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文档简介
1、鸡兔同笼、盈亏、平均数问题一、 知识地图二、 基础知识公元855年唐朝,我国举行最早的数学选拔赛,题目如下:一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。若每人分6匹,多5匹;每人分7匹,少8匹,问几个强盗?几匹布?(一) 鸡兔同笼问题1 假设全是鸡例如:鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?分析:假设全是鸡,则有2×46=92(足),而实际上是128足,少了128-92=36(足),为什么少了36足呢?因为我们把一只兔当作一只鸡来算时,就少算了2足,所以有36÷2=18(只)兔被我们当作鸡来算,所以有鸡46-18=28(只)。2 假设全是兔例如:鸡兔同笼,头共46,足共1
2、28,鸡兔各几只?分析:假设全是兔,则有4×46=184(足),而实际上是128足,多了184-128=56(足),为什么多了56足呢?因为我们把一只鸡当作一只兔来算时,就多算了2足,所以有56÷2=28(只)鸡被我们当作兔来算,所以有兔46-28=18(只)。3 “砍足法”例如: 鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?分析:假如砍去每只鸡、每只兔一半的足,则鸡就变成了“独脚鸡”,兔就变成了“双脚兔”,则鸡和兔足的总数就由128变成了64,而且有一只兔子,则足的总数就比头的总数多1,所以足的总数64与总头数46的差,就是兔子的只数,即644618(只),则鸡的只数就是
3、461828(只)。 (二) 盈亏问题盈亏问题,顾名思义有剩余就叫盈,不够分就叫亏,不同的方法分配物品时,经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化,我们把盈亏问题分为三类:“一盈一亏”、“两盈”、“两亏” 。1.“盈亏”型例如:学而思学校提高班的同学分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒则少6粒,问:有多少位同学分多少粒糖果?分析:为什么第一次多9粒,而第二次还少6粒呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了,还要再添6粒才够分,也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15(粒),那为什么会有这种变化产生呢?因为第二次比第
4、一次每人多分了5-4=1(粒),那么要分15粒,就需要有15÷1=15(人),共有15×4+9=69(粒)。2.“盈盈”型明明过生日,同学们给他买蛋糕,如果每人出8元,就多出了8元;每人出7元,就多出了4元。那么有多少个同学?蛋糕的价钱是多少?分析:为什么第一次多8元,第二次就只多4元了呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少出1元,也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱,总共退回了8-4=4(元),所以共有4÷1=4(人),蛋糕价钱是8×4824(元)。3.“亏亏”型学而思学校新近一批书,将它们分给几位老师,如果每人发10本,还差9本,每人
5、发9本,还差2本,请问有多少老师?多少本书?分析:为什么第一次差9本,第二次就只差2本了呢?因为两次分配数量不一样,第二次分配时每人少发1本,也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书,总共拿回了9-2=7(本)书,所以共有7÷1=7(人),书有7×10961(本)。(三) 平均数问题(1)平均数=总数÷参与平均的事物个数平均数增量=总数增量÷参与平均的事物个数平均数减量=总数减量÷参与平均的事物个数(2)平均数问题最基本的原理是“移多补少”几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大三、 经典透析【例1】 从前有座山,山里
6、有个庙,庙里有许多小和尚,两个小和尚用一根扁担一个桶抬水,一个小和尚用一根扁担两个桶挑水,共用了38根扁担和58个桶,那么有多少个小和尚抬水?多少个挑水?审题要点 鸡兔同笼问题,假设法详解过程 假设全是抬水,38根扁担应担38个桶,而实际上是58个桶,为什么少了58-38=20(个)桶呢?因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算211(个)桶,所以有20÷1=20(人)在挑水,抬水的扁担数是382018(根),抬水的人数是18×236人。专家点评:可以结合分析工具矩形图,来看鸡兔同笼问题:左图假设全是抬水: (58-38×1)÷(2-1)=20(根) 2
7、0(人)挑水(38 -20)×2=36(人) 36(人)抬水右图假设全是挑水: (38×2-58)÷(2-1)=18(根) 18×2=36(人)抬水 38-18=20(根) 20(人)挑水【例】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖, 儿童票的价格为30元,成人票的价格为40元,如果是团体还可以买平均32元一位的团体票,一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人,或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游,如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元,问这个旅游团一共有多少人? 审题要点 鸡兔同笼问题的变形题详解过程 每个三口之家可以少花30+40+4
8、0-32×3=14元,每个二口之家可以少花40+40-64=16元,如果这8个家庭都是三口之家,那么一共少花14×8=112元,所以这8个家庭中有(120-112)÷(16-14)=4个家庭是二口之家,所以这个旅游团一共有4×2+(8-4)×3=20人。专家点评:这道题,首先要考虑的是,怎么理解“少花120元”?跟单位少花情况有关,这里的单位:可以不同家庭为单位,也可以成人与小孩为单位。一方面,我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较,可以如题所解;另一方面,我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较,可以另解如下:8个家庭,成人必
9、有16人,则每个成人将“少花”40-32=8元。所以应该总共少花 16×8=128(元)而实际少花相差 128-120=8(元)是因为每个小孩多花了32-30=2(元)所以,8÷2=4(人) 小孩人数16+4=20(人)旅游团一共人数 还有一点值得强调的是,我们在使用假设法的过程中,所采用的比较思想非常重要,在一种证明方法反证法中,假设法会又一次充当主角。【例】蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只,共有110条腿和14对翅膀,每种小虫各有几只?审题要点 经典鸡兔同笼问题,用两次假设法详解过程 因为有三种动物,没有办法直
10、接用鸡兔同笼解,所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。我们先来看腿,发现蜻蜓和蝉有个共同点都是6条腿,那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起,分为两种动物:一种是6条腿,一种是8条腿。假设全是6条腿的,共有腿6×16=96(条),而实际上是110条,为什么少了110-96=14(条)腿呢?因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的,有一只蜘蛛就少算2条腿,所以有蜘蛛14÷2=7(只),所以蜻蜓和蝉有16-7=9(只);我们再来看翅膀: 假设这9只全是蜻蜓,则应该有9×2=18(对)翅膀,比实际多了18-14=4(对),所以有蝉4÷1=4(只),则蜻蜓9-4=5(只)
11、。专家点评:如果我们感觉这样的算术解法有点烦,不妨看看美丽的方程:设:蜘蛛有只,蜻蜓有y只,蝉有z只,得:(1)×6:(2)-(4):2=14=7代入(1)式:y+z=9(5)(3)-(5):y=5。代入(5)式:z=4。很多时候,我们发现清晰的等量关系,一定要用,从而可以减少“算理”的思考量,把这种思考量转嫁给方程演算。对于方程演算,不需要掌握太多的技巧,就能轻松把握。请参见本书第十九讲方程。【例】老师给同学们分苹果,每人分10个,就多出8个,每人分11个则正好分完,那么一共有多少名学生?多少个苹果?审题要点 盈亏问题详解过程 为什么第一次多8个,第二次不多也不少了呢?因为第二次每
12、人多分了1个,所以有8÷1=8(人),苹果8×10+8=88(个)。专家点评:请注意体会差量分析的应用。这是两种方案之间的差异,而假设法是实际与假设之间的差异,两者有着异曲同工之妙。【例】皮皮从家到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟;如果每分钟60米,就可以比上课时间提前2分钟到校,那么皮皮家距离学校多远?审题要点 需要转化条件的盈亏问题详解过程 根据题意,每分钟走50米,迟到3分钟,实际上就是还差50×3=150(米)到校;如果每分钟60米,提前2分钟到校,即到校后还可以多走60×2=120(米),第一次与第二次相差150+120270(米)
13、,也就是第二次比第一次多走了270米,所以皮皮从家到学校所用时间是270÷(60-50)=27(分钟),皮皮家到学校的距离是50×(27+3)=50×30=1500(米)。专家点评:两种方案,除了速度差,更要感受到路程差,从而看到,这里的数量关系,竟然就是追及关系。从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。数学是好玩的!【例】国庆节快到了,学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆5盆花,还有3盆没人摆;如果其中2人各摆4盆,其余的人各摆6盆,这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动,一共摆多少花盆?审题要点 需要转化条件的盈亏问题详解过程 我们可以把第二
14、个条件转化为如果每人摆6盆花,还缺4盆,那么就是简单的“一盈一亏”。人数: 3(64)×2÷(65)7(人),盆数:5×7338(盆)或6×7438(盆)。专家点评:转化思想似乎有点玄,为什么我一定会想到:“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花,还缺4盆”?答案在于,我们应该在大方向上有感觉,这道题“每人摆5盆,还有3盆没人摆;每人摆6盆,还”,“还”字后面的下文怎么接?接上了,转化成功!记住:转化的关键在于我需要什么样的条件!现有条件能否转化为我要的条件?【例】有四个数,每次去掉一个数,将其余三个数求平均数,这样算了四次,得下面四个数:36.4,47.8
15、,46.2,41.6,那么原来四个数的平均数是多少?审题要点 平均数问题详解过程 设这四个数分别为A、B、C、D,根据条件则有:所以专家点评实际上,本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分”,也可以换成“某四个小朋友称体重,每三个人称一次”,数量关系不变。这里要注意所求问题,不一定最后求平均数,也可能求这四个数各是多少。只要用四数总和与三数之和求差就行。【例】某次数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人,现在将一等奖中最后4人调整为二等奖,这样得二等奖的学生的平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多_分。审题要点 平均数增量详解过
16、程 第一眼看这样的图,可能有点不够清楚。别急,我们来慢慢欣赏!首先从总体来看,矩形横向长度表示人数,竖向长度表示平均分,面积表示总分。请注意一下:d与e分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分;而a表示一等奖后4名同学的平均分。b与c表示调整后一等奖与二等奖的平均分。我们要求的量是de之间的平均分之差!我们要想一想,为什么这么一调整,一等奖的平均分高上去了,同时二等奖的平均分也高上去了呢?原因在于:前6名的 cd之间的面积移补到一等奖后4名da之间的面积部分了。根据面积相等,长与宽成反比关系,可知:cd之间的高度差da之间的高度差=46=23即3da之间的平均分之差=23。所以 da之间的平均分
17、之差=4.5(分),也就是说,这是后4名现在从原来的d降了4.5分。同理,后4人ab之间的面积=20人be之间的面积;所以 ab之间的高度差be之间的高度差=204=51所以 ab之间的平均分之差1=51,ab之间的平均分之差=5(分)所以de之间的平均分之差为4.5+5+1=10.5(分)专家点评对于平均数增量问题,用矩形图,数形结合去分析,应该很舒服!要注意平均数问题最基本的原理是“移多补少”,另外要注意所要移补的是总量,而不是平均量。也就是平均分差量与人数的乘积。这段话请结合上面的图形和分析理解,重要!【例】设四个不同的正整数构成的数组中,最小的数与其余三数的平均值之和为17,而最大的数
18、与其余三数的平均值之和为29。在满足上述条件的所有数组中,其最大数的最大值是多少?审题要点 平均数与最值问题详解过程 设这四个数从大到小依次为a、b、c、d,根据题意有 。 ,用式减去式,得 ,即a-d=18,a=18+d。因为b、c 分别至少比d大2和1,由式得 7+2d17, d5。由此得a=18+d23。所以a的最大值23,且当a、b、c、d依次为23,7,6,5时符合题意。专家点评:这里的所谓平均数,直接应用为表示3个数的总和。这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路。另外,对于不等式的求解,建议大家在理解了方程的恒等关系后,一并了解方程的恒不等关系。不等式两边同时加上相同的数或者同时
19、减去相同的数,或者同时乘以相同的正整数或者同时除以相同的正整数,其不等关系不变。(原来是什么符号,不用变号)如果是乘以或者除以一个相同的负数,则符号正好变反。这到初中会常用到。例如:7+2d17,两边同减7,得:2d10,两边同除以2,得: d5。四、 拓展训练1. 鸡、兔共笼,鸡比兔多26只,足数共274只,问鸡、兔各几只?初级点拨 鸡兔同笼问题,假设法深度提示 设鸡与兔只数一样多全解过程 设鸡与兔只数一样多:274-2×26=222(只),每一对鸡、兔共有足:2+4=6(只),鸡兔共有对数(也就是兔子的只数):222÷6=37(对),则鸡有 37+26=63(只)。2.
20、 100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍。问:大、小和尚各有多少人?初级点拨 鸡兔同笼问题,假设法深度提示 将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿全解过程 本题即中国古算名题“百僧分馍问题”。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300140=160(个)。现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少31=2(个),因为160÷2=80,故小和尚有80人,大和尚有10080=20(人)。3. 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错
21、(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分?初级点拨 需要转化的鸡兔同笼问题,找相同点转化 深度提示 如果小明第一次测验24题全对全解过程 如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分)。那么第二次只做对30-24=6(题)得分是8×6-2×(15-6)=30(分)。两次相差120-30=90(分)。比题目中条件相差10分,多了80分。说明假设的第一次答对题数多了,要减少。第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对
22、增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16(分)。(90-10)÷(6+10)=5(题)。因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11(题)。第一次得分5×19-1×(24- 19)=90。第二次得分8×11-2×(15-11)=80。4. 学而思学校提高班的同学去划船。他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人;如果减少一条船,正好每条船坐9人。问:这个班共有多少同学? 初级点拨 盈亏问题,先增加一条船深度提示 先增加一条船,那么正好每条
23、船坐6人。然后去掉两条船,就会余下6×212(名)同学。全解过程 先增加一条船,那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船,就会余下6×212(名)同学。改为每条船9人,也就是说,每条船增加963(人),正好可以把余下的12名同学全部安排上去,所以现在还有12÷34(条)船,而全班同学的人数是9×436(人)。5. 学而思学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车,若每辆车乘28人则有13名同学上不了车,若每辆车乘32人则还有3个空座。问:有多少名同学?多少辆车?初级点拨 需要转化的盈亏问题,“每辆车乘28人则有13名同学上不了车”转化为盈还是亏呢?深度提示 已知若每
24、辆车乘28人则有13名同学上不了车,可转化为:每辆车乘28人多出13名同学;若每辆车乘32人则还有3个空座,可转化为:每辆车乘32人少3人。全解过程 这种类型的题目要将其中的一个条件转化,使之转化为基本的盈亏问题。已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车,可转化为:每辆车乘28人多出13名同学;若每辆车乘32人则还有3个空座,可转化为:每辆车乘32人少3人,问有多少名学生多少辆车?所以,车数:(13+3)÷(32-28)=4(辆),学生有:28×4+13=125(人)。6. 钢笔与圆珠笔每支相差1元2角,小明带的钱买5支钢笔差1元5角,买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱
25、?初级点拨 需要转化的盈亏问题,要么都转换成钢笔,要么都转换成圆珠笔。深度提示 都转换成钢笔;买5支钢笔差15角,买8支钢笔差(12×86)=90角,这是双亏:分差是8-5=3支,总差是90-15=75角,就是说多买3支,就多差75角;全解过程 此题的关键在于条件的转换,要么都转换成钢笔,要么都转换成圆珠笔。(法一)都转换成钢笔;买5支钢笔差15角,买8支钢笔差(12×86)=90角,这是双亏:分差是8-5=3支,总差是90-15=75角,就是说多买3支,就多差75角;这样就可求出1支钢笔多少钱;继而求出小明带了多少钱。 钢笔的价钱: (12×86)15÷
26、;(85)75÷325(角) 小明带的钱数:25×51512515110(角)11(元)(法二)都转换成圆珠笔;买5支圆珠笔多12×515=45角,买8支圆珠笔多6角。 圆珠笔的价钱(12×515)6÷(85)39÷313(角)小明带的钱数13×861046110(角)11(元)。7. 某一筐水果中有苹果和梨若干个。若每次拿出1个苹果和1个梨,则拿到没有苹果时,还剩下50个梨;若每次拿走1个苹果和3个梨,则拿到没有梨时,苹果还剩下50个。那么这筐水果共有 个。初级点拨 需要转化的盈亏问题深度提示 若每次拿走1个苹果和3个梨,则拿到没有梨时,苹果还剩下50个。由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走,梨还差50×3=150个,所以梨的个数比苹果多50个,比苹果的3倍少150个。全
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