最新空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案

1、精品文档【巩固练习】- 、选择题1.设平面内两个向量的坐标分别为（1 ,2,1） ,（-1 ,1,2）, 则下列向量中是平面的法向量的是 （）A. （ -1，-2，5）B. ( -1，1, -1)C. （ 1， 1，1）D. （ 1，-1，-2.如图， ABCD ABGD 是正方体， 日巳 =。店 1=1）( )A .C.151B.一1728317D.23. 如图， ABQ !-ABC 是直三棱柱 ,.BCA=90 ,BC 二 CA 二 CG ，则 BD! 与 AR 所成角的余弦值是一301A.B.10230,15C.D.15104.若向量 3 二（ 1,- ， 2） 与心，- 1, 2）的夹

2、角的余弦值为| ，则，（ ）B. 22D. 2或C. -2或55555.在三棱锥 P ABC 中， AB_ BC ,1AB=BC= PA ，点 0、D 分别是 AC 、PC 的中点， 0P 丄 2底面 ABC ，则直线 0D 与平面 PBC 所成角的正弦值（A.c.J218.362104210D.60306. （ 2015 秋 湛江校级期末）在正四棱锥S-ABCD 中， O 为顶点在底面内的投影，P为侧棱 SD的中点，且 SO=OD, 则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是（)A. 30°B. 45°C. 60°D.10、 D 分别是 AC 、PC 的中点， OP

3、 丄7.在三棱锥 P ABC 中， AB _ BC , AB=BC= PA ，点2底面 ABC ，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值是（）精品文档精品文档A ?运B . 8Jc?卫D ?卫636030二、填空题&若平面 :- 的一个法向量为n =3,3,0，直线 I 的一个方向向量为b= 111 ，则 I 与： . 所成角的余弦值为 _9?正方体 ABCD ABGD I 中， E、F 分别为 AB 、CG 的中点，则异面直线EF 与 AG 所成 角的大小是 _ .10?已知三棱锥S-ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底面ABC ,SA =3

4、 ，那么直线AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为_ .11. 如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形， AB = AE, FA = FE,. AEF =45，则平面 BDF 和平面 ABD 的夹角余弦值B三、解答题12.如图，点P 在正方体ABCD -ABQQ !的对角线上， /PDA =60 .(I) 求 DP 与 GC 所成角的大小；(n) 求 DP 与平面 AADD ! 所成角的大小13. 如图，四棱锥F -ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线AC =2 ,BD ,AE ,CF都与平面ABCD 垂直， AE =1 ,CF

5、=2，求平面ABF 与平面ADF 的夹角大小精品文档精品文档14. 如图（ 1）, 在 RtA ABC 中， / C = 90 °° BC = 3, AC = 6, D, E 分别是 AC , AB 上 的点，且 DE / BC , DE =2，将 ADE 沿 DE 折起到 A,DE 的位置，使 A,C _CD ，如 图（ 2） .（ 1）求证： AQ 丄平面 BCDE ;若 M 是 A!D 的中点，求 CM 与平面 AE 所成角的大小 ;线段 BC 上是否存在点P，使平面 AQP 与平面 Ai BE 垂直？说明理由 .（15.(2016 浙江理 ) 如图，在三棱台ABC-

6、 DEF 中，平面BCFEL 平面 ABC, /ACB = 90 °,2BE= EF= FC= 1 ,BC= 2,AC= 3.(I ) 求证： EF 丄平面 ACFD(II ) 求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值【答案与解析】1.【答案】 B【解析】排除法 ?平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零精品文档精品文档排除 A C,D，选项为 B.2. 【答案】3. 【答案】A设正方体的棱长为1, 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则31 B(1,1,0),E 1( 1,二 1),D(0,0,0), F 1( 0,-,1) .4431所以

7、， BE 1 =(1, ,1)-( 1,1,0)=(0,1) -4411DF 1 =(0, ,1)- ( 0,0,0) =(0,1)-441115BE1 DF1=00( )11= 4 416所以 ,BE1 DF t cos ： BE 1,DF 111|BE)DF 151517 .174 41715因此， BE 1 与 DF 1 所成的角的余弦值是-17A如图所示，以C 为原点建立的空间直角坐标系,则 A 1,0,0 ,B 0,1,0 ,Ci 0,0,1 , A 1,0,1 ,Bi 0,1,1 ,6 1 )11,-由中点公式可知， D ,1, |21F吃 2丿+ (cos3L,-,1 254.

8、【答案】【解析】由 a|_b = ab cos( a,b) 可得， 55 丸 2 +108 丸 4= 0 , 即( 丸 +2 (55 九 2 )=0 ,2 即， =2 或 =.555.【答案】 D【解析】精品文档精品文档设 OD=SO=OA=OB=OC=,则 A ( a, 0,0), BP0 鹽，( °,a， 0), C( - a，0, 0),:0P_ 平面 ABC ,OA=OC , AB rBC ,.OA_OB ,OA_OP, OB_OP.以 O 为原点，射线OP 为非负 zffl, 建立空间直角坐标系O _xyz 如图 ， 设贝AB =a, VA噫 0,0、,B 'o,

9、纟 a,0：Cpa,0j, P'0,0, ， 14., D a,0, - al2I 2 丿I 2I 2丿I 44 丿OD=0 a , 0 , - a |,I 44 丿可求得平面 PBC 的法向量 n 二-1,1Dcos OD, n=CB设 OD 与平面 PBC 所成的角为二贝 V sin v - cosOD,n =210A30xOD 与平面 PBC 所成角的余弦值为寻6.【答案】 A【解析】如图，以O 为坐标原点，以OA 为 x 轴， OB 为 y 轴，以 OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz 。a a则 CA = (2a,0,0), AP = (-a, , ),CB =

10、(a,a,0),2 2I4设平面 PAC 的一个法向量为n ,则 n CA =0,n AP =0,2ax =0，可取n =(0,1,1) ,-2ay 2az = 0CB,n cos|CB| | n|2 /2? CB,： =60 ,精品文档精品文档?直线 BC 与平面PAC 的夹角为 90 ° 60 ° =30 °故选 Ao7.【答案】D:OP _ 平面 ABC ，OA=OC ，AB=BC ，OA_OB, OA_OP, OB_OP.【解以 O 为原点，射线 OP 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系O xyz 如图，析】-3,0,0 .设 AB=a ，贝 VA a,0,0 B 0,a,0 ,CI2丿 I 2丿丨设 OP =h ，贝 V P 0,0, h .PA =2a,h2a'邑 0,西 a)OD 二44(可求得平面 PBC 的法向量 n 二 -1,1cosOD, ：=里n 、 . 丹-OD n30设 0D 与平面 PBC 所成的角为 二210则 sin 8 = coSoD, n308. 【答案】I 解析】由曲“心撐晋晋- ，知 l 与 :.所成角的余弦值为39.【