《概率论与数理统计教程》课后习题解答答案1-8章

1、精品文档第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。（1）10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。（2）个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，（i ）得白球，（ii ）得红球。解（1）记 9 个合格品分别为正-正2,正9，记不合格为次，则（ 正1,正2）（正1，正3），正1，正9）（正1，次）（正2，正3）（正2，正4）， （正2， 正9）（正2， 次），（正3，正4）,，（正3，正9），（正3，次），（正8，正9），（正8，次），（正9，次）A（正，次）,（正2，次），（正9，次）（2）记 2 个白球分

2、别为1，2，3 个黑球分别为b1，b2，b3，4 个红球分别为r1，D，r3，5。则 1，2，b1，b2，b3，r1，D，r3，扁（i ）A1，2 （i）Br1，D，3， m1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。（1）叙述ABC的意义。（2）在什么条件下ABC C成立？（3）什么时候关系式C B是正确的？（4）什么时候A B成立？解（1）事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。（2）ABC C等价于C AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。（3）当全系运动员都是三年级学生时。（4）当全系女生都在三年

3、级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了n个零件，以事件A表示他生产的第i个零件是合格品（1 i n）。用A表示下列事件:（1）没有一个零件是不合格品;（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅仅只有一个零件是不合格品;（4）至少有两个零件是不合格品。n，可表示为AiAj；解（1）A；(2)i 1A( Aj)；i 1j 1（4）原事件即“至少有两个零件是合格品”精品文档ij11.4 证明下列各式:(1)A B B A; (2)ABBA(3) (A B) CA (B C); (4)(A B) C A (B C)精品文档位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9 层中任取 7 层，各有一位

4、乘客离开电梯”。所以包含A7个样本点，于7是P（A）。91.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中 有数字 8”的概率为多大？(AB) C(A C)(BC)证明（1） （ 4）显然，1.5 在分别写有 2、4、6、(5)7、AAii 1i 1和（6）的证法分别类似于课文第10 12 页（1.5 ）式和（1.6）式的证法。& 11、12、13 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所解样本点总数为A；8所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13 中的两个，或为 2、4、6、8、12

5、中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含A 2A3A52 3 6个样本点。P(A)8 71.6 有五条线段，概率。2 3 69- 。14长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的解样本点总数为510。 所取3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含33 个样本点， 于是101.7 一个小孩用 13 个字母 代A,代C, E,H,I,I,M ,M ,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“ MATHEMATICIAN词的概率为多

6、大?显然样本点总数为13!,事件A“恰好组成“ MATHEMATICIAN 包含3 !2 ! 2 !2 !个样本点。所以P(A)3!2!2!2!4813!13!在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。1.8解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9 10 1 89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为P（A） 89891.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概

7、率。8 17解 每位乘客可在除底层外的9 层中任意一层离开电梯，现有7 位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两精品文档9494解用A表示“牌照号码中有数字 8”，显然P（A）一，所以10000 10精品文档i.ii任取一个正数，求下列事件的概率：(1) 该数的平方的末位数字是 1; (2)该数的四次方的末位数字是1; (3)该数的立方的最后两位数字都是1;1解(1)答案为丄。542(2) 当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是1,所以答案为 -105(3) 一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含示“该数的立方的最后两位数字都是1 ”

8、，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为 1 和 3a的个位数，要使 3a的个位数是 1,必须a 7，因此A所包含的样本点只有 71 这一点，于是1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。 然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。 求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。解(1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5 3 1种接法，同样对尾也有5 3 1种接法，所以样本点总

9、数为(5 3 1)2。用A表示“6 根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5 3 1种连接法，而对尾而言，任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为42。所以A包含的样本点数为(5 3 1)(4 2)，于是(5 3 1)(4 2)2(5 3 1)(2)2n根草的情形和(1)类似得1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中(即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的)。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有

10、k个N n k 2球的概率为n k，0k nN n 1nNn 1(2)恰好有m个盒的概率为m N m 1，N n m N 1N n 1nm j 1 N m n j 1(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为m 1n j，1 m N ,0 j NN n 1n解略。1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3P(A) 1-P(A)941ioooo14910102个样本点。用事件A表P(A)815精品文档分钟的概率。3解所求概率为P(A)-5精品文档n 111.15 在ABC中任取一点P，证明ABP 与 ABC的面积之比大于的概率为-2

11、nn1解截取CD CD，当且仅当点P落入n（1）X2位于X1与 X3之间的概率。AX1, AX2, AX3能构成一个三角形的概率。1解(1)P(A)-31.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形， 该三角形的边长为a,b,c（均小于d）, 求三角形与平行线相交的概率。解 分别用A,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(AJP(A2)0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac, bc与平行线相交，则P(A3)P(AabAacAbc).显然P ( Aa)P

12、(Aab)RAc),Pf)P(Aab)P(Abc),P(AJP(Aac)P(Abc)所以12 1P(A3)-P(Aa) P(Ab)P(Ac)(a b c)(a b c)22dd（用例 1.12 的结果）1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点” 的概率等于零，但A不是不可能事件。1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直 到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，

13、并求甲或乙先取到白球的概率。b个为P(A)A BC 有面积ABC 的面积- 2CD-2CD122CDn-2CD两小时,解1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位， 求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与y 2,0 y x 1。因此所求概率为21212242232222P(A) -2- 0.1212421.17 在线段AB上任取三点x, x2, x3，求:CAB之内时n 1D，因此所求概率nP(B)解1表示白，2表示黑白，3表示黑黑白，br表示黑 黑

14、白,精品文档b 1，并且P(1)P(3)a则样本空间P(2)精品文档P(i)代”十刀a b a b 1 a b (i(1)P(AA2)1 P(AJ P(“)P(AA2)；1 P(A1) P(A；) PS1A2) P(A1A2) P(AJ P(A2).证明(1)P(AA2)P(AA2)1P(A,A2)=1P(A1)P(A)P(A1A2)(2)由(1)和P(AA2)0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB) P(AC) P(BC) P(A)证明P(A) PA(B C) P(AB) P(AC) P(ABC)P(AB) P

15、(AC) P(BC)1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%订乙报的有 35%订丙甲取胜的概率为P(1)+P(3)+P(5)+ 乙取胜的概率为P(2)+P(4)+P(6)+ 1.21 设事件代B及AB的概率分别为p、q及r,求P(AB),解由P(A B)P(A)P(B)P(AB)得P(AB) P(A)P(B)P(AB) pq rP(AB) P(AAB)P(A)P(AB)r q,P(AB) r pP(AB) P(AB) 1P(AB) 1rb 1)aP(AB),P(AB),P(AB)P( b1)石1.22 设几、A2为两个随机事件，证明:2) a b (

16、i 1)b!ab)(a精品文档报的有 30%同时订甲、乙两报的有10%同时订甲、丙两报的有8%同时订乙、丙两报的有5%同时订三种报纸的有 3%求下述百分比：(1) 只订甲报的；(2) 只订甲、乙两报的；(3) 只订一种报纸的；(4) 正好订两种报纸的；(5) 至少订一种报纸的；(6) 不订任何报纸的。解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。精品文档(1)P(ABC)P(A(AB AC )=P(A)P(ABAC)=30%P(ABC)P(ABABC)7%P(BAC)P(B)P(AB)P(BC)P(ABC)23%P(CAB)P(C)P(AC)P(BC)P(ABC)20%P(ABC+

17、BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%P(ABCACBBC A)P(ABC)P(ACB)P(BC A)14(5)P(A B C) 90%(6)P(ABC) 1 P(A B C) 190%10%1.26 某班有n个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有 被抽到的概率是多少？解用Ai表示“第i张考签没有被抽到” ，i1,2,N,N。要求P( A )。i 1nN 1N 2nnN NP(Ai)NP(A Aj)NP(A1AN)0丿NNNN 1n八11NN 1nP(A)彳( 1)11彳i 11N1NnnNN 221NN 2P(A

18、iAj)(1)1 i N2N2NN所以P( A)N(1)i1Nnii 1ii 1N1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？是等可能的)。解n阶行列式的展开式中， 任一项略去符号不计都可表示为a1ha2i2anin，当且仅当1,2, ,n的排列(i1i2in)中存在k使ikk时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ikk”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。贝UZ(1 i j n)，n!11i!求至少有一个男孩的概率(假设一个小孩是男孩或是女孩P ( Ai)(n 1)!1n!P(AiAj)Nn所以P( A)( 1)i 1i 1i 1(n i

19、)!n!n(1)ii 11.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩,精品文档解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为:精品文档(b,b,b),(b,b, g),(b,g,b)(g,b,b), (b,g, g)g,b, g( g, g,b)(g, g,g)其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”，B表示“有男孩”，则P(B|A)込6/8P(A) 7/81.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件,(1) 在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。设A表示“所取产品中至少有一

20、件是不合格品B表示“所取产品都是不合格品”，则P(A)m M m1 1MP(B)P(B)需闖m 12M m 1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”D表示“所取产品中有一件合格品， 一件不合格品”。则P(C)m M m M m1 1 2M2P(D)P(D |C)P(CD)PC)P(D)P(C)2mM m 11.31n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求:(1)已知前k 1(k n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率;第k(k n)个人摸到的概率。解设Ai表示(1)P(Ak|A Ak 1)1n (k 1)P(Ak)P(A1n 1 nAk 1Ak)n n2111nk 1np，

21、证明：一个母鸡恰有r个下一代(即小鸡)的概率为亠卩。r!解用Ak表示“母鸡生k个蛋”，B表示“母鸡恰有r个下一代”，则精品文档P(A IB)P(AJP(B| AJ3P(Ak)P(B| Ak)k 12569P(A2|B)P(A2)P(B| A2)28369P(Ak)P(B|Ak)k 1P(A3)P(B|A3)3P(Ak)P(B| Ak)k 11.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 当有一台机床需要修理时，915，17P(A3|B)1669问这台机床是车床的概率是多少?9:321，它们在一定时间内需要修理的概率之比为123:1。32P(A2)-，P(A3)-，151523P(B|A2

22、)7，P(B|A3)P(AJP(B|A1)P(Ak)P(B|Ak)k 11.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、1 1 1解则P(A1)P(B|AJ由贝时叶斯公式得P(A1| B)79221Pg和151，P(BA)-飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是丄、丄、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多4312r!1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，级射手 8 人，二级射手 7 人，四级射手一人，一、 三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一

23、组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用Ak表示“任选一名射手为k级”，k 1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则4P(B)P(Ak)P(B| Ak) 0.9 - 0.7 - 0.5 丄 0.2 0.645k 1202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25% 35% 40%并在各自的产品里，不合格品各占有 5% 4% 2%现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于 多少？解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”A2表示“任取一只产品是乙台机器生产”A3表示“任取一只产品是丙台机器生

24、产”B表示“任取一只产品恰是不合格品” 则由贝叶斯公式：P(B)P(AQP(B|Ak)k rk!pr(1kP)p)rr!(1 P)Lk r(kr)!P)r(iP)r!精品文档解用Ai表示“朋友乘火车来” ，A2表示“朋友乘轮船来” ，A3表示“朋友乘汽车来” ，A4表示“朋友乘飞机来”B表示“朋友迟到了” 。则P(AIB)4P(A)P(B|A1)1P(Ak)P(B|A)2k 11.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A B、AB及A B都与C独立。证明 (1)P(A B)C) P(AC) P(BC) P(ABC)=P(A B)P(C)(2)PABC) P(A)P(B)P(C) P(AB)P

25、(C)(3)P(A B)C) P(A AB)C) P(AC ABC)=P(A B)P(C)少？精品文档1.38 试举例说明由P(ABC) P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)解 一方面P(A), P(B) 0,另一方面P(A)P(B) P(AB) 0,即P(A),P(B)中至少有一个等于0,所以解(1)nP( Ak)k 1nP(Ak)k 1n(1 Pk)k 1nn _nP(Ak)1P(Ak)1(1Pk)k 1k1k 1nn _nn _nnP(AkAj)(AkAj)Pk(1 Pk 1j 1j kk 1jJj 1k 1j 1i kj kj).1.40 已知事件代B相互独立且互不相容，求P(A

26、)P(B)一定成立。解设2,3,14, 5，P( 1)64，P( 5：P(2)P(3)15P(4)A 164P(A) P(B)P(C)15 164644P(ABC)P(1)164P(A)P(B)P(C)但是P(AB)P(1)164P(A)P(B)1.39 设A, A2,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)1864，1，2，A 1,3，A 1，4则min( P(A), P(B)(注:min( x, y)表示x, y中小的一个数)(1)n个事件全不发生；(2)n个事件中至少发生一件;(3)n个事件中恰好发生一件。Pk(1 k n)，求下列事件的概率:精品文档min(P(A), P(B)0.1.4

27、1 一个人的血型为O,A, B, AB型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03 , 的概率(1) 两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型;(2) 三个人为O型，两个人为A型；(3) 没有一人为AB。门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。(1)P(A1A2) 1 P(A1A2)1 0.420.84n _An)1 P( Ak) 1 0.4n0.99,k 1取n 6。至少需要 6 门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.43 做一系列独立的试验，每次试验

28、中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”，B表示“在前n m 1次试验中失败了m次”，C表示“第n m次试验成功”现在任意挑选五个人，求下列事件从 5 个人任选 2 人为O型，共有5种可能，在其余 3 人中任选一人为2A型，共有三种可能，在余下的2选一人为B型，共有2 种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：0.4620.40 0.11 0.13 0.01680.46230.402(10.03)50.85871.42设有两门高射炮，每一0.1557解用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”k 1,2,，B表示“击中飞机”。则P(A

29、k)0.6，P(A1黑5.026则P(A) P(BC) P(B)P(C)n 1p (1mp) p1pn(1p)1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完盒时另一盒中还有r根火柴(1 r n)的概率。解用A表示“甲盒中尚余i根火柴”用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”，C, D分别表示“第2n r次在甲盒精品文档由对称性知P(ArB0C) P(AoBrD)，所求概率为:2n r 1P(A0BrC ArB0D)2P(AoBrC) n 1第二章离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？135123(1)(2)0.50.30.2

30、0.70.10.1012n1 2n11 121 1n1 11 122122 32 32 32 22解(1)是(2) 0.7(0.1 0.1 1，所以它不是随机变量的分布列。(3)1 121 1 1n1 13,所以它不是随机变量的分布列。2 232 32 34(4)1n0,n为自然数，n且丄，所以它是随机变量的分布列。2n 121，所以C27382.4 随机变量只取正整数N，且P(2N)与N成反比，求 的分布列。解根据题意知P(-C，其中常数 C 待定。由于-C- 1，所以CA，即的分布列为Ni 2 3N1N26取”,“第2n r次在乙盒取”，A0BrC表示取了2nr次火柴，且第2nr次是从甲盒

31、中取的，即在前2n r 1在甲盒中取了n 1，其余在乙盒中取。所以P(AoBrC)n 1nr2n r 1 111n 12222n r 122.2 设随机变量的分布列为：P( k)k,k 123,4,5,求(1)P(1151(2P(-5)；(3)P(12)。22解(1)P(11 或 2)2 11515 5(2)P(25)P(1) P(2) i；(3)P(12) P(1) P(2) I52)；精品文档精品文档2k解P( k)(0)kO由于e2e,得12,20(不合要求)。所以2.5 个口袋中装有m个白球、n m个黑球，不返回地连续从袋中取球， 直到取出黑球时停止。 设此时取出了 个白球，求 的分布

32、列。解 设“ k ”表示前k次取出白球，第k 1次取出黑球，则的分布列为:P( k)m(m 1) (m k 1)(n m),k 0,1,m.n(n 1) (n k)312.6 设某批电子管的合格品率为3，不合格品率为丄，现在对该批电子管进行测试，设第 次为首次测到合格品,44求的分布列。k 1解P( k)13, k 1,2,.442.7 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、5,从中同时取出 3 只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。解P(2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0 p 1)，设 为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解P( k)

33、qk 1ppk 1q , k 2,3,，其中q 1 p。2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为 求每名队员投篮次数的分布列。解 设，表示第二名队员的投篮次数，则P(k)0.6k 10.4k 10.4+0.6k0.4k 10.60.76 0.24k 1,k1,2,；P(k)0.6k0.4k 10.60.6k0.4k0.40.76 0.6k0.4k 1,k 1,2,。2.10 设随机变量服从普哇松分布，且P( 1) P( 2)，求P( 4)。k 12k3 4 5k)53,4,53P(N)22-?2N2N取正整数。0.4,第二名队员投中的概率为0.6，精品文档P

34、( 4)e2-e2。4!32.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7 的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解设 为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P( x) 0.999。查普哇松分布的数值表，得x 16。2.12 如果在时间t(分钟)内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设 为时间t内通过交叉路口的汽车数，则P(k)(t)kek!(0),k0,1,2,t 1时,P(0) e0.2，所以ln 5；t 2时，t

35、2ln5，因而P( 1)P( 0)P( 1)(24In 25)/250.83。一本 500 页的书共有 500 个错误, 求指定的一页上至少有三个错误的概率。2.13每个错误等可能地出现在每一页上(每一页的印刷符号超过500 个)。试500在指定的一页上出现某一个错误的概率1500，因而，至少出现三个错误的概率为5001k 500500 k4995005001500500 k499500利用普哇松定理求近似值，取np5001500是上式右端等于2151 e110.0803012.14 某厂产品的不合格品率为0.03 ,格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装100 x个产品，其中有现

36、在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有100 个合k个次品，则要求x,使0.9k 0100 xk。.。血97100* *，利用普哇松分布定理求近似值，取(100 x) 0.033，于是上式相当于0.9kx3k03k!eJ查普哇松分布数值表，2.15 设二维随机变量(，)的联合分布列为:P( n, m)n mn mp (1 p)e (0,0 p 1)m 0,1, ,n n 0,1,2,m!( n m!)求边际分布列。精品文档，求(，)的联合分布列与各自的边际分布列。(,)的联合分布列及边际分布列。2.21 设随机变量与独立，且P(1) P(1)p 0，又P(0) P(0)

37、1p0，定义1若为偶数，问p取什么值时与独立？0若为奇数解P(1) P(0)P(0)P(1)P(1)=(1 p)22pP(0) P(0)P(1)P(0)P(1)2p(1 p)而 P(1,1)P(1, 1)2p，由P(1, 1)P( 1)P(1)得p122.22 设随机变量与独立，且P(1) P(1)2，定义，证明，,两两独立，但不相互独立。证明P( 1) P(1)P(1) P(1)P(1) iP(1) P(1)P(1)P(1)P(1)2解P(n)nP( n,m 0m)nnen!m一 、n mP(1 D)n!m 0nen!0,1,2,P( m)P(n 0n,mp enmn mm)p (1 p)!

38、n mm! (n m)!m(P) em!2.17 在一批产品中0,1,2,等品占50% 二等品占 30%三等品占20%从中任取 4 件，设一、二、三等品的件数分别解P(m,n,k)m!n!k!P(m)4m0.5m0.54 m， mP(n)40.3n0.74n， n0,1,2,3,4 m n k 4.P(k)k 4 k0.2 0.80,1,2,3,4。2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求01,2,3,4 ；0,123,4 ；n0.5m0.3n0.2k，m,n,k精品文档因为P(1,1) P( 1,1)14P(1)P1)P(1,1)

39、P(1,1)1P(1)P1)P(1,1) P(1,1)1P(1)P(1)P(1,1) P(1,1)1P(1)P(4精品文档所以，相互独立。同理 与 相互独立。但是P( 1,11) P( 1)P(1)P(1)，因而，不相互独立。2.23 设随机变量与独立，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分(即不可能有1P(k)护2,3,，12。证明设P(k) Pk,P(k) qk,k1,2,6。若P(k)丄,k112,3,12，则P(2)Pg111111(1)P(7)吋6P2q5P6q1(2)P(12)P6q6丄11(3)将(2)式减去(1)式;，得：(P6P1)q10， 于是P6p。冋理。因此P

40、6q6式矛盾。231解分布列为P( 2) -，P(423)P(的分布列为P(11)；，P(10)2，P(2.25 已知离散型随机变量的分布列为12115617解P(0)-,P(51)，P(304)2.26设离散型随机变量与的分布列为：01201321111，求的分布列。515301115P(9)5301331:0112，且与相互独立，求8833卩口 ，与(3)112.24 已知随机变量0 的分布列为2 ，求1 1 12与COS的分布列。1)精品文档分布列。精品文档012341 11 1 1 16 24 4 24 122.27 设独立随机变量与分别服从二项分布：b（k；np）与b（k; n2,p

41、），求 的分布列。解设 为片重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P（A） p）， 为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P（A） p），而与相互独立，所以而2.28 设与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为1P（ n） P（ n）歹，n1,2,求 的分布列。D E2(E )221 1-，因为级数丄发散，所以没有数学期望。k 1kk 1k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中）， 物品的重量以相同的概率为1 克、2 克、10克，现有三组砝码：（甲组）1, 2, 2, 5, 10 （克）为片 匕重贝努里试验中事件A发生的次数，因P(k)k n1n2kp

42、qk 0,1,n2。解P(n 1n 111n 1n)P(k)P(nk)k n k_nk 1k 12222.29设随机变量具有分布 :P(k)1,k51,2,345，求E、E2及E(解，E丄(12 3 45)3,E222324252)1155E( 2)2E2+4E+4=272)22.30 设随机变量具有分布:P(k),k1,2,，求Ekk 12kk12k2kk212.31 设离散型随机变量的分布列为：Pk.(1)k尹12,，问是否有数学期望?2k|( 1)|k 1k精品文档（乙组）1, 2, 3, 4, 10 （克）精品文档（丙组）1, 1, 2, 5, 10 （克） 问哪一组砝码秤重时所用的平

43、均砝码数最少?解设,、2、3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101于是E1丄(1122 122 3 3 1)1.8101 E2(1 111222331)1.710E3丄(1123122341)210所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。2.33 某个边长为 500 米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0 米的概率是 0.49,10米的概率各是 0.16，20米的概率各是 0.08，30米的概率各是 0.05，求场地面积的数学期望。解设场地面积为S米2,边长的误差为米，则S （500）2且E0 E22(1020

44、.162020.083020.05)186所以ESE(500)2E21000E250000250186(米2)2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为P1、P2、P3。试证发生故障的仪器数的数学P1+P2+P3。证令1第 i 架仪器发生故障匚1,2i0 第 i 架仪器未发生故障所以E E1E2E3P1+P2+P3。2.37 如果在 15000 件产品中有 1000 件不合格品，从中任意抽取 150 件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。 解设，2.38 从数字 0, 1，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。10则i的分布列为丄14，因而E1

45、515150150i，所以EEi10。设 为查得的不合格品数，则15为发生故障的仪器数，则EP(i1) Pi，i 1,2,3，精品文档解设成功与失败均出现时的试验次数为，则解 设 为所选两个数字之差的绝对值，则P(k)Wk1Z,n,0kU 字刍0(n 1)kk 1n 1 n(n 1)k 1k2晋 2.39 把数字1,2,小任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。1 数字 k 出现在第 k 个位置上0 数字 k 不在第 k 个位置上则k的分布列为:P(k1)丄，设匹配数为，则n2.40为取非负整数值的随机变量，证明:P(n 1n)；2 nP(n 1n

46、)E (E 1).证明(1)由于EnP(n 0n)存在，所以该级数绝对收敛。从而2.41nP(n 1n)nnP( n)1 i 1P( n)i 1 n iP(i)。存在，所以级数E(En2P(0n)也绝对收敛，从而1)n(n11)P(n) E (E1)niP(1 i 1nP(1n)E (E1)iP(n) E (E1)n)E(E1).在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。精品文档、n 1n 1sc,丄、n) p q ,n 2,3, (q 1 p)n 1 n 1、n)=1+(p q )n 22 .P P 1p(1 p)2.42 从一个装有m个白球、

47、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果（1）摸球是为返回的，（2）摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解略。2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第n。件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第no件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率 都是p，问平均每批要检查多少件？解略。2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次 检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设第i 1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为i，i 1

48、,2, k.又在两次检修之间产品总数为k，则i 1因i独立同分布，P(ij) qj1p,j 1,2, (q 1p），由此得Eijqj 1jp12.2 j 1EiJ q p2 p2，j 1pj 1pD一2/一21piEi(Ei)-2。pEkkEi ，DkDk(1 p)i2i 1pi 1p2.46 设随机变量 与 独立，且方差存在，则有D()DD(E )2DD(E )2(由此并可得D() D D)证明D()E22(E)2E2E2(E )2(E )2E2E2E2(E )2E2(E )2(E )2(E )2E2D(E)2DDD(E)2D D(E )22.47 在整数 0 到 9 中先后按下列两种情况任

49、取两个数，记为P(1)1,P(利用上题的结论，EP( 1) +P(（1）第一个数取后放回，再取第二个数；（精品文档1解(1)P( i | k) i 0,1, ,9.101P( i | k) (i 0,1,9,i k),P( k | k) 092.49 在n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令qnr n rp qrnn)1 k1212分布是均匀分布，即P(i1|12r)2.50设随机变量2相互独立，分别服从参数为1与2的普哇松分布，试证:证明P(1k|、P(1k,2n)12n)n)P(1k)p(2P(12n k)n)由普哇松分布的可加性知2服从参数为2的普哇松分布, 所以P(1k|1n)k1

50、e k!n k12e(n k)!2.51 设1P(ik) qpk1,k1,2,(12)(1 2)en!，r为r个相互独立随机变量，,(1 i r),其中 q 1 p。试证明在i(1r)服从同一几何分布，即有rn的条件下，(,r)的第一个数取后不放回就取第二个数，求在k(0 k 9)的条件下的分布列。求在1解P(i0|1 在第 i 次试验中 A 出现 在第 i 次试验中 A 不出现1,2, ,nr(0r)n)的条件下,i(0 i n)的分布列。P(i0,1P(1 2nr)P(1k|精品文档1n1,rnr|12rn1 n r1其中n1n21证明P(1m,rnr|2P(1n1,rnrrP(1P(1n

51、,rnP(1rn)P(r相互独立且服从同一几何分布, 所以1，2 ,51rn)rn)nrn由于q qkpkpn np pr rq q从而P(1n)rq pn 1r n r彳q pr 1第三章连续型随机变量3.1 设随机变数的分布函数为F (x)，试以F(x)表示下列概率:(1)P(a)；(2) P( a) ；(3) P( a) ；(4) P( a)解:( 1)P(a) F(a 0) F(a)；(2)P( a) F(a0)(3)P(a)=l-F(a)；(4)P( a) 1 F(a 0)。3.2 函数F(x)J 是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果(1)(2) 0 x，在其它场合适当定义;(3

52、) -x 0，在其它场合适当定义。解:( 1)F(x)在(-)内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数;(2)F(x)在( 0，)内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数;(3)F(x)在(-,0)内单调上升、连续且F( ,0)，若定义(x)F(：)则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。3.3 函数sinx是不是某个随机变数的分布密度？如果的取值范围为3(1)0,；(2)0,；( 3)0,2 2精品文档(1)当x 0,j时，sinx 0且o2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度;X(2)因为sinxdx=21，所以sinx不是随机变量的分布密度;03(3)当x ,时

53、，sinx 0，所以sinx2也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型?X2时，F1(X1)F,X2)，F2(XJ F2(X2)，于是F (x1) aF1(x1) bF2(x-i) aF1(x2) bF2(x2) F (x2)lim F(x) lim aF1(x) bF2(x)0XXlim F(x) limaF1(x) bF2(x) a b 1XXF(x 0) aF1(x 0) bF2(x 0) aF1(x) bF2(x) F(x)所以，F(x)也是分布函数。(3)P(a)1 P(a)1 2F(a)1 21 F(a)。3.5 设Fjx)与F2(X)都是分布函数,又

54、a 0, b0是两个常数，且a b 1。证明F(x)aF1(x) bF2(x)解:不是随机变量的分布密度。3.4设随机变数具有对称的分布密度函数p(x),即p(x)p( X),证明：对任意的a 0,有(1 )F(a) 1F(a)a0p(x)dx；(2)P(a) 2F(a) 1；(3)P(a) 21 F(a)。证：(1)F( a)ap(x)dx 1p(x)dxap(x)dxa1 p(x) dxF(a)p(x)dx(2)ap(x)dx0a0p(x)dx；ap(x)dxaa0p(x)dx，由(1)1-F(a)a0p(x)dx证：因为F,x)与F2(X)都是分布函数，当精品文档2lim F(x)A B

55、-1取a b，又令20 x0 R(x)彳 1 x 0这时F(x)显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值,也不是连续型的。3.6 设随机变数的分布函数为求相应的密度函数，并求P( 1)。解：1(1 x)eX xex，所以相应的密度函数为dx解：因为lim F(x) A B( -)0 x2F(x)1(1 x)exx 00 x 00 x0F2(x)x 0 x 11 x 10 x 01 x0 x 121x 1故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它3.7 设随机变数的分布函数为xxex0p(x)0 x0P( 1)F(1)12。e0 x0F(x)Ax20 x 11x1求常数A

56、及密度函数。解：因为F(10)F(1)，所以A1,密度函数为2x 0 x 1p(x)0 其它3.8 随机变数的分布函数为F(x)A Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。精品文档3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率(即用电量除以一万度)，它具有分布密度为3.9 已知随机变数 的分布函数为x0 x 1p(x) 2 x 1 x 20其它3.12在半径为 R,球心为 O 的球内任取一点 P,求0 x0ydy12x0 xx01解:F(x)12x12ydy1(2y)dy2x-x 1 12x21x2P(0.5)F (0.5)18P(1.3)1 P(1.3)1F(1.3)0.

57、245P(0.21.2)F(1.2)F(0.2)0.66(1)求相应的分布函数F (x)； 2.求P(3.10 确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。(1)p(x) Ae|x；(2) p( x)Acosx0(3)解:( 1)Ae%2A0e xdx2A 1 所以 A1；2(2)其它12Acosxdx 2A2cosxdx 2A 1，所以A=-；- 0 22Ax21 x 2p(x) Ax 2x30 其它2Ax2dx2Axdx29A 1,所以A629所以A1,B2因而1 1 1F(x) arctgx,P(x)F(X)0.5), P( 1.3), P(0.21.2)。oP的分布函数。精

58、品文档3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率(即用电量除以一万度)，它具有分布密度为解：当 0 x R时F(x)P(x)43(R)3所以F(x)0(R)31精品文档若该城市每天的供电量仅有 80 万度， 求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量因此，若该城市每天的供电量为80 万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90 万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。3.14设随机变数 服从（0，5）上的均匀分布，求方程24x24 x2 0有实根的概率。解：当且仅当(4 )216(2) 0（1）成立时，方程4x24 x20有实根。不等式（1）的解为：2或

59、1。因此，该方程有实根的概率513p P( 2) P( 1) P( 2)-dx -o255210-e22eQe2dy yp(x)12x(1 x)20 x 10 其它解:P( 0.8)；12x(1 x)2dx 0.0272 P(0.9)112x(1 x)2dx 0.00370.935(小时)x与a x之间的概率不小于0.9。解:(1)P(250) P(33001.43)=300P(-1.43)(1.43)0.9236；35x300（2）P(a xa x)P(3535xxx、()()2()10.93535353.17 某种电池的寿命服从正态N（a,2）分布，其中a 300（小时），（1）求电池寿命

60、在 250 小时以上的概率；（2）求x，使寿命在ax35即（）0.95所以35x1.65即x 57.75353.18 设（x）为N（0,1）分布的分布函数，证明当0时，有1x(x)4)x证:(x) 1-2e2dyy2e2dyx21eT(2 x90 万度又是怎样呢?精品文档F(x,y)求(，)的分布函数。解：当0 x -，0 y时,2 2F(x,y) P( x, y)1兰1所以1e2.112x3.21 证明：二元函数(X),2厂-4)。xlim F (xx 0 x, y)lim F(x, yy 0y)0=F(x, y)，x y 0时，lim F (xx,y)lim F(x, yy) 1=F(x,y)，x