2018年高考数学命题角度4.3空间位置关系证明与二面角求解大题狂练理

1、(2)：AABB1为等边三角形，AB = 2,二OB, = J3,命题角度 4.3 :空间位置关系证明与二面角求解(1)求证：AB _ BQ；BCi二2，求二面角Ci-ABi-B的余弦值.【答案】见解析；（2）.7【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2） 一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹 角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值

2、试題解析：T四边形皿阳为平行四边形，且4/ = 4目，么幼严60S二MBB內等边三角形,取M中点O,连接OC ,则血丄OB,:CACB9:.AB丄0C,/ OCrOBj =0fOB】u 平E0BYCOCu平圓OBjC1.如图所示，已知三棱柱ABC-ABG中,AC1= B G，A A = A Bi，.AAiBi=60.(2)：AABB1为等边三角形，AB = 2,二OB, = J3,丄平面OCB :.AB丄-3 -/在:ABC中，AB =2,BC=AC=2,O为AB中点,OC = 1, BQ二2,OB = 3 , OBJ OC2工BQ2,.OB OC, 又OB,_ AB,OB,_ 平面ABC.以

3、O为原点，OB,OC,OB,方向为x,y,z轴的正向，建立如图所示的坐标系,A -1,0,0，B,0,0,、3，B 1,0,0，C 0,1,0，r T T T TLr则O =OC CCOC BB=：1,1八3，则C.-1,1, 3A。=0,1j3 ，则平面BAB1的一个法向量m=0,1,0,设克=(x,y,z )为平面ABQ的法向量，则；憎一x+0,令乙=_1,x=y = J3,n A = y += 0,n -、3,3, -1,点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2) 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直（3）证明线线垂直，需

4、转化为证明线面垂直AB1h1,0八3-4 -2.如图，四棱锥PABCD中，平面PAD _平面ABCD,底面ABCD为梯形，AB/CD,AB =2DC =2、一3, AC一BD = F，且：PAD与.：ABD均为正三角形，G为PAD的重心.（1）求证：GF /平面PDC；（2）求平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值.【答案】（1）见解析（2）11【解析】试题分析：（1）要证线面平行，则需在平面中找一线与之平行即可，所以连接AG并AF 2延长交PD于H，连接CH.由梯形ABCD , AB / /CD且AB=2DC，知，又G为FC 1AG AF 2PAD的重心，故GF / HC从而的证明（2）

5、求解二面角时则通过建GH FC 1立坐标系求两面的法向量，再利用向量的数量积公式求解即可试题解析：解：连接AG并延长交PD于H，连接CH.由梯形ABCD, AB/CD且AB = 2DC，AF 2AG AF 2知A/，又G为PAD的重心，.AF=2，故GF /HC.又HC平面FC 1GH FC 1PCD , GF二平面PCD , GF /平面PDC.：平面PAD平面ABCD，厶PAD与ABD均为正三角形，延长PG交AD的中点E，连接BE,. PE _ AD,BE _ AD,. PE_平面ABCD，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系:AB =2DC =2亦,二A(,0,0 ),P(0,0,3

6、) B(0,3,0 ),D(-T3,0,0 ),G(0,0,1 ),-5 -.AG 3,0,1 ,AB二-3,3,0 ,AP二- .3,0,3 C x),y ,z A* DC =；AB, x 3,成锐二面角的正切值为8.11点睛：证线面平行首先要明确和熟悉其判定定理，在面内找一线与一直线平行即可，求面面 角时则通常经过建立直角坐标系，求出两面的法向量，（1）求证：AC_平面C1EB；（2）求二面角A - AB -C的余弦值.1【答案】（1）见解析；（2）1.3【解析】试题分析：证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得 到线面垂直，进而说明线线垂直； 求二面角可采用建立空间

7、直角坐标系， 借助法向量求解，本题需要设AA二x,AAC-r,根据条件求出x，再利用法向量求出二面角的余弦,yo,z)=邪-扬3,0) )3石3门3屈3xo2一,yy0, Cr2,0|_墜,？,0 j,设平面PAB的一个法向量为n,=风，y1,z1,m _ AB由rm _AP A/3x+3y=0-爲x + 3 z = 0令z, =1，得m .3,1,1理可得=(廳,5,3 ),；cos(n1,门2面AGC3 5 3 _ 11537185，所以平面AGC与平面PAB所再通过向量夹角公式计算即可3.如图，在三棱柱ABC - ABC,中，平面AiACCi_ 平面ABC，ACB =30；，GCB =1

8、20；，BG _ AC，E为AC的中点.-6 -试题解析：（1）证明：BA=BC,E为AC的中点，BE_AC，又平面AACC!_平面ABC，平面AACG平面ABC = AC,BE -平面ABC,BE平面A1ACC1,-7 -又AC二平面AACC!, BE _ AfC.又BG _ AC,BE一BC!= B, /AC _面GEB.(2)方法一：由平面“CC丄平面ABCf作C.MXAC于则G丄面ABC .作 丄BC千N ,连 卬则qN丄BCr由cosZqOT= , cosZqGMr= CNcosZ?Va/=Dcoszqcv= coszqa/ co&ZAO/ ,而ZCjCM = 60；CAf故

9、l=coszcca/,即coszqca/=223在四边形应”中，设上4=英.3则由余弦定理得AC2=X2 12-2x 2一3 =X2-4X 12.3222 2 2AH =AC,GH=上GE，而AiC丄CiE，则AH +QH = AG.33于是4(X2_4x +12 )+(x2+2X+3)=(2T3)，即x2_x 6=0,x = 3或_2(舍)99容易求得：AE二6，而AiE2AE2二AAi2.故AiE _ AC，由面AACCi_面ABC，则AE面ABC，过E作EF_ AB于F，连AF，则.A1FE为二面角A,- AB -C的平面角，由平面几何知识易得、3AE=县=1A,F3 33EX32cos

10、AFE =GE2=x23-2 x .3，设AC与GE交于点H，则2-8 -方法二：以A点为原点，AC为y轴，过点A与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA.=x，. AAC - v，贝U B 1/ 3, 0，C 0,2 3,0，E 0八3,0,G 0,2 *3 xcosyxsinr. AC _ BG,的十雲;c）2击if J-”当丸=0即-x-6 = 0f醉得 k 二弓或一2舍），故AA1=3 ,则4仗点岡冲,Go”于是巫二他返岡，25=（Lo）,设平面4血的法问重 为心（兀朋），则芒即申+茫，取円，则当心一屁AB= 0 x+3y02CB = I,、3,0,CG二0,

11、xcosyxsinv.由?3xCOST122xcos#，贝Ab导呼x，得于是AC=0乎一织BCi二-1,312，叩朋+孚孚,-9 -n1n2不妨设平面ABC的法向量n2= 0,0,1，则cos羸1故二面角A1- AB -C的余弦值为 .3-10 -【点睛】证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直， 进而说明线线垂直；求二面角的方法有两种，传统方法为“作、证、求”，用空间向量，借 助法向量更容易一些2 4.如图，在梯形ABCD中，ABJCD，艺BCD =，四边形ACFE为矩形，且CF丄平3面ABCD，AD二CD二BC二CF = 1.（2）点M在线段EF（含端点）上

12、运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所 成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）77【解析】试题分析：（1 ）由N BC，AD=CD = BC可得BC丄AC.由CF 丄平面 ABCD可得3AC _ CF.从而EF_ 平面BCF.（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系,是平面FCB的一个法向量 0兰九兰J3,.当人=0时，cos日有最小值 五.令FM -，（ 0 _，_ 3）.平面MAB的一个法向量 6=（1,3,3 - ）,n2= （1,0,0）（1）求证：EF_平面BCF；-11 -7试题解析：（I）在梯形ABCD中

13、，AB/CD，设AD二CDWBC=1,又BCD=2, AB2 ,AC2二AB2BC2-2AB BC cos60= 3.3AB2=AC2+BC2.BC丄AC./CF _ 平面 ABCD,AC 二平面 ABCD,AC _ CF，而CF - BC =C, AC _ 平面 BCF .-12 - EF /AC, EF _ 平面 BCF.设q = x,y,z为平面MAB的一个法向量,得x + y = , hx_y + z = 0,取x=1,则n1=(1,3 n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，0兰九兰J3, 当人=0时，cos日有最小值,7点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，

14、此时二面角的余弦值为77 5.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE _平面CDE,已知AE =DE =2,F为线段DF的中点.(II)由(I)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴，z轴的如图所示建立空间设AD= CD .3),则C(0 , 0, 0) ,A( . 3 , 0,0) ,B(0 , 1, 0),AB=(-3,1,0),M( , 0, 1),BM=(,-1 , 1),n1AB = 0,nBM1=0,直角坐12-13 -(I)求证：BE_平面ACF；(II )求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角【解析】试题分析；(I)连接和交于。，连接OF利用中位线

15、定理得出OF |，故而HE|平面MCF (ID求出切,以.D为原点建立坐标系，求出两平面的法问量，计算法问量的夹甬即可得出 二面角的余弦值.试题解析； (连接和交于点O 连接OF ,因为四边形血仞为正方形， 所臥O対BD的中点. 因为FDE的中点，所OFBE 因为BE9平面ACF, OFc平面AFC ,(II)因为AE_平面CDE, CD二平面CDE， 所以AE _CD因为ABCD为正方形，所以CD丄AD.因为AE一AD二A,AD,AE平面DAE，所以CD丄平面DAE.因为DE平面DAE，所以DE _ CD所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E 2,0,0 ,F

16、 1,0,0 ,A 2,0,2 ,D 0,0,0.因为AE_平面CDE , DE平面CDE,【答案】(1)见解析；(2)5 5151-i14 -所以AE _CD因为AE =DE=2，所以AD =22.因为四边形ABCD为正方形，所以CD = 2 2,所以C 0,2-.2,0.=02x?_ 2 z?= 0,-2咼2=0,令目2=i，得x2= 22, z2- -22，所以f2、2,i,-2、2 .设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为 二，/ vnin2i + 45/5iCOSni, n2前胡VVi75i所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理

17、以及利用空间向量求二面角的大小，属于难 题空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（i ）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3 ）设出相应平面的法向量，禾U用两直由四边形ABCD为正方形,得DB二DA DC22、2,2,所以B 2,3，.2,2.设平面BEF的一个法向量为ni =Xi, yi,Zi，又知BE二0,2.2,-2 , FE二i,0,0，BE =0由niFE =0二严2yi：Zi巾xi0,令yi=1，得Xi= 0,Zi - -2,设平面BCF的一个法向量为门2=：X2,y2,Zi2,又知BC=】厂2,0, -2 ,CF 1,-2,0

18、,由n2BCn2CF =0X25、5i5i-15 -线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求出相应的角和距离 .6.如图，在三棱台ABC- ABC中，CCi_ 平面ABC，AB = 2AB= 2CCi，M，N分 别为AC，BC的中点.(1) 求证：AB1/平面C1MN；(2) 若AB _ BC且AB = BC，求二面角c - M - N的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)60.【解析】试题分析：(1)利用中位线，有AB/MN ,BB1/C1C，所以平面ABB1/平面MN，所以AB1/平面C1MN； (2)易得MA,MB,MA1两两垂直，

19、以此建立空间直角坐标系，分别计算平面CMC1,NMC1的法向量，利用法向量夹角来计算二面角C - MC,- N的余弦值为1 1，所以二面角为60.2试题解析：-16 -( (1证明：连接B.C,设西C与交于点G ,在三棱台ABC-AC,中血=24耳,则BC =2BQ ,而N是月C的中点，BGHBC ,则禺CJfNC ,所以四边形耳GCM是平行四边形，G是鸟C的中点，在曲&中，亞是/C的中点，则MGf/AB又北卫平面CfN、AfGu平面C、MN,所认ABJf平面q泗.(2)解：由C_平面ABC，可得AM平面ABC,而AB_BC,AB=BC,则MB _ AC,所以MA,MB,MA1两两垂直

20、，故以点M为坐标原点，MA,MB,MA1所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空 间直角坐标系.设AB= 2,则AB厂CC厂1,AC=22,AM严迈,B(0, .2,0),C(- . 2,0,0),G (- 2,0,1),N ( 2,2,0)，则平面ACCiA的一个法向量为n, =(0,1,0),n2MN =0,设平面GMN的法向量为门2=(X2, y2,Z2),则 T2，MCr= 0,取X2= 1,则y2-1,Z2 = 21cos : m, n2一-,易得二面角宀1十1 +2 2所以二面角C - MC1- N的大小为60飞辽0一T冷 + 二-y2=0,2 2-、2x2z2= 0,n2=(

21、1,1,，2),C -MC1- N为锐角,-17 -考点：空间向量与立体几何 7T姮Z-ABE BC =-7.如图， 三棱柱-;/ 中， 侧面：;是边长为 2 的菱形，且 ,四棱锥：的体积为 2,点在平面内的正投影为，且在上点 I是线段上，且(1)证明：直线二平面宀；(2)求二面角:丁的余弦值.【答案】(1)详见解析；7 屈(2):【解析】试题分析：(1)通过构造辅助线 FH,证明 为平行四边形，即借助线线平行证 明线面平行；(2)借助底面四边形的对角线互相垂直，建立空间直角坐标，利用向量方法求 解二面角(I)解析:因为四棱锥：的体积为 2,1苗VF - ABED= X-X4X2XFG = 2

22、_ -即，所以CM-18 -屈3BC EF = EG =又，所以即点 是靠近点的四等分点,33过点作交于点，所以，：,3MF -CF又I ,所以屹二豎且 r -,所以四边形* 为平行四边形，所以，所以直线平面.建立空间直角坐标系，如图所示：媲 -1）以顾- 昇）网攀-詁）_ /35 1设平面f心的法向量为.，.mBA 0m-BM二 0 则術=（1一品,-1）点睛：本题主要考查直线与平面平行的判定定理、二面角、空间向量的应用，以三棱柱为载 体，考查借助空间想象能力、逻辑推证、转化能力、运算能力线面平行的判定方法一是线 面平行的判定定理，二是证面面平行，其解题的关键是在面内找到一线与面外一线平行，

23、或 由线面平行导出面面平行， 性质的运用一般要利用辅助平面； 求二面角通常通过建立空间直 角坐标系利用空间夹角公式求解.8.如图，在正方形 ABCD 中，点E , F分别是AB, BC 的中点，将厶 AED , DCF分别沿DE,DF折起，使 A , C 两点重合于P.TIBA 071、RF= 0cosO =：即为所求n =，则-19 -（I）求证：平面PBD _平面 BFDE;（H）求二面角P DE F的余弦值2【答案】（I）详见解析（H）3【解析】试题分析：（I）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明, 而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定与性质定理，即从线线垂直

24、出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需结合平几知识进行：连接EF交BD于 0,则根据等腰三角形性质得EF 一 0D , EF 一 OP （n）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直 角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最 后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：（I）证明：连接EF交BD于0，连接 0P.P在正方形 ABCD 中，点E是AB中点，点F是 BC 中点,所以 BE =BF , DE =DF ,所以 DEB DFB ,所以在等腰DEF 中，0 是EF的中点，且 EF 一 OD ,因此在等腰PEF 中，EF 一 OP

25、,从而EF _平面 0PD,又EF 平面 BFDE,所以平面BFDE _平面 0PD,-20 -即平面PBD _平面 BFDE . .6 分在正方形逊D中，连接肿，交DE于 C 设正方形磁D的边长为2,由于点E是朋中点，点F是恥中点，所以RtADAE望Rt屈F ,于是ZADE = ZKAB ,从而ZADGZDAG=ZEAGZDAG= ,52 2 2PG GF -PF 2 cos PGF二2PG GF方法二: 由题知皿,册,他两两互相垂直，故以卩为原点，向量丽，西，面方向分别为工y,轴的正方 向，建立如團的空间直角坐标系.设正方形边长为乳贝怦(Q 0.0),纠0，1，0), F(l ,0 ,0)

26、,刊0 , o , 2).所以丽(-1,0), -(0, -1, 2).设m =x , y，z为平面EFD的一个法向量,GF 晋，PF =1-PGF 为二面角P一DE - F的平面角,AGGF =疵在正方形 ABCD 中，解得55由余弦定理得所以，二面角2P DE F的余弦值为312 分(II )方法一:?所以AF _ DE,于是，在翻折后的几何体中,- 2 寸 5所以，在 PGF中，PG=AG=9?-21 -x _y =0-y 2z=0-22 -令 X =1 ,考点：空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角【思路点睛】禾U用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建 恰当

27、的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法 向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.9.女口图，四棱锥P - A B C中，PA _平面A B C DAD LI BCPA二AB二AD二2BC = 2,BAD - v,E是棱PD的中点.(I)若v -60，求证：AE_ 平面PCD；(n)求 v 的值，使二面角P-CD-A的平面角最小.亠ji【答案】(I)见解析；(n).3【解析】试题分析：(I )利用题意证得CD _ AE,PD _ AE AE_ 平面PCD.(n)建立空间直角坐标系，由题意可得cos,要使最小，则cos最又由题知n 二 1 ,0,0

28、 是平面PED的一个法向量,所以 cosm,n gn 3所以，二面角P _DE _F的余弦值为12 分-23 -大，得3试题解析：当v -60时，/AD J BC,AB二AD = 2BC = 2. CD _ AD.又PA_ 平面ABCDPA_CD.CD_ 平面PAD.又AE平面PAD,CD _ AE又PA二AD,E是棱PD的中点，PD _ AEAE_平面PCD.(II如图建立空间直角坐标系4-砂，则尸(002),月2釦巴2迢0), C(2sin巴2詔十10),D(020).丽=(Q-Z2)、55=(2x111.25 0-1.0)设平面PCD的法冋量为并=(盂M)、,HD?-2J+2Z0则二、t、亓丄)6(21?x+(2cos& 1J y = 02co诅-1-24 -、2siu-25 -又易知平面