(完整word版)高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结,推荐文档

1、3又TSA AC.6,AM 2，:AMAB 2,ABM 600ABM是等边三角形,BF 3。在GAB中，AGGAB 900,11cos BFGGF2FB2BG22GF FB22-3263.面角S AMB的大小为arccos（二面角的求法定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角 的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1 中从二面角 S AM B 中半平面 ABM 上的一已知点（B）向棱 AM 作垂线，得垂足（F）;在另一半平面 ASM

2、内过该垂足（F）作棱 AM 的垂线（如 GF）， 这两条垂线（BF、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助 直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例 1 如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形,SD底面ABCD，AD , 2DC SD 2，点 M 在侧棱SC上，ABM=60（I）证明：M 在侧棱SC的中点（II）求二面角S AM B的大小。证（I）略解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作GF AM，GF 交 AS 于 G,连结 AC ,ADQA ADS 二 AS-AC 且 M 是

3、 SC 的中点, AML SC, GF 丄 AM 二 GF/ AS,又TF为 AM 的中点， 6卩是厶 AMS 的中位线，点 G 是 AS 的中点。则GFB即为所求二面角 /SM2，则GFAM交AM于点F，则点F为练习 i 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA 丄平面 ABCD ,ABC 60,E, F 分别是 BC, PC 的中点.（I）证明：AE 丄 PD;（H）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 FAD 所成最大角的正切值为一6,求二面角 E AF C 的余弦值.2分析：第 i 题容易发现，可通过证 AE 丄 AD 后推出 AE 丄平面 APD使命题获证，而

4、第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运 用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边 SE 与 SC,进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为丄5）5二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。知点 B 作另一半平面 FCiC 的垂线，得垂足 O;再过该垂足 O 作棱 FCi的垂线，得垂足 P,连结起点与终 点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP）。再解直角三角

5、形求二 面角的度数。例 2 .如图，在直四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD ,AB=4, BC=CD=2, AAi=2,本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角 B-FC1-C 中半平面 BFC 上的一已DE、Ei、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点。(1)证明：直线EE J/平面 FCC1；A1Bi(2)求二面角 B-FC1-C 的余弦值。EiIC证解略因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点，所以O,贝 U OB 丄 CF,又为直四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中,CCi丄平面ABCD,所以 CCi丄Ei

6、BO,所以 OB 丄平面 CCiF,过 O 在平面 CCiF 内作 OP 丄 CiF,垂足为D-化:mP 连接 BP 贝 OPB 为二面角 B-FCi-C 的一个平面角，在 BCFOP为正三角形中,OB3在RtCCiF中,OPF-CCiF,CC匹 OP 亠CiF；2222DiDAiBi（I）证明AD平面PAB;（n）求异面直线PC与AD所成的角的大小;（川）求二面角P BD A的大小.分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 平面 ABCD 点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。小为ar

7、ctan旦）4三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二 面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称 为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 3 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,/ BCD = 60, E 是 CD 的中点，PA 丄底面 ABCD , PA= 2.（I）证明：平面 PBE 丄平面 PAB;（n）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小 .分析：本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线，依本法显然 要补充完整（延长 AD、BE

8、 相交于点 F,连结 PF.）再在完整图形中 的 PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（I）证略解：（n）延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.过点 A 作 AH 丄 PB 于 H，由（I）知平面 PBE 丄平面 FAB,所以 AH 丄平面 PBE.在 Rt ABF 中，因为/ BAF = 60,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰 Rt PAF 中，取 PF 的中点 G,连接 AG.则 AG 丄 PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得，在 Rt OPF 中，BP、0P2OB21.14OP 2-3,cos OPB222BP,142-所以二面角7B-FC1-C 的余弦值为 +练

9、习 2 如图，在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB 3, AD 2, PA 2, PD 2 2PAB 60.AD 丄平面 PAB 后，容易发现平面 PAB1P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD（答案：二面角P BD A的大CPF 丄 HG.所以/ AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）在等腰 Rt PAF 中，近AG 2PA、2.在 Rt PAB 中，AHAPgABAPgAB22”5PB.AP2AB2.55凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos一）求出二面角的大小。S斜例 4 如图

10、，在三棱锥P ABC中，AC BC 2,ACB 90o,AP BP AB,PC AC（I）求证：PC AB；（n）求二面角B AP C的大小；分析：本题要求二面角 B AP C 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面 ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与 S射于是得到下面解法。解：（I）证略所以，在 Rt AHG 中，sin AGH25_AH互AG25故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是练习 3 已知斜三棱柱ABC AIBICI的棱长都是 a,侧棱与底 面成600的角，侧面BCCIBI丄底面ABC。（1）求证：ACIBC ;（2）求平面A

11、B1C1与平面ABC 所成的二面角（锐角）的大小。提示：本题需要补棱，可过 A 点作 CB 的平行线 L（答案：所成的二面角为 45）四、射影面积法（cosq =PPABC（n）Q AC BC,AP BP, APCBPC 又PC AC,PC BC又ACB 90o，即AC BC，且AC I PC C,BC平面PAC.取AP中点E.连结BE, CE.Q AB BP,BE AP.Q EC是BE在平面PAC内的射影，CE AP.人。是厶 ABE 在平面 ACP 内的射影，于是可求彳得:AB BPAP、AC2CB22 2,BE则S射SACEAE?CEi、2 ?.、2i,22S原SABEi-AE ?EB2

12、 ? = 6322设二面角BAP C的大小为，则cosS射i.3S原33.AB2AE26,AE EC 2二面角B AP C的大小为J3arccos 3CECi练习 4:如图 5, E 为正方体 ABCD AiBiCiDi的棱 CCi的中点，求平面 ABiE 和底面 AiBiCiDi所成锐角的余弦值.分析 平面 ABiE 与底面 AiBiCiDi交线即二面角的棱没有给出,要找到二面角的平面角， 则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形ABiE 在平面 AiBiCiDi上的射影是三角形AiBiCi，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。2(答案：所求二面角的余弦值为c

13、ose 二土).3五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解， 用向量法解立体几何题时， 通常要建立空间直角坐标系， 写出各点的坐标， 然后将几何图中的线 段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 4 :如图，在五面体 ABCDEF 中，FA平面 ABCD, AD/BC/FE , AB AD , M 为 EC 的中点,1AF=AB=BC=FE= AD2(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小;(II)证明平面 AMD 平面 CDE ;求二面角 A-CD-E 的余弦值。现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，

14、以点B i,0,0 , C i,i,0 , D 0,2,0 , E 0,i,i , F 0,0,i ,A为坐标原点。设AB i,依题意得所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.- 1 1 (II)证明：由 AM,1, , CE2 2M 1,1.2 2(I)解:BF1,0,1 ,DE 0, 1,1,于是 cos BF,DEBF?DEBF DE0 0 11.22 2CE?AD 0因此，CEAM , CEAD.又 AMAD A , 故 CE 平面 AMD .而 CE 平面 CDE，所以平面 AMD平面 CDE.(III)解：设平面 CDE 的法向量为 u(x, y, z),则u?CEu?DE0,0.于是 xz0令 x1,可得 u(1,1).y z 0.又由题设，平面ACD的一个法向量为v(0,0,1).练习 5、如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.(I)求证：AB BC;(H)若直线AC与平面ABC所成的角为，二面角A BC A的大小为 ，试判断 与 的大小关系，并予以证明.