一次函数相关的中考压轴题含分析和答案

1、一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。现举几例以一次函数为背景的中考 压轴题供同学们在中考复习时参考一.解答题(共 30 小题)1.在平面直角坐标系中， AOC 中，/ ACO=90 .把 A0 绕 0 点顺时针旋转 90 得 0B 连接 AB,作 BDL直线 CO 于 D,点 A 的坐标为(-3, 1).(1) 求直线 AB 的解析式；(2) 若 AB 中点为 M,连接 CM 动点 P、 Q 分别从 C 点出发， 点 P 沿射线 CM 以每 秒. 个单位长度的速度运动，点 Q 沿线段 CD 以每秒 1 个长度的速度向终点 D 运动, 当 Q 点运动到 D 点时，P、Q 同时停

2、止，设 PQO 的面积为 S (SM0),运动时间为 T 秒，求 S 与T 的函数关系式，并直接写出自变量 T 的取值范围；(3)在(2)的条件下，动点 P 在运动过程中，是否存在 P 点，使四边形以 P、O B、N (N 为平面上一点)为顶点的矩形？若存在，求出T 的值.2 .如图 1,已知直线 y=2x+2 与 y 轴、x 轴分别交于 A B 两点，以 B 为直角顶点 在第二象限作等腰 Rt ABCV1.A*BE邳V，0Jt(1) 求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式.(2)如图 2,直线 CB 交 y 轴于 E,在直线 CB 上取一点 D,连接 AD 若 AD=AC 求 证：BE

3、=DE(3)如图 3,在(1)的条件下，直线 AC 交 x 轴于 M, P (-兰，k)是线段 BC 上2一点，在线段 BM 上是否存在一点 N,使直线 PN 平分 BCM 的面积？若存在，请求 出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.3. 如图直线？： y=kx+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C,点 B 的坐标是(-8, 0)， 点 A 的坐标为(-6, 0)(1) 求 k 的值.(2) 若 P (x, y)是直线？在第二象限内一个动点，试写出厶 OPA 的面积 S 与 x 的 函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.(3) 当点 P 运动到什么位置时， OPA 的面积为 9,并说明

4、理由.4.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A (1, 0),点 B ( 3, 0),点匚(也),3直线 I 经过点 C,(1)若在 x 轴上方直线 I 上存在点 E 使厶 ABE 为等边三角形，求直线 I 所表达的 函数关系式；(2)若在 x 轴上方直线 I 上有且只有三个点能和 A、B 构成直角三角形，求直线 I 所表达的函数关系式；(3)若在 x 轴上方直线 I 上有且只有一个点在函数的图形上，求直线 I 所表 达的函数关系式.5. 如图 1,直线 y二-kx+6k ( k 0)与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B,且 AOB 的面积是24.(1) 求直线 AB 的解析式；(2)

5、如图 2,点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 OA- OB 运动；同时点 E 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正半轴运动，过点 E 作与 x 轴平 行的直线 I ,与线段 AB 相交于点 F,当点 P 与点 F 重合时，点 P、E 均停止运动.连 接 PE PF,设厶PEF 的面积为 S,点 P 运动的时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式， 并直接写出自变量 t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，过 P 作 x 轴的垂线，与直线 I 相交于点 M,连接 AM 当 tan / MAB=时，求 t 值.26首先，我们看两个问题的解答：问题 1:已知

6、x0,求的最小值.问题 2:已知 t 2,求 的最小值.II t-2 |问题 1 解答：对于 x0,我们有：買弓二（仮-单）2吃硏还当人弟，即尸用 时，上述不等式取等号，所以 -的最小值:-.问题 2 解答：令 x=t - 2,则 t=x+2，于是t2- 5t+9(x+2)2- 5K2-X433 |t-2_-Kf丄由问题 1 的解答知，站芒的最小值趴依，所以七 J 吮+9 的最小值是|2-1.xt_2弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b （k0, b 0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且使得厶 OAB 的面积值等于|OA|

7、+|OB|+3 .（1） 用 b 表示 k;（2） 求厶 AOB 面积的最小值.7 .如图，过点（1, 5）和（4, 2）两点的直线分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点.（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有 _个（请直接写出结果）；(2)设点 C (4, 0),点 C 关于直线 AB 的对称点为 D,请直接写出点 D 的坐标(3)如图，请在直线 AB 和 y 轴上分别找一点 M N 使厶 CMN 勺周长最短，在图 中作出图形，并求出点 N 的坐标.8 .如图，已知 AOCE 两个动点 B 同时在 D 的边上按逆时针方向 A

8、运动，幵始时点 F 在点FA 位置、点 Q 在点 0 位置，点 P 的运动速度为每秒 2 个单位，点 Q 的运动 速度为每秒 1个单位.(1) 在前 3 秒内，求 OPQ 的最大面积；(2)在前 10 秒内， 求 x 两点之间的最小距离，并求此时点P, Q 的坐标.9 .若直线 y=mx+8 和 y=nx+3 都经过 x 轴上一点 B,与 y 轴分别交于 A、C(1)_ 填空：写出 A、C 两点的坐标，A_ , C_;(2) 若/ ABO=ZCBO 求直线 AB 和 CB 的解析式；(3)在(2)的条件下若另一条直线过点 B,且交 y 轴于巳若厶 ABE 为等腰三角 形，写出直线 BE 的解析

9、式(只写结果).10. 如图，在平面直角坐标系中，0 是坐标原点，点 A 的坐标为(-4, 0),点 B 的坐标为(0,b) (b0) . P 是直线 AB 上的一个动点，作 PCLx轴，垂足为 C.记 点 P 关于 y 轴的对称点为 P(点 P不在 y 轴上)，连接 P P , PA, PC .设点 P 的横坐标为 a.(1) 当 b=3 时，求直线 AB 的解析式；(2)在(1)的条件下，若点 P的坐标是(-1, m),求 m 的值；(3)若点 P 在第一像限，是否存在 3,使厶 PCA 为等腰直角三角形？若存在，请 求出所有满足要求的 a 的值；若不存在，请说明理由.11. 如图，四边形

10、 OABC 为直角梯形，BC/ OA A (9, 0), C (0, 4), AB=5.点 M从点 O 出发以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动；点 N 从点 B 同时出发，以每 秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随 之停止运动(1) 求直线 AB 的解析式；(2) t 为何值时，直线 MN 将梯形 OABC 勺面积分成 1: 2 两部分；(3)当 t=1 时， 连接 AC MN交于点 P,在平面内是否存在点 Q 使得以点 N P、 A、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q 的坐标； 如果不存 在，请说明理由.12 .如图所示，

11、在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 6),点 B ( 8, 0),动点 P 从 A 幵始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动，同时动点 Q 从 B 幵始 在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设运动的时间为 t 秒.( 1 )求直线 AB 的解析式；(2)当 t 为何值时， APQ 与厶 ABO 相似？13.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P(x, y), PALx轴于点 A, PB 丄y轴于点 B, C (a, 0),点 E 在 y 轴上，点 D, F 在 x 轴上，AD=OB=2F,CEOAEF 的中线，AE 交 PB 于点 M,

12、- x+y=1.(1) 求点 D 的坐标；(2) 用含有 a 的式子表示点 P 的坐标；3)图中面积相等的三角形有几对？14 .如图，在直角坐标平面中，Rt ABC 的斜边 AB 在 x 轴上，直角顶点 C 在 y 轴的负半轴上，cos/ ABCW,点 P 在线段 OC 上，且POOC 的长是方程 X2- 15x+36=05的两根.(1) 求 P 点坐标；(2) 求 AP 的长；(3)在 x 轴上是否存在点 Q,使四边形 AQCP 是梯形？若存在，请求出直线 PQ 的 解析式；若不存在，请说明理由.15.已知函数 y 二(6+3m) x+ (n- 4).(1) 如果已知函数的图象与 y=3x

13、的图象平行，且经过点(-1，1)，先求该函数 图象的解析式，再求该函数的图象与 y=mx+n 的图象以及 y 轴围成的三角形面积；(2)如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P 到轴和轴的距离 都是 1,求出 m 和 n 的值，写出这两个函数的解析式；(3)点 Q 是 x 轴上的一点，0 是坐标原点，在(2)的条件下，如果 OPQ 是等腰 直角三角形，写出满足条件的点 Q 的坐标.16.如图，Rt OAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片， 点 O 与原点 重合，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OA 和 OC 是方程(3+运)我的制的两 根(OAOC，/CAO

14、=30，将 Rt OAC 折叠，使 OC 边落在 AC 边上，点 O 与点 D 重合，折痕为 CE(1)求线段 OA 和 OC 的长；(2)求点 D 的坐标;(3)设点 M 为直线 CE 上的一点，过点 M 作 AC 的平行线，交 y 轴于点 N,是否存在这样的点 M 使得以 M N D C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.17 .如图，在平面直角坐标系中，0 为坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴上， AOB为等腰三角形， 且 OA=OB过点 B作 y轴的垂线， 垂足为 D,直线 AB的解析式为 y= - 3x+30，点 C 在线段

15、BD 上，点 D 关于直线 0C 的对称点在腰 0B 上.(1) 求点 B 坐标；(2) 点 P 沿折线 BC- 0C 以每秒 1 个单位的速度运动，当一点停止运动时，另一 点也随之停止运动.设厶 PQC 的面积为 S，运动时间为 t，求 S 与 t 的函数关系式， 并写出自变量 t 的取值范围；(3) 在(2)的条件下，连接 PQ 设 PQ 与 0B 所成的锐角为a,当a=90-/ AOB 时，求 t值.(参考数据：在(3)中，取二.)518 .如图，在平面直角坐标系中，直线I 经过点 A ( 2，- 3)，与 x 轴交于点 B，且与直线了：丄平行.3(1)求：直线 I 的函数解析式及点 B

16、 的坐标；(2)如直线l上有一点M(a，-6)，过点M作x轴的垂线，交直线于点N,在线段 MN求一点 P，使APAB 是直角三角形，请求出点 P 的坐标.19. 已知如图，直线 y= - . -；x+4 二与 x 轴相交于点 A，与直线 y=;；x 相交于点 P.(1)求点 P 的坐标；(2)求 Ss 的值;(3)动点 E 从原点 0 出发，沿着P-A的路线向点 A 匀速运动(E 不与点O A重合)，过点 E 分别作 EFix轴于 F, EB 丄y轴于 B.设运动 t 秒时，F 的坐标为(a,0),矩形 EBOAOPA 重叠部分的面积为 S.求：S 与 a 之间的函数关系式.20. 如图，在平

17、面直角坐标系中，点 A (2, 0), C (0, 1),以OAOC 为边在第一 象限内作矩形 OABC 点 D (x, 0) (x 0),以 BD 为斜边在 BD 上方做等腰直角三 角形 BDM 作直线MA 交 y 轴于点 N,连接 ND(1) 求证：A、B、M D 四点在同一圆周上；ON=O；(2) 若 Ovx 0 时，若点（10, 10）落在正方形 PQM 的内部，求 t 的取值范围.23 .直线 I : y=-上 x+3 分别交 x 轴、y 轴于 B、A 两点，等腰直角 CDM 斜边落在 x 4轴上，且 CD=6 如图 1 所示.若直线 I 以每秒 3 个单位向上作匀速平移运动，同 时

18、点 C 从（6, 0）幵始以每秒 2 个单位的速度向右作匀速平移运动，如图2 所示，设移动后直线 I 运动后分别交 x 轴、y 轴于 Q P 两点，以 OP OQ 为边作如图矩形 OPRQ设运动时间为 t 秒.（1） 求运动后点 M 点 Q 的坐标（用含 t 的代数式表示）;（2） 若设矩形 OPRQf 运动后的厶 CDM 的重叠部分面积为 S,求 S 与 t 的函数关系 式，并写出 t 相应的取值范围；（3） 若直线 I 和厶 CDM 运动后，直线 I 上存在点 T 使/ OTC=90，则当在线段 PQ 上符合条件的点 T 有且只有两个时，求 t 的取值范围.24.如图，将边长为 4 的正方

19、形置于平面直角坐标系第一象限，使AB 边落在 x 轴正半轴上，且 A 点的坐标是（1，0）.（1） 直线 产半崑- 经过点 C,且与 x 轴交于点 E，求四边形 AECD 勺面积；JJ（2） 若直线 I 经过点 E,且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分， 求直线 I 的解 析式；（3） 若直线 I1经过点 F （-弓，0）且与直线 y=3x 平行.将（2）中直线 I 沿着 y 轴向上平移 1 个单位，交 x 轴于点 M 交直线 I1于点汕求厶 NMF 的面积.25 .如图，直线 li的解析表达式为：y= - 3x+3，且 Ii与 x 轴交于点 D,直线 l2经过点 A，B,直线 I1,

20、I2交于点 C.(1) 求直线 I2的解析表达式；(2) 求厶 ADC 的面积；(3) 在直线 I2上存在异于点 C 的另一点 P,使得 ADP 与厶 ADC 的面积相等，求 出点 P的坐标；(4)若点 H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 H,使以 A、 D、C、H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存 在，请说明理由.26.如图，直线 y=2x+6 与 x 轴、y 轴分别相交于点 E、F,点 A 的坐标为(-6,0),4P (x, y)是直线 y=#x+6 上一个动点.4(1) 在点 P 运动过程中，试写出厶 OPA 的面积 s 与 x 的

21、函数关系式；(2) 当 P 运动到什么位置， OPA 的面积为，求出此时点 P 的坐标；(3)过 P 作 EF 的垂线分别交 x 轴、y 轴于 C D.是否存在这样的点 P,使FOE 若存在，直接写出此时点P 的坐标(不要求写解答过程)；若不存在，请说明理由.27 .如图， 在平面直角坐标系中， 直线 AB 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,与 直线 OC y=x交于点 C.(1)若直线 AB 解析式为 y= - 2x+12,1求点 C 的坐标；2求 OAC 的面积.(2)如图，作/ AOC 的平分线 ON 若 AB 丄 ON 垂足为 E,AOAC 的面积为 6,且OA=4 P、Q

22、分别为线段OAOE 上的动点，连接 AQ 与 PQ 试探索 AQ+PQ 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.28.已知直角梯形 OAB(在如图所示的平面直角坐标系中，AB/ OC AB=10 OC=22 BC=15动点 M 从 A 点出发，以每秒一个单位长度的速度沿 AB 向点 B 运动，同时 动点 N 从 C 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 CO 向 O 点运动.当其中一个动 点运动到终点时，两个动点都停止运动.(1) 求 B 点坐标；(2) 设运动时间为 t 秒；1当 t 为何值时，四边形 OAM 的面积是梯形 OABCW积的一半；2当 t 为何值时，四边形

23、 OAMN 的面积最小，并求出最小面积；3若另有一动点 P,在点 M N运动的同时， 也从点 A出发沿 AO运动.在的条件 下， PM+P啲长度也刚好最小，求动点 P 的速度.29 .如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线 AP 交 x 轴于点 P (p，0)，交 y 轴于点A(0， a)，且 a、b 满足J旦+扌(p+i )2=Q.(1) 求直线 AP 的解析式；(2) 如图 1,点 P 关于 y 轴的对称点为 Q R(0, 2)，点 S 在直线 AQ 上,且 SR=SA 求直线 RS 的解析式和点 S 的坐标；(3) 如图 2,点 B (- 2, b)为直线 AP 上一点，以 AB 为斜

24、边作等腰直角三角形 ABC 点 C在第一象限，D 为线段 OP 上一动点，连接 DC 以 DC 为直角边，点 D 为直角顶点作等腰三角形 DCE EF 丄X轴，F 为垂足，下列结论：2DP+EF 的值不变;的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其| 2DP定值.30.如图，已知直线 li： y= - x+2 与直线 I2： y=2x+8 相交于点 F, I1、12分别交 x 轴于点E、G,矩形 ABCD 顶点 C D 分别在直线 Ii、12，顶点 A、B 都在 x 轴上，且 点 B 与点 G 重合.(1) 求点 F 的坐标和/ GEF 的度数；(2) 求矩形 ABCD 勺

25、边 DC 与 BC 的长；(3) 若矩形 ABCD 从原地出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移， 设移动时间为 t (0t 6)秒，矩形 ABCDAGEF 重叠部分的面积为 s，求 s 关 于 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围.答案与评分标准一.解答题(共 30 小题)1.在平面直角坐标系中， AOC 中，/ ACO=90 .把 A0 绕 0 点顺时针旋转 90 得 OB 连接 AB,作 BDL 直线 CO 于 D,点 A 的坐标为(-3，1).(1) 求直线 AB 的解析式；(2) 若 AB 中点为 M,连接 CM 动点 P、Q 分别从 C 点出发，点 P 沿

26、射线 CM 以每 秒个单位长度的速度运动，点 Q 沿线段 CD 以每秒 1 个长度的速度向终点 D 运动, 当 Q 点运动到 D 点时，P、Q 同时停止，设 PQO 的面积为 S (SM0),运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围；(3)在(2)的条件下，动点 P 在运动过程中，是否存在 P 点，使四边形以 P、O B、N (N 为平面上一点)为顶点的矩形？若存在，求出T 的值.考点：一次函数综合题。分析：(1)先求出点 B 的坐标，再代入一次函数的解析式即可；(2)根据 AB 中点为 M 求出点 M 的坐标，再求出 CM 的解析式，过点 P 做PH

27、LCO交CO 于点 H,用 t 表示出 0Q 和 PH 的长，根据 S=OQ?PH!卩可求出 S 与 T 的函数关2系式；(3) 此题需分四种情况分别求出 T 的值即可.解答：解：(1)vZAOB=90，/ AOC BOC=90/ BOD=90，/ OBD BOD=90，/ AOC= BODvOA=OBAOC= BOD=90，AOC OBD AC=OD CO=BDvA(-3，1)， AC=OC=1 OC=BD=3-B ( 1, 3)，y 二丄 x+上；y22?(2) M(- 1, 2)，C (- 3, 0)，.直线 MC 的解析式为：y=x+3/ MCO=4，过点 P 做 PHI CO 交 C

28、O 于点 H,S=OQ?PH=(3-t) Xt 二丄 t24t(Ovtv3)2 2 22或 S 二丄(t-3)t 二二 t2上 t(3vt4);2 22(3) tl二上,t2二二,t3=, t4=2.点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要注意分类讨论，关键是能用t表示出线段的长度求出解析式.2 .如图 1,已知直线 y=2x+2 与 y 轴、x 轴分别交于 A B 两点，以 B 为直角顶点在第二象限作等腰 Rt ABCVI.A*B1E卸fv ，S30Jt(1) 求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式.(2) 如图 2,直线 CB 交 y 轴于 E，在直线 CB 上取一点 D,连接

29、AD，若 AD=AC 求 证：BE=DE(3)如图 3,在(1)的条件下，直线 AC 交 x 轴于 M, P ( -k)是线段 BC 上 一点，在线段 BM 上是否存在一点 N,使直线 PN 平分 BCM 的面积？若存在，请求 出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.考点：一次函数综合题。分析：(1)如图 1,作 CQLx轴，垂足为 Q,利用等腰直角三角形的性质证明 AB3ABCQ 根据全等三角形的性质求 OQ CQ 的长，确定 C 点坐标；(2) 同(1)的方法证明 BCHABDF 再根据线段的相等关系证明 BOEADGE 得出结论；(3) 依题意确定 P 点坐标，可知 BPN 中 BN 变上

30、的高，再由SPBN=：SABCM求 BN,进而得出 ON解答：解：（1）如图 1,作 CQLx轴，垂足为 Q,/ OBA#OAB=90，/OBAFQBC=90,/ OAB# QBC又 AB=BC# AOB# Q=90 ,ABOA BCQ BQ=AO=2 OQ=BQ+BO=3CQ=OB=1C (- 3, 1), 由 A (0, 2), C (- 3, 1)可知，直线 AC: y 吕 x+2;(2) 如图 2,作 CHLx轴于 H, DF 丄x轴于 F, DGLy轴于 G, AC=AD AB 丄 CB BC=BDBCHA BDF BF=BH=2 OF=OB=,1 DG=OBBOEA DGE BE

31、二 DE(3) 如图 3,直线 BC: y=-gx-., P (-弓，k)是线段 BC 上一点,-P (- T由 y 二丄 x+2 知 M(- 6, 0),3-BM=5 贝 9SABCM=7 假设存在点 N 使直线 PN 平分 BCM 的面积,贝 y 二 BN?；二丄XJJ,3122BN, ONd,33 BN 0)与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B,且 AOB 的面积是 24.(1) 求直线 AB 的解析式；(2) 如图 2,点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 OA- OB 运动；同时 点 E从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正半轴运动，过点 E 作与

32、x 轴平 行的直线 I ,与线段 AB 相交于点 F， 当点 P 与点 F 重合时， 点 P、 E 均停止运动.连 接 PE PF,设厶 PEF的面积为 S，点 P 运动的时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式， 并直接写出自变量 t 的取值范围；(3) 在(2)的条件下，过 P 作 x 轴的垂线，与直线 I 相交于点 M,连接 AM 当 tan / MAB=时，求 t 值.考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；相似三 角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。分析：(1)根据 x=0 时，y=6k, y=0 时，x=6,得出 OB=6k OA=6 再利用SAAOB

33、=24,求出即可；(2)根据当点 P 在 OA 上运动时，0vt 0);令 y=0 时，x=6， OB=6k OA=6SAO=24，二J，解得;一，AB 的解析式为 尸-吕紆呂；(2)根据题意，0E二t，EF/ OABEFABOA餌工(8 -十)，4当点 P 在 0A 上运动时，Ovt 0,求丄的最小值.2 问题 2:已知 t 2,求 的最小值.t - 2问题 1 解答：对于 x 0,我们有:朋二仏-书)2吃、沪还当低二书，即 时，上述不等式取等号，所以.一的最小值 I.;.问题 2 解答：令 x=t - 2，则 t=x+2，于是t5t 十 9(x+2)一 5 (x+2)+9_x+33n-z

34、=11 t_2xxx由问题 1 的解答知，汁命勺最小值刘 1，所以点一阮+9的最小值是 2 仮-1 .xt - 2弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b (k0，b 0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且使得厶 OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3 .(1) 用 b 表示 k;(2) 求厶 AOB 面积的最小值.考点：一次函数综合题。分析：(1)用 k 和 b 表示出三角形的直角边的长，从而表示出面积，和OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3 列成方程，用 b 表示 k.(2)设 x=b- 2,则 b=x+2,根据题

35、干中第二问所给的解答过程得到提示，配方后求得 x 成立时的最小值.解答：解：(1)当 x=0 时，y=b;当 y=0 时,x=所以 |0A|= , |OB|=b .SMAEF_|OA|?|OB|=人.:_J+b+3,2k k =b+3, k=12k2b+6上述不等式等号在 x= I I I 时成立.故AOAB 面积最小值是 7+2 in.点评：本题考查一次函数的综合运用，以及活学活用的能力，和配方法求最值的 情况.7 .如图，过点(1, 5)和(4, 2)两点的直线分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点.(1) 如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.图中阴影部分(不包括边界

36、)所含格点的个数有10 个(请直接写出结果)；(2) 设点 C( 4, 0),点 C 关于直线 AB 的对称点为 D,请直接写出点 D 的坐标(6,(3)如图，请在直线 AB 和 y 轴上分别找一点 M N 使厶 CMN 勺周长最短，在图中作出图形，并求出点 N 的坐标.(2)b2= b2(2b+6)=b2+3b九2 (b?-2b)b-2SOAB=设 x=b - 2,贝 y b=x+2.=x+7+7+2 一 i 7+2|II.考点 ：一次函数综合题。分析：（1）先利用待定系数法求得直线 AB 的解析式为 y二-x+6;再分别把 x=2、3、4、 5 代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分

37、（不包括边界）所含格点 的坐标;（2） 首先根据直线 AB 的解析式可知 OAB 是等腰直角三角形，然后根据轴对称的 性质即可求出点 D 的坐标；（3） 作出点 C 关于直线 y 轴的对称点 E,连接 DE 交 AB 于点 M 交 y 轴于点 N 则 此时 CMN 勺周长最短.由 DE 两点的坐标利用待定系数法求出直线 DE 的解析式， 再根据y 轴上点的坐标特征，即可求出点 N 的坐标.解答：解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,把（ 1 ， 5），（ 4， 2）代入得，kx+b=5， 4k+b=2，解得 k= - 1, b=6,直线 AB 的解析式为 y= - x+6;当 x=

38、2， y=4；当 x=3， y=3；当 x=4， y=2；当 x=5， y=1 .图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：（1， 1），（1， 2），（1， 3），（1， 4），（2， 1），（2， 2），（2， 3），3， 1），（3， 2），(4, 1).一共 10 个；(2)1直线y- x+6 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，A 点坐标为(6, 0), B 点坐标为(0, 6),0A=0B=6 / OAB=45 .点 C 关于直线 AB 的对称点为 D,点 C (4, 0), AD二AC=2AB 丄 CD/ DABMCAB=45,/ DAC=90 ,点 D 的坐标为(6, 2);(

39、3) 作出点 C 关于直线 y 轴的对称点 E,连接 DE 交 AB 于点 M 交 y 轴于点 N 则NC=NE 点 E (- 4, 0).又点 C 关于直线 AB 的对称点为 D,CM=D, CMN 的周长二CM+MN+NC二DM+MN+NE=DE 周长最短.设直线 DE 的解析式为 y=mx+n.把 D (6, 2), E (- 4, 0)代入，得6m+n=2 - 4m+n=Q解得 m,n=?,直线 DE 的解析式为 y-x-.令 x=0，得 y 二上,点 N 的坐标为(0,丄).5故答案为 10; (6, 2).点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐 标的

40、确定方法，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一定难度.8.如图，已知 AOCE 两个动点 B 同时在 D 的边上按逆时针方向 A 运动，幵始时点 F 在点FA 位置、点 Q 在点 O 位置，点 P 的运动速度为每秒 2 个单位，点 Q 的运动 速度为每秒1 个单位.(1) 在前 3 秒内，求 OPQ 的最大面积；(2)在前 10 秒内，求 x 两点之间的最小距离，并求此时点 P, Q 的坐标.考点：一次函数综合题；三角形的面积。专题：动点型。分析：(1)由于 A (8，0)，B (0，6)，得出 OB=6 OA=8 AB=10.根据在前 3 秒 内，点 P在 OB 上，点 Q

41、在 OA 上，设经过 t 秒，利用 OPQ 的面积 A=OP?OQ出2即可；(2)根据在前 10 秒内，点 P 从 B 幵始，经过点 O,点 A，最后到达 AB 上，经过 的总路程为 20;点 Q 从 O 幵始，经过点 A,最后也到达 AB 上,经过的总路程为 10.其 中 P, Q 两点在某一位置重合，最小距离为 0.设在某一位置重合，最小距离为 0.设 经过 t 秒，点 Q 被点 P “追及”(两点重合)，得出在前 10 秒内，P, Q 两点的最 小距离为 0,点 P, Q 的相应坐标.解答：解：(1) A (8, 0), B (0, 6),OB=6 OA=8 AB=10在前 3 秒内，点

42、 P 在 OB 上，点 Q 在 OA 上, 设经过 t 秒，点 P, Q 位置如图.则 OP=6- 2t , OQ=t OPC 的面积 A=OP?OQ二t(3- t),2当 t=时，Sma=.(2)在前 10 秒内，点 P 从 B 幵始，经过点 O,点 A,最后到达 AB 上，经过的总 路程为 20；点 Q 从 O 幵始，经点 A,最后也到达 AB 上，经过的总路程为 10，其中 P，Q 两点在某一位置重合，最小距离为0.设在某一位置重合，最小距离为 0.设经过 t 秒，点 Q 被 P 点“追及”(两点重合)，则 2t=t+6， t=6，在前 10 秒内，P, Q 两点的最小距离为 0,点 P

43、，Q 的相应坐标都为(6, 0). 点评：此题主要考查了一次函数的综合应用，把动点问题与实际相结合有一定的 难度，解答此题的关键是分别画出 t 在不同阶段 Q 的位置图，结合相应的图形解 答.9 .若直线 y=mx+8 和 y=nx+3 都经过 x 轴上一点 B,与 y 轴分别交于 A、C(1) 填空：写出 A、C 两点的坐标，A ( 0, 8), C (0, 3);(2) 若/ ABO=ZCBO 求直线 AB 和 CB 的解析式；(3) 在(2)的条件下若另一条直线过点 B,且交 y 轴于巳若厶 ABE 为等腰三角 形，写出直线 BE 的解析式(只写结果).考点：一次函数综合题。分析：(1)

44、由两条直线解析式直接求出AC 两点坐标;（2） 由直线 y 二 mx+8 得 B（-蛍0）,即 OB=，而 AO=8 利用勾股定理求 AB,根n|rr据角平分线性质得比例求 m 的值，再根据直线 BC 与 x 轴的交点为 B 求 n 即可；（3） 根据（2）的条件，分别以A B为圆心，AB 长为半径画弧与 y 轴相交，作AB 的垂直平分线与 y 轴相交，分别求交点坐标.解答：解：（1）由直线 y=mx+8 和 y=nx+3 得 A （ 0，8），C （0，3），故答案为：（0，8），（0，3）;又 AO=8/ ABO=ZCBO.丄 4，即 24 |- =5，BO OC丄 rIT解得 m=，又由

45、 y=nx+3 经过点 B,得-丄二-丄，解得 n 十，n| nJ 2.直线 AB: y 二空 x+8，直线 CB yx+3;32(3)由(2)可知 OB=6八=10,当厶 ABE 为等腰三角形时,点评：本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据题意求出点的坐标，根据图 形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式.10.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A的坐标为（-4, 0）,点 B的坐标为（0, b） （b0） . P 是直线 AB 上的一个动点，作 PCLx 轴，垂足为 C.记 点 P关于 y 轴的对称点为 P（点 P不在 y 轴上），连接 P P , PA, PC .设点

46、P 的横坐标为 a.（2）令直线 y=mx+8 中 y=0，得 B （-左0），即 OB=，直线 BE 的解析式为:y=3x+18 或 y 二2 或 y=（1） 当 b=3 时，求直线 AB 的解析式；（2） 在（1）的条件下，若点 P的坐标是（-1, m）,求 m 的值；（3） 若点 P 在第一像限，是否存在 3,使厶 PCA 为等腰直角三角形？若存在，请 求出所有满足要求的 a 的值；若不存在，请说明理由.考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形。专题：存在型。分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2） 把（-1，m）代入函数

47、解析式即可求得 m 的值；可以证明厶 PP ACD 根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；（3） 点 P 在第一像限，若使 PCA 为等腰直角三角则/ AP C=90 或/ P AC=90 或/ P CA=90 就三种情况分别讨论求出出所有满足要求的a 的值即可.解答：解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+3，把 x= - 4，y=0 代入得：-4k+3=0，-k=；k=【，直线的解析式是：yx+3，4由已知得点 P 的坐标是（1, m），mx1+3二-!；44 (2)vPP/AC PP ACD一_=_a+4 3?a=(3)当点 P 在第一象限时,1） 若/ APC=90, P A

48、=P C （如图 1）过点 P作PrHx轴于点 H. PP二CH二AH=PH二二AC2a （a+4）,a 二一,32） 若/ P AC=90 , P A=C则PP=AC2a=a+4,a=4,3)若/ P CA=90 ,则点 P，P 都在第一象限内，这与条件矛盾. P CA 不可能是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形.所有满足条件的 a 的值为 a=4 或半.3点评：本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是(3)中，要根据 P 点的不同位置进行分类求解.11. 如图，四边形 OABC 为直角梯形，BC/ OA A (9, 0) , C (0 , 4),

49、AB=5.点 M从点 O 出发以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动；点 N 从点 B 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随 之停止运动(1) 求直线 AB 的解析式；(2) t 为何值时，直线 MN 将梯形 OABC 的面积分成 1: 2 两部分；(3)当t=1时， 连接AC MN交于点 P,在平面内是否存在点 Q 使得以点 N P、 A、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由考点 ：一次函数综合题。分析：(1)作 BDL0A 于点 D,利用勾股定理求出 AD 的值，从而求出 B 点的坐

50、标， 利用待定系数法求出直线 AB 的解析式；( 2)梯形面积分为 1： 2 的两部分，要注意分两种去情况进行分别计算，利用面 积比建立等量关系求出 t 的值(3) M N 两点的坐标求出 MN 的解析式和 AC 的解析式，利用直线与方程组的关系 求出P 点坐标，利用三角形全等求出 Q Q 的坐标，求出直线 Q1P QN 的解析式， 再求出其交点坐标就是 Q2 的坐标.解答：解：(1)作 BD 0A 于点 D. BD=4 AB=5由勾股定理得 AD=30D=6-B ( 6, 4)设直线 AB 的解析式为：y=kx+b，由题意得(2)设 t 秒后直线 MN 各梯形 OABC 勺面积分成 1: 2

51、 两部分，则BN=t, CN=6- t，OM=2，MA=9- 2t解得：t= - 1 (舍去) t=4 时，直线 MN 将梯形 OABC 勺面积分成 1: 2 两部分.(3)存在满足条件的 Q 点，如图：Q (9.5 , 2), Q (8.5，- 2), Q (0.5 , 6). 点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式， 图形的面积，直线的解析式与二元一次方程组的关系，勾股定理及三角形全等的 性质的运用.12 .如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，6)，点 B ( 8, 0)，动点 P 从 A 幵始在线段 A0 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 0

52、运动，同时动点 Q 从 B 幵始 在线段 BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设运动的时间为 t 秒.(1) 求直线 AB 的解析式；(2) 当 t 为何值时， APQ 与厶 ABO 相似？直线 AB 的解析式为:4.尸S四边形OMNCS四边形NMA=1 :解得:当S四边形OMNCS四边形NMA=2：解得 t=4考点：一次函数综合题。分析：(1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，解得 k, b 即可;(2)由 AO=6 B0=8 得 AB=1Q 当/APQHAOB 时， APQAAOB 利用其对应边成比例解 t.当/AQPHAOB 时， AQMAAOB 利用其对应边成比例解

53、得 t .解答：解：(1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b由题意，得JL，解得r 3，i b=6所以，直线 AB 的解析式为尸上 x+6;(2)由 A0=6 B0=8 得 AB=1Q所以 AP=t, AQ=10- 2t ,当/AQPMAOB 时， AQMAAOB点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直 角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题.13.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P(x，y)，PALx轴于点 A, PB 丄轴于点 B，C (a，0)，点 E 在 y 轴上，点 D, F 在 x 轴上，AD=OB=2F,CEOAEF 的中-10-

54、2t106所以解得 t 二黑(秒);丄当/APQMAOB 时， AP3AAOB 所以：-6解得 t=301110(秒)，线，AE 交 PB 于点 M, - x+y=1.(1)求点 D 的坐标；(2)用含有 a 的式子表示点 P 的坐标;(3)图中面积相等的三角形有几对?考点：一次函数综合题；列代数式；点的坐标；三角形的面积。分析：（1）根据 P 点坐标得出 A, B 两点坐标，进而求出-x+y二DO,即可得出 DO 的长，即可得出 D 点坐标；（2） 利用 C 点坐标得出 CO 的长，进而得出 y 与 a 的关系式，即可得出 P 点坐标;（3） 利用三角形面积公式以及 AO 与 FO 的关系，

55、进而得出等底等高的三角形.解答：解：（1）vP （x，y），PALx轴于点 A, PB 丄y轴于点 B， A （x，0），B （0，y），即：OA=- x， BO=- y， AD=BO- x - DO=- y，i-x+y=DQ又T-x+y=1，OD=1 即:点 D 的坐标为(-1, 0).(2)TEO 是厶 AEF 的中线，二 AO=OF- x， OF+FC二CO又 OB=2FC- y，OC=a又- x+y=1，x=沪-a，2-2a-2a-l3(3)图中面积相等的三角形有 3 对,分别是： AEO 与厶 FEO AMgAFBO OME-与 FBE点评：此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求

56、法和坐标系中点的坐标与 线段长度关系，根据已知得出 上 y=1 - a 是解题关键.214 .如图，在直角坐标平面中，Rt ABC 的斜边 AB 在 x 轴上，直角顶点 C 在 y 轴 的负半轴上，cos/ ABCW，点 P 在线段 OC 上，且 PO OC 的长是方程 X2- 15x+36=0 的两根.(1) 求 P 点坐标；(2) 求 AP 的长；(3)在 x轴上是否存在点 Q,使四边形 AQCP 是梯形？若存在，请求出直线PQ 的解析式；若不存在，请说明理由.考点：一次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解 析式；勾股定理；平行线分线段成比例；解直角三角形。分析：

57、(1)通过解方程 x2- 15x+36=0,得 OR 0C 的长度，即可推出 P 点的坐标，(2)根据直角三角形的性质，推出 Cos/ ABC二Cos/ ACO，结合已知条件即匚AC可推出 AP 的长度，(3)首先设出 Q 点的坐标，然后根据 丰二三，即可求出 OQ 勺长 度，即可得 Q 点的坐标，然后根据 P 和 Q 点的坐标即可推出直线 PQ 的解析式.解答：解：(1)vPO OC 的长是方程 x2- 15x+36=0 的两根，OC PQ PO=3 OC=12(2 分) P ( 0，- 3) (2 分)2- 2a3);(2)在 Rt OBC 与 Rt AOC 中, cos/ ABC二cos

58、/ ACO -(1 分)AC 5设 C0=4K AC=5K 二 CO=4K=12K=3 AO=3K=9 A (- 9, 0) (2 分)AP=丨 I 一 n( i 分)(3)设在 x 轴上存在点 Q( x, 0)使四边形 AQCP 是梯形，则 AP/ CQ 仝二丄，OQ OCvOA=9OP=3OC=12OQ=36 则 Q (- 36 , 0) (2 分)，-设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b ,将点 P( 0, - 3), Q(- 36 , 0)代入，得.0= 一 36k+b所求直线 PQ 的解析式为 y=-丄 x- 3 (2 分)12点评：本题主要考查解整式方程、解直角三角形、勾股定理、

59、平行线的相关性质、求一次函数解析式，关键在于确定 P 点的坐标；根据解直角三角形求得 AP 的长度; 根据平行线的性质，确定 OQ 的长度，确定 Q 点的坐标.15. 已知函数 y= (6+3m x+ (n- 4).(1) 如果已知函数的图象与 y=3x 的图象平行，且经过点(-1, 1),先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n 的图象以及 y 轴围成的三角形面积；(2)如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P 到轴和轴的距离都是 1,求出 m 和 n 的值，写出这两个函数的解析式；(3) 点 Q 是 x 轴上的一点，O 是坐标原点，在(2)的条件下，如果 OPQ

60、是等腰直角三角形，写出满足条件的点 Q 的坐标.考点：一次函数综合题；反比例函数与一次函数的交点问题。分析：（1）根据所给的条件求出 m n 的值，然后确定这两条直线，求出它们与y轴的交点坐标，以及这两条直线的交点坐标，从而求出面积.（2） 根据正比例函数可求出 n 的值，以及根据 P 点坐标的情况，确定函数式，P点的坐标有两种情况.（3） 等腰三角形的性质，有两边相等的三角形是等腰三角形，根据此可确定Q 的坐标.解答：解：（1）据题意得 6+3m=3 解得 m=-1 把 x= - 1，y=1 代入 y=3x+n - 4 得 n=8 （1分） 二已知函数为 y=3x+4 当 x=0 时 y=4