2019春八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形第2课时菱形的判定教案

1、第 2 课时菱形的判定 MSB i.i. 掌握菱形的判定方法；( (重点) ) 2 2探究菱形的判定条件并合理利用它 进行论证和计算.( (难点) ) 一、 情境导入 我们已经知道，有一组邻边相等的平行 四边形是菱形.这是菱形的定义，我们可以 根据定义来判定一个四边形是菱形. 除此之 外，还能找到其他的判定方法吗？ 菱形是一个中心对称图形， 也是一个轴 对称图形，具有如下的性质： 1.1. 两条对角线互相垂直平分； 2.2. 四条边都相等； 3.3. 每条对角线平分一组对角. 这些性质，对我们寻找判定菱形的方法 有什么启示呢？ 二、 合作探究 探究点一：菱形的判定 【类型一】 利用“有一组邻边

2、相等的 D如图，在 ABC中，D E分别是 AB AC的中点，BE= 2 2DE延长DE到点F, 使得EF= BE连接CF 求证：四边形BCFE是菱形. 解析： 由题意易得，EF与BC平行且相 等， .四边形 BCFE是平行四边形.又T EF =BE, 四边形BCFE1菱形. 证明： BE= 2 2DE EF= BE,. EF= 2 2DE / D E分别是AB AC的中点， BC= 2 2DE且 DE/ BC EF= BC 又 v EF/ BC, 四边形BCFE是平行四边形.又v EF= BE 四边形BCFE是菱形. 方法总结：菱形必须满足两个条件: 交BF于点C, BD平分/ ABC且交A

3、E于点D, 连接CD求证： (1)(1) ACL BD (2)(2) 四边形ABC是菱形. 解析：(1)(1)证得 BAC是等腰三角形后利 用“三线合一”的性质得到 ACL BD即可； (2)(2)首先证得四边形ABCO平行四边形，然 后根据“对角线互相垂直”得到平行四边 形是菱形. 证明：(1) (1) v AE/ BF , BCA = / CAD v AC平分/ BAD / BAC=Z CAD / BCA= / BAC, BAC 是等 腰三角 形.v BD平分/ ABC - ACL BD (2) (2) BAC是等腰三角形， AB= CB v BD 平 分 / ABC , / CBD =

4、/ ABD v AE/ BF, CBD=Z BDA ABD =Z BDA - AB= AD - DA= CB v BC/ DA 四边形 ABC是平行四边形.v ACL BD, 四边形ABCO菱形. 方法总结：用判定方法“对角线互相垂 直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形 的前提条件是该四边形是平行四边形； 对角 线互相垂直的四边形不一定是菱形. 【类型三】 利用“四条边相等的四边 形是菱形”判定四边形是菱形如图，AE/ BF AC平分/ BAD且 是平行四边形；二是一组邻边相等. 【类型二】 利用“对角线互相垂直的 平行四边形是菱形”判定四边形是菱形 2 通血 如图，已知 ABC按如下步骤作

5、 图： 1 1 分别以A, C为圆心， 大于 g gAC的长为 半径画弧，两弧交于 P, Q两点； 作直线PQ分别交AB AC于点E，D, 连接CE 过C作CF/ AB交PQ于点F,连接AF 求证： AEDA CFD (2)(2)求证：四边形 AECF是菱形. 解析：(1)(1)由作图知PQ为线段AC的垂 直平分线，从而得到 AE= CE AD= CD然后 根据 CF/ AB 得到/ EAC=Z FCA / CFD= / AED利用“ AASAAS 证得两三角形全等即 可；(2)(2)根据中全等得到AE= CF然后根 据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC= EA FC= FA从而得到 EC=

6、 EA= FC= FA禾U用 “四边相等的四边形是菱形”判定四边形 AECF为菱形. 证明：(1)(1)由作图知PQ为线段AC的垂 直平分线，二 AE= CE AD= CD / CF/ AB, / EAC=Z FCA / CFD=Z AED 在厶 AED V EAC=Z FCA 与 CFD 中 ， AED=Z CFD AD= CD AED2 CFDAAS)AAS); (2) (2) AEDA CFD, AE= CF / EF 为线段 AC的垂直平分线， EC= EA FC= FA EC= EA= FC= FA 四边形 AECF为 菱形. 方法总结：判定一个四边形是菱形把握 以下两起点：(1)(

7、1)以四边形为起点进行判定； (2)(2)以平行四边形为起点进行判定. 探究点二：菱形的判定的应用 【类型一】 菱形判定中的开放性问题 ABCD , AF CE分别是/ BAD和/BCD的平分线,根据现 有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 ( (只需写出一个即可，图中不能 再添加别的“点”和“线”) ). 解析：I AD/ BC FAD=Z AFB / AF 是 / BAD 的平 分线，BAF= / FAD, / BAF= / AFB, AB= BF 同理 ED= CD / AD= BC, AB= CD, AE= CF 又 AE/ CF, 四边形 AEC

8、F是平行四边形./ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 则添 加的一个条件可以是 ACL EF 方法总结：菱形的判定方法常用的是三 种：(1)(1)定义； 四边相等的四边形是菱形； (3)(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 【类型二】 菱形的性质和判定的综合 应用 CB= CD E 是 CD上一点，BE交 AC于 F,连 接DF (1)(1)求证：/ BAC= Z DAC / AFD= / CFE (2)(2)若AB/ CD试证明四边形 ABCD!菱 形； (3)(3)在(2)(2)的条件下，试确定E点的位置， 使得Z EFD=Z BCD并说明理由. 解析：首先利用“ SSSSSS 证明

9、 ABCA ADC 可得 Z BAC=Z DAC再证明 ABFA ADF 可得Z AFD=Z AFB 进而得 到 Z AFD= Z CFE; (2)(2)首先证明 Z CAD= Z ACD再根据“等角对等边”，可得 AD= CD再由条件 AB= AD CB= CD可得AB= CB =CD= AD可得四边形 ABCDi菱形；(3)(3)首 先证明 BCFA DCF 可得Z CBF=Z CDFABCDh AB= AD 如图，平行四边形 如图，在四边形 再根据 BEL CD可得/ BEC=Z DEF 9090, 进而得到/ EFD=Z BCD 证明：在 ABC和 ADC中， AB= AD BC= D

10、C AC= AC 则，让学生先会运用判定解决简单的证明 题，再由浅入深，学会灵活运用通过做不 同形式的练习题， 让学生能准确掌握菱形的 判定并会灵活运用. ABCA ADCSSS) SSS) , / BAC = / DAC 在 ABF 和 ADF 中, AB= AD / BAF=Z DAF AF= AF, / AFD=Z AFB / AFB=Z CFE AFD =Z CFE (2)(2) 证明：/ AB/ CD BAC=/ ACD 又BAC=/ DAC CAD=/ ACD - AD =CD / AB= AD CB= CD - AB= CB= CD= AD 四边形ABCD!菱形； (3)(3) 解:当 EB CD于 E时，/ EFD=Z BCD 理由如下：四边形 ABCD为菱形， BC= CD / BCF=Z DCF在厶 BCF和厶 DCF 中， BC= CD / BCF=Z DCF CF= CF, BCF DCFSAS) SAS) ， CBF = / CDF / BEL CD BEC=/ DEF= 9090， 则/ BCDFZ CBF=Z EFDZ CDF= 9090， / EFD=Z BCD 方法总结：此题主要考查了全等三角形 的判定与性