矩阵可交换性的应用

1、 2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用学 号：11404111姓 名：郭冬冬班 级：数学1101指导教师：闫慧凰专 业：数学与应用数学系 别：数 学 系完成时间：2014年4月5学生诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的论文矩阵可交换性的应用是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期： 论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位

2、论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名： 日期： 指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名： 时间 摘 要矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩

3、阵（可交换矩阵）的应用。关键词： 矩阵；可交换目录1.绪论12.基础知识12.1 矩阵相关概念12.2 线性变换相关概念23.矩阵可交换的应用33.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系33.2上三角矩阵可交换的应用4长治学院学士学位论文矩阵可交换性的应用11404111 郭冬冬 数学与应用数学指导教师 闫慧凰1.绪论随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的内容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了

4、矩阵的可交换方面的知识。通常情况下，若，像是不成立的，但如果已知可交换，那么上述这个公式就是成立的。像这样的公式还有很多在可交换矩阵的条件下是成立的，如等等，当然，有时候在解决一些问题的时候会将线性变换与矩阵结合起来，这样两者之间就可以转化，将问题简单化。文献9就主要介绍了线性变换和矩阵之间的转化问题，文献3和文献4主要是对矩阵可交换的性质进行了探究。本文第一部分主要介绍了矩阵可交换性的相关概念，第二部分讲了矩阵可交换在一些方面的应用，主要有线性变换与矩阵的转化、上三角矩阵可交换的计算等。2.基础知识2.1 矩阵相关概念定义2.1.1 设矩阵，如果有，则称矩阵可交换。定义2.1.2 在阶方阵中

5、，倘若其中的元素，则称为阶对角矩阵，记为定义2.1.3 如果一个矩阵其主对角线上的元素全是1，其余的元素全是0，即，则称其为级单位矩阵，记为或简写为。显然有定义2.1.4 矩阵称为矩阵与数的数量乘积，记为，换句话说，即用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上。定义2.1.5 设，所谓的转置就是指矩阵，显然矩阵的转置是矩阵。定义2.1.6 级方阵称为可逆的，若有级方阵，使得，这里是级单位矩阵。定义2.1.7 设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为的伴随矩阵。2.2 线性变换相关概念定义2.2.1 设是线性空间，和是上的线性变换，若成立，则称线性变换和是可交换的。定义2.2.2 设是数域上的维线性空间，

6、是上的所有线性变换的集合，是的一组基，即，记为， 在式所设下，令，且= , ,则的同构映射，因此3.矩阵可交换的应用3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 设是数域上的维线性空间，由定义2.2.2我们得到了，如此便建立了数域上的维线性空间的线性变换与数域上的矩阵的关系，它们是相互唯一确定的。解决上述中线性变换的问题就可以借助矩阵，这样有限维空间上的线性变换问题就可以转化为中矩阵的问题了，反过来，中矩阵的问题就可以转化为有限维空间上的线性变换问题。 在同构的前提下，中的线性变换的很多性质转化为矩阵语言同样成立，反之，也成立。 定理3.1.1 设是复数域上的维线性空间， 是的线性变换，且，（1）

7、 的每一个特征子空间都是的不变子空间；（2） 与至少有一个公共的特征向量。证明：（1）设是的特种子空间，其中是的特征值，则对于，有，从而，故，即的每一特征子空间都是的不变子空间。（2）是的不变子空间，则在复数域上，必有特征值，并存在非零向量，所以，是与的公共特征向量。接下来，我们利用这个定理来证明两个题。例1：设是阶复矩阵，且的个特征值两两互异，。证明：是个对角矩阵。证明：设和是维复空间的线性变换和在某组基下的矩阵，由已知可得是个两两互异的特征值，从而存在使得，其中线性无关，所以是的一组基，则是的一维不变子空间的直和.又因为，所以，根据定理得是的不变子空间，其中，则有，即有个线性无关的特征向量

8、，则可以对角化，所以可以对角化，因此是个对角矩阵。例2：和是维:线性空间的线性变换，证明：若的个特征值两两互异，则的充要条件是的特征向量也是的特征向量。证明：设是的全部特征值，且，属于的特征向量为。因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的，所以是的一个基。必要性：设，且和在基下的矩阵分别为，则，其中。因为，所以，由于与对角元素彼此不同的对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵，所以，这时从得到。充分性：若的特征向量也是的特征向量，则，。于是，与在基下的矩阵与可交换，即，因此。3.2上三角矩阵可交换的应用 首先，给出几个简单的定理，然后由这几个简单定理来推出一个比较复杂的性质，最后利用结论来解决矩阵方面的习题。定理3.2.1 型如的二阶上三角矩阵的可交换矩阵仍然是二阶上三角阵其中为任意实数。定理3.2.2 型如的三阶上三角矩阵的可交换矩阵仍然是三阶上三角矩阵（且）其中为任意实数。定理3.2.3 型如的三阶方阵的可交换矩阵仍然是三阶方阵其中为任意实数。下面给出矩阵的上三角矩阵，再给出一个引理：引理：与阶方阵的可交换矩阵型如上述矩