专题跟踪训练18

1、专题跟踪训练（十八）一、选择题1. （2018长郡中学摸底）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4 + ai2 a8 = 8, aio a = 4,贝卩 223=（）A. 23 B. 96 C. 224 D. 276解析设等差数列an的公差为d,依题意得a4+ a12-a8= 2a$a8= a8 = 8, a10- a6= 4d= 4,解得 d = 1,所以 a8 = + 7d = a + 723X 22 丄=8,解得 a1 = 1,所以 S23 = 23X 1 +2 x 1 = 276,故选 D.答案D2. 已知数列an为等比数列，且a1 + 1, a3 + 4, a5 + 7成等差数列，

2、贝卩公差d为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解析设an的公比为q,由题意得2（a3 + 4） = a + 1 + a5+ 7? 2a3= a + a5? 2q? = 1+ q°? q? = 1，即卩 a = a3, d = a3 + 4 （a +1） = 4 -1 = 3,故选 B.答案B3. 等比数列an中，已知 a1 + a3 = 8, 85+ a7= 4,则 a? + a“ + a+ a15的值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5解析因为an为等比数列，所以a5 + a7是a + a?与a?+ a“的等比中项,所以 5 + a7)= (ai + a3)(a9

3、+ an),(a5 + a7 f42故 a9 + aii= "8 = 2;ai + a3冋理，a9 + aii是a5 + a7与ai3 + ai5的等比中项，22(ag + aii)22所以(ag + aii) = (a5 + a7)(ai3 + ai5),故 ai3 + ai5=広a5 + a7i所以 ag+aii + ai3 + ai5= 2+ i = 3,故选 C.答案C4. 已知等比数列an中a2= i,贝S其前3项的和S3的取值范围是()A . ( = , iB. (乂, 0)U i,+=)C. 3,+ )D. ( = , i U 3,+ )iiq = i + q+ q.解

4、析因为等比数列a*中a2= i,所以 S3= ai + a2 + a3= a2 i + q + ci,当公比 q>0 时，S3= i+q +i + 2 q *= 3;当公比 q<0 时，S3= i ( q q !< i M-所以= , iU3, +乂)，故选 D.答案D5. （20i8江西七校联考）等差数列a*, bn的前n项和分别为sn, Tn,右Tn38n+ i42n+ i(n N*)，则b7242 厂 432494A. 16C云 D.27解析 令 S= 38n2 +14n, Tn= 2n2 + n,a6 = & Ss= 38X 62 +14X6 (38x 52

5、+ 14X 5) = 38X 11+ 14; b? = T7 T6 = 2X 72 + 7 oa6 38 x 11+ 14 432(2x6+ 6)= 2X 13+=矛=16,故选 A.答案A6. （2018河南郑州二中期末）已知等差数列a.的公差dz0,且an + 32S> + 16 a1 ,3,13成等比数列，若a1 = 1, S是数列an的前n项的和，则（n N*）的最小值为（）A. 4 B. 3 C. 2 3- 2 D.9解析.a1= 1, a、83、a3成等比数列,(1 + 2d)2 = 1 + 12d.得 d = 2 或 d= 0(舍去)，an= 2n 1,n(1 + 2n 1

6、)20=2= n2,2S+ 16 2n2 + 16=令 t = n+1,an + 32n + 22S+169则=t + 2>6 2= 4当且仅当t = 3,an + 32 + 16即n= 2时，二的最小值为4,故选A.an+ 3答案A二、填空题n7. (2018福建四地六校联考)已知等差数列a.中，a3= 4,则cos© + a2 + a6) =.3 解析在等差数列 an中，a + a2+ a6 = a2 + 83+ a4= 3a3 = 4 n,_22 3-,cos(a1 + a2 + a6) = cos n= 8. （2018山西四校联考）若等比数列an的前n项和为Sn,且豊

7、=5,则詐S4a3 + a4解析解法一：设数列an的公比为q,由已知得S-= 1+6ai + a2=5, 即 卩 1 + q2 = 5,S8a5 + 氏 + a? + a8所以 q2= 4,兰=1+= 1+ q4= 1 + 16= 17.Ja + a2 + a3 + a4解法二：由等比数列的性质可知，S2, S4 S2, & S4, S8 S成等比数列，若设S2= a,则S4= 5a,由(S4 S2)2= S2 (S6 S4)得 Ss = 21a,同理得 S8 = 85a,所以S8=詈=17.答案179 .已知数列Xn各项均为正整数，且满足Xn + 1 =号，Xn为偶数,n N若x3+

8、 x4= 3,则x1所有可能取值的集合Xn+ 1 , Xn为奇数，为.解析由题意得X3 = 1 , X4 = 2或X3= 2, X4= 1.当 X3= 1 时，X2= 2,从而 X1 = 1 或 4;当 X3= 2 时，X2= 1 或 4,因此当X2 = 1时，X1 = 2,当X2= 4时，X1= 8或3.综上，X1所有可能取值的集合为123,4,8.答案123,4,8三、解答题10. (2018沈阳市高三第一次质量监测)已知数列an是等差数 列，满足a = 2, a4= 8,数列bn是等比数列，满足b2=4, b5 = 32.(1)求数列an和 bn的通项公式；求数列an + bn的前n项和

9、Sn.a4解(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=厂=2,所以 an = a + (n 1) d = 2+ (n 1) x 2 = 2n.设等比数列bn的公比为q,由题意得q3= b = 8,解得q = 2.因为 b1 = bq = 2,所以 bn= b1 qn-1 = 2x2n_ 1 = 2n.n(2 + 2n)2(1 2)21(2)由(1)可得，2 += n2+n+2叫1 2.2 1 211. (2018全国卷H )记Sn为等差数列an的前n项和，已知=7, S3= 15.(1) 求an的通项公式；(2) 求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a+ 3d= 1

10、5.由 a1 = 7 得 d= 2.所以an的通项公式为an = 2n 9.由(1)得 S = n2 8n= (n 4)2 16.所以当n= 4时，Sn取得最小值，最小值为16.212. 已知数列an和bn满足：a1=A a*+1 =包為 + n 4, bn=(1)n(an 3n + 21),其中入为实数，n为正整数.(1)对任意实数 人证明数列an不是等比数列；试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论.解(1)证明：假设存在一个实数 入使an是等比数列，则有2224 24 2a2 = a1a3，即 g 13；=如4J,故9 关4Z+ 9 =寸-4入 即 9= 0,这与事实相矛盾.所以对任意实数 入数列an都不是等比数列.因为 bn + 1 = ( 1)n + 1an + 1 3(n + 1) + 21 = ( 1)n2 2 21 3an 2n + 14