4 ,故一AB=4 ,故AB=4,4正三角形0AB勺高为 2 ,故可设点A的坐标为(2 ,2),代入抛物线方程得 4=4p,解得定位置设方程根据条件确定拋物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向根据条件列出关于卩的方程解方程，将卫代入所设方程为所求)2A. y =-9 -p=,故所求

9、抛物线的方程为y2=32、,3x.3典例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程.（1）过点（-3,2）；（2）焦点在直线x-2y -4 = 0上.【解析】（1）设所求抛物线的方程为/ =2px2px或刃丁过点（一 3,2）,二 4 = -2 卩乂（一 3）或二 p = W 或戸=?.34A A01Q故所求抛物线的方稈为八-亍或宀詁 对应的准线方稈分别是y y = = -令丸=0 得卩=一 2,令尸 0 得*4抛物线的焦点为（40）或（。一 2当焦点为（4,0）时，p=4p =8，此时抛物线的方程为y2=16x；2当焦点为（0, -2）时，=2 ,. p =4，此时抛

10、物线的方程为x2=-8y.2故所求抛物线的方程为y216x或x2- -8y，对应的准线方程分别是x - -4,y =2.变式拓展2.已知抛物线的顶点在原点，2 2对称轴重合于椭圆 1短轴所在的直线，抛物线的焦点916到顶点的距离为 5,求抛物线的标准方程考向三焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键-10 -典例引领典例 5 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(xi,yJ ,B(X2,y2)，若|AE|=7，求AB

11、的中点M到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=- 1.由抛物线的定义知PPcr,即-2-,得-557I I V - 于是弦AB的中点M的横坐标为-,因此点M到抛物线准线的距离为5 1 =7.2 2 2典例 6 已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于A xi,yi),B(x2,y2)(xiFQ I=y/1T一 产2-故选A典例 8 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点，点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF+|PA的值最小.【解析】T(-2)20）,贝n=-2pn=-2p（-2-2）, ,Ap=25,二抛物线的方程为宀叽即

12、护.若货船沿正中央航行，船赏切米，而当Q8时，y = -x82=-L28（米）-即船体在x二8之间通过，B（8,-1.28），此时B点距水面6-1.28 = 4.72（米）而船体高为 5 米，.无法通行.又5-4.72=0.28（米），0.28 0.04 = 7，150 7=1050（吨），若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1050 吨，而船最多还能装 1000 吨货物，.通过增加货物也无法通行，故只好等待水位下降，船才能通过该桥孔变式拓展5.一辆卡车高 3 m,宽 1.6 m,欲通过截断面为抛物线型的隧道，已知隧道的跨度恰好是拱高的 4 倍,若跨度为am,求使卡车通过的a的最小整数值.-16

13、 -5.设F为抛物线Cx2=12y的焦点，A、B C为抛物线上不同的三点|FA|+|FB|+|FC|=A. 3C. 12A.(0,吕3C. 1,+g)7.若抛物线y2=2px(戸A0)的焦点与双曲线乞-y2=1的右顶点重合，则p=_ .41 .抛物线x=-4py2（p0）的焦点坐标是A.(-87,0)C. (0,-2p)1B.（一面，0）D. (0,-p)2.以x轴为对称轴，通径长为 8,顶点为坐标原点的抛物线方程是2 2A.y=8xB.y=-8xC. y2=8x或y2=-8xD. x2=8y或x2=-8y3已知抛物线:1上一点 Q,且Q点到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离是A. 4B.

14、 8C. 12D. 164.已知点M-3,2）是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|-|QF|的最小值是A.C.7252B. 3D. 2B. 9D. 186.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的两个动点AB始终满足/AFB=60 ,过弦AB的中点H作抛物线的准线的垂线HN垂足为N,则HNAB的取值范围为B.D. (0,1-17 -8 .已知等腰梯形A B C D勺顶点都在抛物线y2= 2 p Xp0上，且AB/CD,AB =2,CD =4,NADC =60*，则点A到抛物线的焦点的距离是 _.9已知过抛物线x=4y2的焦点F的直线

15、交该抛物线于M N两点，且|MF|=1,则8|MN|=_ .210已知抛物线C：y=ax(a0)的焦点为F,点A(0,1),射线FA与抛物线C相交于点M与其准线相交于点N,若|FM: |MN=1 : 3,则实数a的值为_ .11.已知抛物线 y _二 的焦点为；,准线方程是 1.(1)求此抛物线的方程；设点在此抛物线上，且 -,若 l 为坐标原点，求厶OFM的面积12 .已知A(X1, y0,B(X2,y2),C(X3,ys)是抛物线y2=2px(p0)上的三个点,且它们到焦点F的距离|AF|,|BF|,|CF|成等差数列，求证:2 丁；一+.-18 -13.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在I

16、时，拱顶离水面 2m,水面宽 4m.若水位下降 1m 后,水面宽为多少?14设AB是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且满足OAL0B0为坐标原点).求证:(1)AB两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值；(2) 直线AB经过一个定点.通高考21.( 2016 四川文科)抛物线y=4x的焦点坐标是A. (0,2)B. (0,1)-19 -C. (2,0)D. (1,0)k2.( 2016 新课标全国 II 文科)设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=(k0)与C交于x点P, PF丄x轴，则k=A.-B. 12C.3D. 2213.( 2015 新课标全国 I 文科)已知椭圆E的中心在坐标原

17、点，离心率为一，E的右焦点与抛物2线C y2=8x的焦点重合，A B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=A. 3B. 6C. 9D. 12113 94.( 2017 浙江)如图，已知抛物线X2二y，点A(-丄，丄),B(-,-)，抛物线上的点2 42 413P(x, y)( x )过点B作直线AP的垂线，垂足为Q22-20 -(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求| PA| | PQ |的最大值.25.(2016 新课标全国 山 文科)已知抛物线C:y =2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线h,。分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1 )若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明A

18、R/FQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程焦拱考答案.-21 -1 .【答案】B【解析】由题意得，令號 O.汽;，由抛物线的几何意义得|MF| + |NF|=6=+匕+可得.-,所以MN中点的横坐标为 凶电=2.选 B.22.【解析】法一：由已知条件可知抛物线的对称a?”轴二设抛物线的方程为或乎=沁0).又丁抛物线的焦点到顶点.的距韶为3号=A3=10.二所求抛物线的方璨为护=25或护=一2法二：由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴，.设抛物线的方程为y2=mm0).又抛物线的焦点到顶点的距离为5,二m=5, m= 20.4所求抛物线的方程为y2= 20 x或y2=

19、- 20 x.3.【答案】C【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直， 所以线段AB是抛物线的通径，则2p=2,12所以p=6，又点P到AB的距离为p，所以ABP的面积为一p 2p二p2=36.故选 C.24.答案】C【解析】点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线的焦点的距离 IPF，则山+4的最小值即为F到直线x+2y-12 = o的距离.1+2汽0_12| 11丿5由抛物线y2= 4x得F（：L0）,二（4 +d2故选C.min打+225变式拓展-22 -5.【解析】以隧道顶点为原点，拱高所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点B的坐标为(a2，-4).0 .ABn设隧道所

20、在的抛物线方程为x2=mym0),则(-)2=m-(a),解得n=-a,24所以抛物线的方程为x2=-ay.2将点(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.8 =-ay,即y=0.8欲使卡车通过隧道，应有y-( -旦)3,即-3,44a由于a0,故al2.21,所以a应取的最小整数值为 13.考点冲关1 .【答案】B【解析】 抛物线方程的标准形式为y2= -f-x(p0),则焦点坐标为(-十4p16p,0).-23 -2.【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则 2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选 C.3.【答案】B【解析】本题主要考查了抛物线的焦半径公

21、式，由題意可知，抛物线的焦点为4.【答案】C1【解析】抛物线的准线方程为x=，当MQ x轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时215|MQ|-|QF|=|2+3 卜| 2+|=.225.【答案】D【解析】设A(xi, yi), B(x2, y2), C(x3, y3),因为AB、C为抛物线上不同的三点，则AB C可以构成三角形.抛物线C:x2=12y的焦点为F(0,3),准线方程为y=-3.因为+ +=0,所以利用平面向量的相关知识可得点F为ABC的重心,从而有X1+X2+X3=0,y1+y2+y3=9.又根据抛物线的定义可得|FA|=y1-(-3)=y1+3,|FB|=y2-(-3)=y2

22、+3,|FC|=y3-(-3)=y3+3,所以|FA|+|FB|+|FC|=yi+3+y2+3+y3+3=yi+y2+y3+9=18.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质，向量的相关知识.解题的关键是判断出点F为ABC的重心.解题时，先根据抛物线的方程得抛物线的焦点坐标和准线方程，再所決则防| =6 + 10,所以焦点到准线的距离杲戸=8准线方程为-24 -19.【答案】根据+=0,判断出点F为ABC的重心,进而可得yi+y2+y3=9,最后根据抛物线的定义求解.6.【答案】D【解折】过分别作抛物线准线的垂均跆垂足分别为已设期 T 肿W,则由抛物线的走义, 得口0|哼妙戸尸材所趴坤普

23、一在屈尸中，由余弦定理得皿口7+护-加360旨必砧，所臥a + b| 月N|2a+b削-亦22+b2-ab，因为贰胆2亦瓦所以1HN,当且仅当a=b时等号成立，故AB的取值范围为（o,i.故选 D.【解析】由双曲线-y2=1 可得a=2,则双曲线的右顶点为（2,0）,则子=2,所以p=4.7巧8【答案】7212【解析】 由题意可设Am,1,Dm，3,2, 因此4 = p2m 0)，则A(2 ,2)，将其坐标代入x2=-2py得p= 1.x2= 2y.当水面下降 1 m,得D(xo, 3)(xo0)，将其坐标代入x2= 2y得，也:-. 水面宽 门|:14.【解析】设A(xi,y1),B(X2,

24、y2),贝U=2pxi, =2px2./OAL OBX1X2+y1y2=0.& : 2 2 2=4px1X2=4p(-yy), y1y2=-4p,X1X2=4p2.即AB两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值-27 -丁 z “尸仙少)】亨戸敬工皿二当 2 2=2p=2p时直线.4B.4B的方程为尸2p;当2p2p0叭则直线曲的方程协 X 云“心一 .224p2即又yiy2=-4p,.y=x-(x-2p).儿 + 兀7i +y271 +V2直线AB过定点(2p,0).直通咼考1 .【答案】D【解析】y2=4x的焦点坐标为(1,0)，故选 D.【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是中学

25、数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握.2.【答案】D【解析】因为F是抛物线y2=4x的焦点，所以F(1,0),kk又因为曲线y (k 0)与C交于点P,PF x轴，所以2，所以k = 2，选 D.x1【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置3.【答案】B2y=x-71 + ?271 + 72+yi=7172x+71 +出-28 -【解析】通解：因为抛槪戋即两的焦点坐标为宓)，准线I的方程为设椭圆E的方程为唐臥椭圆E的半焦距 T 又椭圆瓦的离心率为*，所臥 H 洛橢圆E的方程为.联立懈得越23)疑26或处2)亠所以個电选B1 13；优解： 因为抛物线Cy2=8x的焦点坐标为(2,0),准线I的方程为x=-2，设椭圆E的方程22X y为二亍=1(a b -0),所以椭圆a b0 h厶a=4,b=2 ,由于准线x二 2 过椭圆E的左焦点，所以AB为椭圆E的通径，所以|AB|=丝 =6,a选 B.【名师点睛】本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程、抛物线与椭圆的简单几何性质及基本量的运算等基础知识，考查考生综合运用知识分析、解决问题的能力与运算求解能力求解时,首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，再利用抛物线与椭圆的联系求出椭圆中的基本