2019高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形学案理

1、知识必备、正弦定理 1 1.正弦定理在厶ABC中，若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立.sin A sin B sin C常见变形a :b : c二sin A: sin B : sin C;=2R，其中R ABC的外接圆的半径sin A sin B sin C解决的问题(1)(1)已知两角和任意一边，求其他的边和角;(2)(2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.在ABC中,二、余弦定理1 1 余弦定理专题 04 解三角形(1)(1)sin Aa sinC(2)(2)sin Bb si nAsin B b,a sin B

2、sin Asin B sin C si nA sin Bsin A sin C sin Bsin C sin A sin B sin C正弦定理的推广:(3)(3)已知a,b和A时，三角形解的情况2三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2 2 2 2 2 2a b e -2bccosA, b a c -2accosB,2 2 .余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论:,2 2 2 2 2,2 2,2 2 b +c -ac +a b小a +b -ccos A, cosB,cos C2bc2ca2ab3 3 .解决的问题(1) 已知三边，求三个角

3、；(2) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角.4 4 利用余弦定理解三角形的步骤三、三角形的面积 i i三角形的面积公式设厶ABC的三边为a,b,c,对应的三个角分别为A B, C,其面积为S(1(1)S=ah( (h为BC边上的高) )；2111S bcsinA acsinBabsinC；222(3(3)r(a b c)( (r为三角形的内切圆半径22 2 三角形的高的公式hA= =bsinsinC= =csinsinB, hB= =csinsinA= =asinsin C,C,hc= =asinsinB=bsinsinA.核心考点考点一直接利用正、余弦定理解三角形【例 1 1】 (正

4、弦定理) 设厶 ABCABC 的角 A,B,CA,B,C 所对的边分别是 a,b,ca,b,c,若A = 60 , B = 75 , C = 8 ,则a二A A. 4.74.72 2 2c a b -2abcosC.(1)Iff迪和它余茂崑瘗们的夹角=(2)B.B. 4.64.6D.D. 4.24.23C.C. 4 4 5 54【答案】B B【解析】；A=60A=60 ,B,B =75=75 C C =45=45 , ,由正弦定理_sin AA A. 2 2【答案】B B【解析】在曲C中，+月+（7 =珥又二0二年，由余弦定理知b1= -c2 2c ccos5 ?c12M)f或卞=2(舍去，故

5、选B.【例3 3】（正、余弦定理的综合）在厶ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若3sinA = 2sin B,4b = 3c，则cosB =【解析】因为3sin A =2sin B，所以由正弦定理得3a = 2b，又因为4b = 3c，所以6a = 4b = 3c，令出刪超劇涮隔倔催MMU础加倔闕阳M倔W曲側的細昭甜唏昭細晞诂蚩昭脚超齢做刪购诵备考指南1 1.利用正、余弦定理求边和角的方法：（1 1）根据题目给出的条件（即边和角）作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置.（2 2） 选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用

6、余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到D.D.111616【答案】D Da =2m,b =3m, c = 4m,所以由余弦定理得cosB二泄卫亡曲，选D.162 2m 4m得 sin C sin 45故选B B.【例2 2】（余弦定理）已知a,b,c分别是ABC的三个内角A, B,C所对的边,且a = 1,b二3, A C rB,2B.B. 1 15(3)在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用.2 2 .常见结论：A + BnC(1 1 )三角形的内角和定理： 在厶ABC中，A Bn,其变式有：

7、A，B二n-C,等.2 2 2(2 2)三角形中的三角函数关系：sin(A - B) =sinC；cos(A - B) = cosC；.AB C A B . Csincos；cossin2 2 2 2期脚躺网圖圳射M側細關f御啡斷却附酬晞础的如斗航*剧跖 3 汹側劇翩腳诂沟购昭 關砂U考点二三角形解的个数或形状的判断【例 4 4】(三角形个数的判断) 在厶ABC中，a,b,c分别是内角 代B,C所对的边，若a=2=2,b=、6,A=45=45 ,则满足条件的三角形有A A. 1 1 个B.B. 2 2 个C.C. 0 0 个D.D.无法确定【答案】 B B【解析】Tbsin A = , 6-

8、= ,23，二bsin A：a：b，二满足条件的三角形有 2 2个，故选 B B备考指南判断三角形解的个数的两种方法1 1.代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.2 2 .几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数乂删i啊WiM昭咖I测倔册昭册珈曲昭 囁嗣嘯财翩昭阳 側加細辭购闽删【例 5 5】(三角形形状的判断)在厶ABC中，a,b,c分别是内角代B,C所对的边，若bcosC ccosB二asinA，则ABC的形状为A A.等腰三角形B.B.直角三角形C.C.钝角三角形D.D.锐角三角形【答案】B B6【解析方,J : / boos C + c c

9、o辺=b-+ 卞-lablac二ti = ts sin / , sin 4二1，孑故诜氐方法二：co&C+ccos asin AfSIBB005(7+ &in Ccos = sinA rsin(B + C) sinAfIt丁/ +0+(7=他*”siu(0 + C)二siuAO，二sin/=l,/二；故选B.绪躺編W删報fMUM轴葩谢附加紳齢时劇瞬締甜训U齢跆晞TFM附购昭紳诂肖加脚谢确阳歸刪Afi倔备考指南利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：1 1“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状2 2

10、 “边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A Bn这个结论.提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解 畑臧細MAI删国加必册備超斓的脚齢対翩劇刪尿隔細編火刪M考点三三角形的面积与周长问题【例6 6】（直接求面积）在厶ABC中，A =60 , AB =2, AC =3,则ABC的面积等于A A.2、334.33332D.D. 3 3【答案】C C11【解析】在ABC中，A=60,AB=2,AC =3,所以ABC的面积等于一AB AC si nA2

11、223sin60 3-3，故选 C C2【例7 7】（三角形周长问题） 在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=5,tan B = 1,7(1)求cosC的值;8(2(2)求ABC的周长.【解析】( (1 1)因为在ABC中，tan B =1，所以B二一，4又b=5,C=2,2，所以由正弦定理可得得sin C =csnB =2,b 5所以cosC = J _(2)2=迺，V 55因为C: b b，所以cosC215(2(2)由余弦定理知b2二a2 c22accosB，所以5a2(2 J2)2，即a2-4a -17 =0，解得a= 2 21或a= 2-.21(舍去)，2所以AB

12、C的周长为 21 5 2 =212,2-雀昭M屏诂站甜删彌歸鳩覘加內 尿*逐卓册醐质*曲*晞編讯側聊昭抽涮細谜達昭腳诵骼尿匸劇刪的请备考指南1 1 求三角形面积的方法1若三角形中已知一个角( (角的大小，或该角的正、余弦值) )，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解.2若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.2 2 三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边( (或两边) )有关联的角，

13、利用面积公式列方程求解.W腳唏翩 0 焙射删册瞄$御射唏酬龄斜册晞聶站谢1$劇跆汹I铀册綸紬紳诂達昭輛下瞬臥肋舱俯考点四 三角形中的范围或最值问题【例 8 8】(范围问题)已知a, b,C是厶ABC的内角A, B,C所对的边，2a si nA二as in 2C 2csi nCcosA,则角A的取值范围是9n【答案】(0 0,- 3【解析】T 2sin/ 二asin 2C+2csin Ceos虫I sin / = sin/sin CcosC + Gos/siD，C=sin C(sin A cos C+cos Asm C)= sin C sin( A + C) = sip C sin Ba2= b

14、e -1Jt-匕(当且仅当沁取等劭笃角/的取値范围杲(0, |.【例 9 9】(最值问题)ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c,(acosC-b)s in B = (c - b - a cosB) sinC.(1 1 )求A的大小；(2 2 )若ABC的面积为二，求a的最小值.2【解析】( (1 1)v(acosC _b)sin B = (c -b -acosB)sin C,. a(sin B cosC cosBsin C)二bsin B csin C - bsinC，即asin( B C)二bsin B csin C - bsinC, asinA二二bsin B csin C -

15、bsin C,由正弦定理得，a2=b2，c2-bc,由余弦定理得，cosA二工二匹J2bc 2bc 2 0：An,1n石(2(2 )由(1 1)知，ABC= =bcsin=,232bc=2=2,a2= b2c2-2bccosn= =b2c2-bc2bc-bc= =bc=2=2,当且仅当b=c时取等号,3a 2(舍)或a2，cos A =-2bcb2+c2-bc Ibc-bc2bc皿7tA二10am in= = 2 2 . .3311备考指南求最值或范围时，注意公式的选择. .1 1 求取值范围时，用正弦定理转化为解三角函数值域. .2 2 .求最大或最小值时,用余弦定理和均值不等式. .注意均

16、值不等式只能求一端的最值, ,有时由两边之和大于第三边求另一个. .能力突破1 1 .已知ABC的三个内角A, B,C所对的边分别是a,b,c，若sinB-sinA =、3a c,则角B的大小为A A.C.C.【答案】D DsinCB.nD.D.【解析】由正弦定理得 口 = 忌c，化简得c a b2 2 2a c -b2ac-=cosB，故2【名师点睛】 本题主要考查正弦定理的应用， 考查利用正弦定理进行边角互化的方法. .由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式,考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值

17、，由此求得B的大小. .2 2 .已知ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c，若a2b二C2 2ab，则sin C二3A A.3B.B.3C.23D.D. 2J2J3【答案】【解析】由已知可得,a2b2_c2=2ab，由余弦定理可得2 2 2小a+b-c cosC2ab3312所以si心.8竽133 3 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C = 60,a = 4b,c = J13，则ABC的面积为A A.3B.B.2D. ,13【答案】A A【解析】因为所以由余弦罡理可得13=/+歹_仍，又a= 4b?所叹1彷-讶=13,即站2 = 13,解得b=f所以口 =4,故二:

18、曲血C二丄:4xlx芈=的,故选A.2 2 214 4.在ABC中，角 代B,C所对的边分别为a,b,c. .若cosBcosC-sin BsinC二2(1(1)求角 A A 的大小;(2)若ABC的面积为S = 2-、3，且a = 2-、3，求b c的值. .1【解析】(1 1)由题意知cosBcosC -sinBsin C = cos(B C)=2因为ABC二n,所以B C二n-A,1所以cos(B C)二cos( n-A)二-cos A二2则cosA2n因为0：A : n,所以A. .3(2(2)因为S=bcsin A3b2 3，所以be =8. .24由余弦定理得a2=b2 c2-2b

19、ccosA，则12=b2c2-bc，2 2 2所以(b c)二b c -bc 3bc =12 24 =36，解得b c = 6. .D = 2 B，且AD = 2,CD = 6,cos B =(1)求ACD的面积;(2)若BC =4,3，求AB的长.C. 2 35 5 如图所示，在四边形ABCD中,14【解析】(1 1)因为cos B3,0：B：询3所以sinB诗，又D =2B,2_2所以sin D =sin 2B = 2sin Bcos B =,3所以SAACDAD CD sin D =4.22(2) )由余弦定理可得由余弦定理可得AC二AD2CD2-2AD CD cosD = 4 3，因为

20、BC =4-、3,咼考通关 1 1.(20172017 山东理)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若ABC为锐角三角形，且满足sin B(1 +2cosC) = 2sin AcosC +cosAsinC，则下列等式成立的是A A.a =2bB B.b = 2aC. A =2BD. B =2A【答案】A A【解析】由题意知sin(A C) 2si n BcosC二2si n AcosC cos A si nC,所以2sin B cosC二sin AcosC = 2sin B = sinA=2b = a，选 A.A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等

21、变形首先用两角和的正弦公式转化为含有A,B,C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到a=2b解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视所以cosB二AB2BC2- AC22AB BCAB2(4、.3)2-(4、3) 32ABX4V33解得AB=8.15(2018(2018 新课标 n n 理)在ABC中，cosCcosC5 5, BCBC =1=1 , ACAC =5=5，则AB =2 25 5A A.4 2C. .29.29D.D. 2 2 5 5【答案】A Acast：- 2cos2- l- 2 x【解析】因为2= a2+b2- labcosC= = 1 1

22、+ + 2525 2 2 X X 1 1 X X 5 5 X X ( (一)= 32,32,则!; =4J2，选 A.A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的2 2 2（20182018 新课标川理） A AABC的内角 A A , B B , C C 的对边分别为a, b b ,若厶 ABCABC 的面积为 一,. . n nA.A.- -2 2【答案】C C1 . a-”S .= ahsinC -【解析】由题可知B B.D.D.，所以汽飞-S，由余弦定理护十 b b2 2- - c c2

23、2= =labcQsC，得sinC = cosC，因为 Cw(Ojr)Cw(Ojr)，所以7TC =4 4, ,故选 C.C.（20172017 新课标 I I 理） ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为2a3sin A(1(1)求sinsinBsinsinC(2(2)若6cos6cosBcoscosC=1 1,a=3=3，求ABC的周长. .【解析】(1)(1)1a21由题设得 一acsin B，即一csin B二23sin A23sin A1sin Asin C sin B =-23sin A+存2故sin Bsin C. .3由正弦定理得1由题设及(1 1)得COSBCOSC -sinBsin”1，即cog C)二-16故A二二-.31 a2由题设得一bcsinA，即be = 8. .23sin A由余弦定理得b2 e2- be =9，即(bc)2-3bc =9，得b. 33. .故故厶ABC的周长为