2019高考数学狠抓基础题专题05不等式理

1、专题 05 不等式基础知识巩固1 不等关系（1）用数学符号“.”“ 一”“空”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等 号的式子，叫做不等式.（2）不等式的性质1实数的大小顺序与运算性质的关系ab?a - b 0；a二b= a -b=0；ab，bc?a c；（单向性）可加性：ab?a+cb+c；（双向性）ab,cd?a c b d；（单向性）可乘性：a b, c 0= ac bc；（单向性）ab,c0?acb0,cd0?ac bd;（单向性）乘方法则：a b 0= anbn（N,n_1）；（单向性）开方法则：ab0?nanb（n N, n 2）.（单向性）注意：（1）应用传递性

2、时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递（2 ）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号.2 一元二次不等式及其解法（1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式称为一元二次不等式，有三种形式：2一般式：y = ax2bx c（a = 0）；b、2 4acb2/ c、顶点式：y二a（x ）（a = 0）；2a 4a3两根式：y = a(x-xj(xx2)(a = 0)三个“二次”之间的关系判别式&=b2- 4ac44ax2bx飞乞0心=0）恒成立的充要条件是：a . 0且b2-4ac乞0（x二R）.2 22y二ax bx c(a 0)的图象一兀二次方

3、程2ax bx c = 0(a0)的根有两相异实根,X2(Xi :有两相等实根bX| = x2-2a没有实数根一元二次不等式ax2bx c 0(a0)的解集(Y,Xi)U (X2, ：)小書一元二次不等式ax2bx c : 0(a - 0)的解集(Xi,X2)(3) 一元二次不等式的解法:一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.二判：计算对应方程的判别式.三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.(4) 一元二次不等式恒成立问题1ax2bxc 0(- 0)恒成立的充要条件是：a 0且b2-4ac：0(x R)

4、.2ax2bx飞-0心=0)恒成立的充要条件是：a 0且b2-4ac_0(x，R).55axbx c 0恒成立的充要条件是：a=b = 0且c - 0或a - 0且b -4ac：0（xR）.6ax2bx c：0恒成立的充要条件是：a=b=O且c0或a0且b2-4ac：0（x三R）.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（1）一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ByC . 0表示直线Ax By 0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式Ax By 0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线能够通过取特殊点，由不等式的符号来确定不等式表示的平面区

5、域通常情况下取（0,0），若不等式相应的直线过（0,0），则可在坐标轴上取（0,1）或（1,0）.（2）简单的线性规划1解不含参数的线性规划问题的一般步骤：根据给定的约束条件画出相应的可行域，考察目标函数的特征，并根据其几何意义确定使其取得最值时的点的坐标，代入目标函数求最值.通常情况下，给定的约束条件多为二元一次不等式组，常见的目标函数有：z =ax by c型的线性目标函数；z =ay b型的斜率型ex d目标函数；z=（x-a）2 （y-b）2型的两点间距离型目标函数等.2使目标函数取得最值的点一般是可行域边界的交点，求出交点坐标，并代入目标函数，可以快捷、准确地计算最值，但要注意可行域

6、的边界是否是实线3解含参数的线性规划问题通常有以下两种类型：i）条件不等式组中含有参数，此时不能明确可行域的形状，因此增加阶梯式画图分析的难度.求解这类问题时，要有全局观，要能够结合目标函数取得最值的情况进行逆向分析，利用目标函数取得最值时所得的直线与约束条件所对应的直线形成交点，求解参数.ii）目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性.要能够从目标函数的结论入手，多图形的动态分析，对变化过程中的相关数据准确定位，以此解决问题4利用基本不等式求最值问题（1）基本不等式：.a ，2成立的条件：1a 0,b0.2当且仅当a二b时取等号.6（2）利用基本不等式求最值问题7如果积xy是定值

7、P,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2. P.(简记：积定和最小)如果和x+y是定值P,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是 .(简记：和定积最大)4(3)常用的不等式模型:基本不等式链：若a 0,b 0，则2Ob 111 2a bb a若ab 0，贝V2，当且仅当a二b时等号成立.a b命题规徉、不等式的性质与一元二次不等式【例 1 】设f (x)二ax2bx，若 Kf (-1) 2,2 f(1) w4,【答案】5,10【解析】设/(-2)=1/(-1)+/(1)(朴卅为待定系数),贝即斗a-2b=(+a-2b=(+ n)a+n)a+/./(-2)=3/(-1) + /(1).又V

8、l/(-l)2,2/(l)4, /.53/(-1) + /(1)10,即5/(-2)0(或0)，如果a与ax+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.求解时注意对二次项系数进行讨论【例 3】不等式_1 的解集是2-x3A.x|x乞24、3C. x|x 2或X4【答案】Bx2 0203则原不等式的解集为XPAo,即二1x x2 20 x-0 x-Qx-=9.x -2y 4 = 0y =3x -2y 4 = 0 x = 0由，得，即 B（0,2）,故Zmin=2,x y-2=0 y=2故z的最大值与最小值之差为 7,选

9、 C.【名师点睛】求解时需要注意以下几点：（1）在可行解中，只有一组（x,y）使目标函数取得最值时，最优解只有1 个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（2 ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解（3）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解Azz（4） 形如z=Ax+0），即y =一x ,为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在BBBy轴上截距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号.工x 2y乞1【

10、例 5】已知不等式组2x + y占-1表示的平面区域为D,若直线I:y = kx - k -1与区域D有公共点，则i x _ y兰0实数k的取值范围是【解析】 作出约束条件1111A.-2,二B.-；，222C.-2,1D. -2,-1【答案】Ax +2y兰1【解析】作出不等式组 丿2x + y Z -1表示的平面区域D如图中阴影部分所示,x - y 0,y0，且x+ 2y= 1，则的最小值为 _x y【答案】3 22【解析】因为工十2尸1, QO,尸0,所+当且仅当Jtyx yy x?即x=y/lyj即x= 5-L 3/ = 1-时取等号.y2故的最小值为3+2.【名师点睛】利用基本不等式求

11、最值的注意点：(1)要能够通过恒等变形及配凑，使其“和”或“积”为定值；(2 )要注意在正数范围内应用基本不等式，同时等号成立的条件要验证【例 8】若实数a,b,c0,且a c a b =6-2、一5，则2a b c的最小值为观察可知,-3,x贝U 3乞2- 2ab(a0,b0)，当且仅当a=b时，等号成立.2 2(2)a+b2ab,ab0)，当且仅当a=1时，等号成立;a1a+Ya2(ab0,cdcB.D.a bcda bc-又因为所以夕 V 二故选C.aC2 .已知函数yx2-2x -3的定义域为集合A，集合BA.； -5, -3，-1,3,5,7 :【答案】Bx2_2x _3亠O= x

12、x _3 x 1 _0j=x|x_T或x丄3,C.；-3, -1,3,5,7 ”D.:-5, -3, -1,3,51=x x = 2n + 1,z, n 3，贝UAAB为B.【解析】由题可知A二X17：3一3,-1,1,3,5二所以AnB-.3,1,3,5?.故选B.3 .不等式x2x一6x -10的解集为A.(-8,-3C. (- 8,-3U1,2【答案】DB.(1,2D. (- 8,-3U(1,2【解析】 由x2x6x -10，解得口 乙所获实数収的取值范围是（7：-6112炖.故选D.-9145.已知数列an是各项均为正数的等差数列，其前9 项和S9二，则一的最小值为2 a2a8A.8B

13、.9C. 12D. 16【解析】 因为数列an是等差数列，9(a1+a9)所以S919(a2a8)9，即a2a = 1,22214所以一（丄4-)(a2a8)54a25 2/849a?a8a2a8a2a8. a2a8当且仅当a8二4a21，即a2 =1,a8 =2时取等号，故选B.a2a833【答案】B2x + y兰40 x +2y兰506.已知动点（x, y）满足，则5x 2y的最大值是jx启0y -0B二x|x =2n 1, nZ,边界）,18A. 50B. 60C. 70【答案】DD. 100【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图中阴影部分所示,5 z5 zy - - x 2 25 z

14、易知当直线y =-一x+经过点C时，直线y = -=x+=的纵截距最大，此时z最大.2 2 2 2由z =5x 2y得易得C(20,O)，所以zmax= 5 20 =100.故目标函数z=5x 2y的最大值为100故选D.217.已知函数y = X +,X （,母），贝y y的最小值是 _x3【答案】2、2【解析】因为所-2-fi-2-fi , ,3x x x x当且仅当即X=72时等号成立，x x故卩的最小值是2血故填2血X _y _0,8.已知实数x, y满足x乞4 -y,记点（x,y）围成的封闭区域为门，若z=x2/的最大值为 8,则门2x - y - k _ 0.的面积为_【答案】12

15、k +4 8 _ k【解析】依题意，区域1是以点A（2, 2）,B（k,k）,C（ ,）（k：2）为顶点的三角形区域（包含33边界）,1920由图易得，当目标函数z=x+2y过点C（上，口）时，z有最大值 8,即亠上十2x口 =8，解得3333k = -4 ,故点B（_4, _4）到直线x y二4的距离为6.2,_ 1 _ _而|AC|=2、2，故门的面积为2、2 6 -. 2=12.2x y乞2I9 .已知实数x, y满足约束条件y - x _2，记该不等式组所表示的平面区域为门，且z,=2x- y,3x -y】：一6勺=丄,Z3=（x -1）2y2，现有如下说法：x -41一（x,y） J

16、zj1 :（x,y）,Z2岂一?：（x,y）门乙乞2.则上述说法正确的有_.（横线上填写所有正确命题的序号）【答案】【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如團中阴影部分所示对于可=2工-八 平移直线y y = = 2x2x? ?可知勺在点岀 0202）处取得最大值，为（咼爲=-2；在点C（73）处取得最小值，为佃）迪=-厂则石=2兀-肛-戈-2,对于乃=兰二，它表示平面区域内的点 3 刃与Z）（4-l）连线的斜率，易知X4巧=出丘-土-丄对于有=的距离的平方/%- 456g易知可之工一纣+於亡亍13 ,故正确，错误一21B. 5z2x3yD. 3y2x。，则eR A =A. & 一1

17、vx v2【解析】解不等式JCa-x-20得工C一1或x2?所次4= xx2,所以可決求得= JC| 1x2f古攵选B.2x + 3y3兰01.（ 2017 新课标全国I理科）设X、y、z为正数，且2X=3y=5z，则A. 2x3y5zC. 3y5z2x2x372lg klg33lg k-lg91，则2x 3y，lg82x 2lg k lg5- -5z lg 2 5lg k噬叮，则2z，故选 D.B.x 1 Ex兰2C. ?x|x：-，LMx|x2【答案】BD. 1x|x -1Ulx|x 2：3加一尸-6223.（ 2017 新课标全国n理科）设x,y满足约束条件2x-3y3 - 0,则2x y的最小值是y +3色0A-15B.-9D.9C. 123【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,目标函数即：y=2x z，其中z表示斜率为k=-2的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点B(-6,3)处取得最小值，zmin= 2 (6) (-3)= -15，故选A.x-2y 2 04.( 2018 新课标全国 I 理科)若 x , y 满足约束条件 2x-y+1K0 ，则 z = 3x+2y 的最大值为0【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示:331