胡寿松自动控制原理课后习题答案

1、1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、 反馈。解：自动控制系统： 能够实现自动控制任务的系统， 由控制装置与被控对象组成； 受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程 扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。 如果扰动产生在系统内部 称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。 给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值 参考输入即为给定值。反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。2 请说明自动控制系统的基本组成部分。解： 作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成： 被控对象： 所谓被控对

2、象就是整个控制系统的控制对象； 执行部件： 根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常 用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。 给定元件： 给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量 （即参考量）； 比较元件： 把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值 进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大 器、机械差动装置和电桥等。 测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等； 放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对

3、象。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。 校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反 馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元 件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或 与原系统构成一个内反馈系统。3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺 点？解：反馈控制系统即闭环控制系统， 在一个控制系统， 将系统的输出量通过某测 量机构对其进行实时测量， 并将该测量值与输入量进行比较， 形成一个反馈通道， 从而形成一个封闭的控制系统； 开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精

4、度较差；闭环控制系统优点： 控制精度高， 缺点：结构复杂、 设计分析麻烦， 制造成本高。4 请说明自动控制系统的基本性能要求。 解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的 调整能够回到原来的期望值。 而对随动系统而言， 被控制量始终跟踪参考量的变 化。稳定性通常由系统的结构决定的， 与外界因素无关， 系统的稳定性是对系统 的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务(2 )准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信 号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做 给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的

5、精度越高。(3)快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动态性能。 系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行 动迟缓，仍然抓不住目标。2-1设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中f为黏性摩擦系数，k为弹簧系数，系统的输入量为力p(t)，系统的输出量为质量m的位移x(t)。试列出系统的O nTTTTTT? f图2-1习题2-1质量一弹簧一摩擦系统示意图输入输出微分方程。解：显然，系统的摩擦力为f dx，弹簧力为kx(t)，根据牛顿第二运动定律有 dt2p(t)一冲一吩四dtdt

6、2移项整理，得系统的微分方程为d2x(t). dt2詈 kx(t p(t)712-2试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得k2y2(t)_y1(t)心汕-整理得M1d2y1dyidt2f?-(k1k2)y1(tF-k2y2(t)m22-3求下列函数的拉氏变换。(1)f (t) =3(1 _sint)图2-2习题2-2机械系统示意图解:(2)(3)(1)f (t) =teatf(t)二 cos(3t )4Lf(t) =L3(1 -si nt)7171= 3(L1-Lsi nt)1 1 = 3()s s 13(s2 -s 1)2s(s 1)(2)f(t)二

7、teat1Lt r sLf(t)W 古JI(3) f(t“cos(3t)二sin(3t) cos(3t)42Lf(t)上sin(3t) cos(3t)2(Lsi n( 3t)Lcos(3t)2-辽(丄亠2(s 1 - 1 2 LF(s)丄 9 s2 9)2 s 322 s 92-4求下列函数的拉氏反变换(1)F(s)s -1(s 2)(s 5)解:(2)(3)(1)F(s)F(s)F(s)s -6s2(s 3)22s -5s 12s(s 1)s -1(s 2)( s 5) s 2 s 5(3)(Lsi n( 3t)Lcos(3t)2(3)(Lsi n( 3t)Lcos(3t)2(2)川丄2L2

8、二-es 22eF(s)= s6s2(s 3)s2(3)(Lsi n( 3t)Lcos(3t)2my1 1 1 1 1 1 = 2L°右L-LJ ss=2t 1 -e*(3)(Lsi n( 3t)Lcos(3t)2(3)(Lsi n( 3t)Lcos(3t)22s2 - 5s 13 s(s2 1)1 s-5= 十s s2 1(3)(Lsi n( 3t)Lcos(3t)2(3)(Lsi n( 3t)Lcos(3t)2F（s）=七尹(3)FT=1 cost -5sint2-5试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程(设电容 C上的电压为(t),电容Ci上的电压为Uci(t)，以此类推)。

9、+Uc(t)*RiR2Uo(a)+ Uci(t)CiR匸R+Uc2(t) C2+ URl(t). RiAUi + Uc1(t)-Uc2(t) +R2(b)(c)图2-3习题2-5无源网络示意图解：(a)设电容C上电压为uc(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为%(t) =Uj(t) -Uo(t)C d%(t)%(t) _ Uo(t)dtRiR2整理得输入输出关系的微分方程为C沁dt(丄丄)Uo(t)二严皿RiR2dtRi(b)设电容C1、C2上电压为Uc1(t), Uc2(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程dUc2(t)2 dtUci(t) =Ui(t) Uo(t)RUo-WRG警Ui(t)

10、Uc2(t) . Uo(t) Uc2(t) CR-整理得输入输出关系的微分方程为RC1C22d Uo(t)dUo(t)Uo(t)0(2Ci C2)o oRCiCdt2dt R2d Ui(t)dg (t)22Cidt2dt R22 2Ci（C）设电阻R2上电压为UR2（t）,两电容上电压为Uci（t）,Uc2（t）,由基尔霍夫定律可写出回路方程为Uci(t)二 Ui(t) -UR2(t)(1)Uc2(t)二Uo(t) UR2(t)CdUc1(t)C d%2(t)UR2(t)dtdtR2Ui (t) -Uo(t) dUc2(t) C dtRi（2）代入（4）并整理得duR2(t)dtdUo(t)U

11、i(t)-U°(t)dtR1C（1 ）、（ 2）代入（3 ）并整理得C dUi(t) C dUo(t) 2C duR2(t) dtdtdt_ UR2 (t)一R2两端取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为R2C2 2d Uo(t) ,1. 1) duo(t) , Uo(t) _ RC d Ui(t) .1 dm(t) .dt2(R1C1 dtR1C 一 2 dt2R1CR1CRC dtRC2-6求图2-4中各无源网络的传递函数。Ui(s)+ Uc(s)CR1R2Uo(s)Ui(s)(a)R+ Uc1(s)IC1+Uc2(S)丁 C2(b)R1Uo(s)+ 甲-Uc2(

12、s)+Ui(s)UR2(s)(c)Uo(s)图2-4习题2-6示意图解：（a）由图得(i)CsUc(s)RUo(s)R2(i)(i)Uc(s)二Ui(s) -Uo(s)(2)代入(1),整理得传递函数为RiUo(s)UT(syRi1Ri R2CS + R2Ri R2CS Ri R2R2(i)(i)(b)由图得Uci(s)二Ui(s)-U°(s)Ui(s) -Uc2(s) Uo(s)-Uc2(s)RR-C?sUc2 (s)(i )(i)(i)RCiSUci(s)二U°(s) -Uc2(s)整理得传递函数为Uo(s)RCis RC2s 2RCisRC2s iRC2S 222R

13、CCs 2RCiS iR2CiC2s2 Rs(2Ci C2) i(i)(i)(i)Ui(s) -Uo(s)Ri-CsU C2(s)(c)由图得Uci(s) =Ui(s) Ur2(s)Uc2(s)二Uo(s) -Ur2(s)CsUCi(s) CsUC2(s) =Ur2(S)R2(i)(i)整理得传递函数为Uo(s)Cs1R2cs 2R12 2R, RC s 十 RCs22RR2C s(R, 2R2)Cs 1Ri R2CsL图2-5习题2-7无源网络示意图2-7求图2-5中无源网络的传递函数。解：由图得S(s)-U2(s)R1R2Ls)U2(s)整理得丄U2(s)RR2 LsU1(s) 一 Cs

14、丄. 1- RCLs2 (R1R2C L)s R1 R2R1R2 十 Ls2-8试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数 C(s)/R(s)和C(s)/N(s)解: (a)求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图:图2-6习题2-8系统结构图示意图 令N(s) = 0,利用反馈运算简化如图2-8a所示R(s)图 2-8a 串联等效如图2-8b所示图 2-8b 根据反馈运算可得传递函数G1G2C(s)R(s)GG2(1 G1H1)(G2H2)GG2H31 GHi 1 -G2H2GiG21_2 H 31 + GiH 1 1 G2H 2G1G21 G1H _ G2 H 2 - G1H1

15、G2 H 2G1G2H3求传递函数C(s)/N(s)，按下列步骤简化结构图: 令R(s) =0,重画系统结构图如图2-8c所示图 2-8c 将H3输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示图 2-9d Gi和-已串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示图 2-8e 串并联合并如图2-8f所示图 2-8f 根据反馈和串联运算，得传递函数G1G2 H1C(s)1 )G2H2N(s) - G1H1)1 -G1G2H1 H3-1 -G2H2 h1G1H1 -1G1H1-G-|G2H 11 - G2H 2 ' G1G2 H 3G G1G2 H11 G2H 2G1G2H 3(b)求传递

16、函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图:将H2的引出端前移如图2-8g所示图 2-8g 合并反馈、串联如图2-8h所示图 2-8h将H1的引出端前移如图2-8i所示图 2-8i 合并反馈及串联如图2-8j所示R(s)*0GG2G3C(S)1G2H2G3H31 G3H3 uH1G2G3图 2-8j 根据反馈运算得传递函数GQ2G3C(s) _ R(s) 1 .1 G2H2 G3H31 G2H2 G3H3GGG3G2G3GG2G31 G1HG2H2G3H3 G1H1G3H 32-9试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数 C(s)/R(s)。解：求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简

17、化结构图: 将Hi的引出端前移如图2-9a所示图 2-9a 合并反馈及串联如图2-9b所示图 2-9b 合并反馈、串联如图2-9C所示图 2-9c根据反馈运算，得传递函数c(s)R(S)G1G2G3G41 G2G3H1 G3G4H21二 3 4 h31 +G2G3H t*G3G4H 2G1G2G3G4G1G2G3G41 G2G3H1 G3G4H2 G1G2G3G4H 3L1与L2互不接触2-10根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求 系统传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。解：(a)根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递 的信号，

18、用标有传递函数的之路代替结构图中的方框， 可以绘出系统对应的信号 流图。如图2-10a所示。L1与L2互不接触L1与L2互不接触(1 )令N(s)=O，求系统传递函数C(s)/R(s)由信号流图2-10a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为Pi - G1G2有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L1 = G1H1L2 = G2 H 2L3 = G1G2H 3L12 = _G1 H1G2H 2流图特征式L1与L2互不接触.'： =1 (Li L2 L3)L12 = 1 G1H1 G2H2 G1G2H 3 GG2H1H 2由于前向通路与所有单独回路都接触

19、，所以余因子式i = 1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(s)PiGi G2R(s) ；：1 Gi H1 - G2 H 2 GiG2H 3 - G1G2H i H 2(2)令R(s) =0，求系统传递函数C(s)/N(s)?由信号流图2-10a可见，从源节点N(s)到阱节点C(s)之间，有两条前向 通路，其增益为Pi = G2， p2 二-GiG2Hi有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L1 = G2 H 2， L2 - -G1G2 H 3没有互不接触的回路，所以流图特征式为 : =1 _(LL2) =1 _G2H2 G1G2H3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式二

20、r = 1，二 2=1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(s) _ 1 ；卩匕 _G2 -GiG2HiR(s) ： V r '1 -G2H2 G1G2H3(b)根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示图 2-10b求系统传递函数C(s)/R(s)由信号流图2-10b可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通 路，其增益为Pl = G1G2G3有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为Li-G1H1，L2-G2H2，L3-G3H3L!与L3互不接触-G1

21、G3H 1 H 32-11根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求2-11根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求流图特征式为-': =1 -'(LiL2L3)L13=1' GiH 1G2H 2G3H 3'G1G3HiH 3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式;-1 =1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C( S)_ _P_1 _ G1G2G3R(s) ：1 G1H1 G2H2 G3H3 G1G3H1H3系统传递函数C(s)/R(s)2-11根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用

22、梅森公式求解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信 号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框， 可以绘出系统对应的信号流图C 如图2-11a所示图 2-11a由信号流图2-11a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通 路，其增益为pi - G1G2G3G4有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为Li二-G2G3Hi，L2=-G3G4H2，L3=-G1G2G3G4H 3没有互不接触回路。因此，流图特征式=1 -(L L2 L3) =1 G2G3H1 G3G4H2 GG2G3G4H3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式 =1根据梅森增益

23、公式，得系统闭环传递函数为C (s) _ p1 二 1 G1G2G3G4R(s) 一 ：1 G2G3H1 G3G4H2 G1G2G3G4H33-2设系统的微分方程式如下:(1) 0,2r(r) = 2 厂(2) 0.04c(f) + CL24d(f) += r(f)试求系统的单位脉冲响应k(t)和单位阶跃响应h(t).已知全部初攻 解：(1) 因为 02sC(s) = 22?(s)单位脉冲响应：CO) = 10/j*()= 10r>0t _2 0KG)单位阶跃响应 h(t) C(5)= 10/52 h(t) = 10t(2) (0.042 + 0.24s + l)C(.s) = R(s)

24、 (?($)=?0.04s" + 0,2单位脉冲响应：C(s) =10.04?+ 0.245-125单位阶跃响应聊3(”2+均$(+56曲)亠宀。皿十f缶3-2已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数:(1) k(t) =0.0125e25t;(2) k(t) =5t 10sin(4t 45)；(3) k(t) =0.1(1 e3)。解：(1 小(sLk(t)H-°s+1.2510(2):(s) = Lk(t) = L5t =(sin 4t cos4t)=5 5 2(4s)s25(s2 4 2 s 2 4 丿2丄 s3.2 s2 1)16 162s4 1)亠二11J s

25、 -310s(3s 1)(3) ：(s)二 Lk(t) =04】 s3-3已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t) =10_12.5e.2tsin(1.653.1)，试求系统的超调量二%，峰值时间tp和调节时间ts。解：h(t)= 1 0- 1 2.e5.12sin 律 6 " 53. 1 )=101 -1.25e.2tsi n(1.6t 53.1)由上式可知，此二阶系统的放大系数是10 ,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为h(t) =1厶 e ntsin(冷.,1 - 2t Jy2n =1. 2所以有 t/和-& = 1. 2 5

26、74; 口1_L = 1. 6疋=06解上述方程组，得® =2所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下超调量 ； 弋一二心 1 00%e'6 1 '5 100% 9. 5%./亠JI31峰值时间tp1.96sP叫尸7 298调节时间ts二更 芟 2.92也n 2 0.63-4设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)= O*1，试求系统在单位阶s(s + 0.6)跃输入下的动态性能。解题过程:由题意可得系统得闭环传递函数为2g晋宀n其中a=2, nJ厂£0.52.5。这是一个比例微分控制二阶系统。比例一微分控制二阶系统的单位阶跃响应为h（t）二 1 r

27、ed nt si n（., -1：t）故显然有=d+arcta n（堑£ arctan -1.686Znd:d = a r c t an .-d1. 047此系统得动态性能指标为峰值时间tp 二n=3.1 55超调量12严丄21严 2调节时间nts=±=n5.1343-5已知控制系统的单位阶跃响应为h(t1 0.2e-0t -1.2eJ0t，试确定系统的阻尼比.和自然频率 f。解：系统的单位脉冲响应为k(th(t-12e'60t 12e0t =12(e0t -0加)1 1 600系统的闭环传递函数为G(s) =Lk(t) "2()2600 -s 10 s

28、60s2 10s 600自然频率 n600= 24. 5阻尼比：一70".4292 乂 V6003-6已知系统特征方程为3s4 10s3 5s2 s 0，试用劳斯稳定判据和赫尔维 茨稳定判据确定系统的稳定性。解：4 s3 ss2先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下3 5210 147 210153 472显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在s右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则二2 =印玄2 _a0a3 =10 5_3 1=4702ai a4a3102 2=200、I?显

29、然，此系统不稳定3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)2，试应(s + 2)(s + 4)(s +6s + 25)用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。解：由题得，特征方程是 s4 12s3 69s2198s 200 0列劳斯表s4169200+Ks3121982s52.5200+K1s 7995-12K0s 200+K由题意，令s1所在行为零得K =666.25由 s2 行得 52.5s2200 666.25 =0解之得 s= 4. 06i2所以振荡角频率为 =4. 06r2ad />3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)2，试确定s(s +

30、 1)(0.5s +s + 1)系统稳定时的K值范围。解：由题可知系统的特征方程为列劳斯表如下4 s3 s2+K10-K3(10-K)(2+K) 6K2K310-K"Ts02K由劳斯稳定判据可得10 K门>03(10-K)/32K 0(10_K)(2+K)/3_6K >0解上述方程组可得0 K : 1. 7053-9系统结构如图K3-1 所示，G(s)，疋义误差 e(t) - r(t)-c(t)，s仃s +1)(1)若希望图a中，系统所有的特征根位于s平面上s- -2的左侧，且阻尼比为0.5，求满足条件的K,T的取值范围。(2) 求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。(3

31、) 为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示，试求出合适的K0值。斑t)心+i(b)解：(1 )闭环传递函数为(s)KTs2 s KK/T_1Ks sT T冷.=0.5=D(s) =TsTs s K s K,令ss - 2,代入上式得,2 2D'(s) =T(s'-2)s'-2 K f -(4T -1)s' 4T 1/T -2 =0列出劳斯表，s2T 4T+1 .T -2s11-4Ts0 4T+1. T -2T 0,1 - 4T 0,4T1/T -20= 0 ：T ： 1/4或T : 0,1 4T : 0,4T1/T _2 ： 0 二 无

32、解.0 : T : 1 / 4,4 ： K : R(t) =t，系统为I型系统 二ess =1/KG'(s) =(K°s 1)Ks(Ts 1) KKK°s KTs 1- KK0s(Ts2 s K)Ts2 s KE(s)二 R(s) -C(s)二 R(s)1 -G'(s)二厶"- KK°)s sess 二 limsE(s)二 limTs 1 - KK 02Ts s K1-KK。-0 =K0 =1/KK0并没有改变系统的稳定性。3-10已知单位反馈系统的开环传递函数:(1)G(s) 口100(0.1s 1)(s 5)G(s)二50s(0.1s

33、 1)(s 5)试求输入分别为r(t)=2t和r(t) = 2 2t t2时，系统的稳态误差解:(1)G(s)=100(0.1s 1)(s 5)20(0.1s 1)(0.2s 1)由上式可知，该系统是0型系统，且K =20。0型系统在1(t),t,-t2信号作用下的稳态误差分别为：丄，:，:：。根据线性21 + K叠加原理有该系统在输入为r(t)=2t时的稳态误差为ess2 =2 :二:：，该系统在输入为r(t) =2 2t -12时的稳态误差为 电2 =22 -:-1 + KG(s)二50s(0.1s 1)(s 5)10s(0.1s 1)(0.2s 1)由上式可知，该系统是型系统，且K =1

34、0。1 2 1型系统在1(t),tt2信号作用下的稳态误差分别为：0,丄，：。根据线性叠加2K1原理有该系统在输入为r(t)=2t时的稳态误差为ess2 = 2丄=0.2，该系统在输入K1为r(t2 2t t2时的稳态误差为ess 20 2- 八ss2 k3-11已知闭环传递函数的一般形式为©(s) G(s) = bmSm +bm4Sm4 +3s + b。s 1 G(s)H (s) sn an4SnJ1 a1s a0误差定义为e(t) =r(t)-c(t)。试证，(1) 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为a1sa0(2 )系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为丄a

35、s * a°(sHsn anJsnJ a1s a0(3 )推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系解:( 1)(s)/s +anSais ao.E(s)二 R(s)-C(s)二 R(s)1 -(s)nn-11 s ans-* 2 *s s ands . = = a£aisaondn-2sansnnVs ansaisao满足终值定理的条件,sn andsnJ e(：) =limsE(s) =lim -s 、0s g nnSTTs +anJs+一，-+a1s1 0a1sao即证(2)_(s) 駛旦s +anjS+ *代+a0E(s)

36、 =R(s)-C(s) = R(s)1- (s)nn 421 sans a?s2 nn 4 ，-s s an4S a1sa0n -4n -2s ansnn-1san/S+a2a1s a0满足终值定理的条件,nns a* is嘉.嘉a2Se(：) =lim sE(s) Jim n 吕-0s77 sn +ansnJL+a1a0即证(3)对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为(s)2a-sysa°nn _1 “ns an 二s 亠 亠 a s a0同理可证(4 )系统型别比闭环函数分子最咼次幂大1次3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为:(1)G(s)=50(0.1s 1)(2s 1)

37、G(s)二Ks(s2 4s 200)-0-0G(s)=10(2 s 1)(4s 1)2 2s (s 2s 10)试求位置误差系数Kp，速度误差系数Kv，加速度误差系数Ka解：Kv = 0,(1) 此系统是一个0型系统，且K =20。故查表可得Kp二K=10 ,Ka =0(2) 根据误差系数的定义式可得Kp =lim G(s)H(s) =lim 厂p s 0s s(s 4s 200)Kv = lim s *G(s) H (s) = lims s(s2 4s 200)K200Ka2 2 s G(s)H (s)二 limsKs(s2 4s 200)-0-0(3)根据误差系数的定义式可得-0KpG(s

38、)H(s) =1闯10(2s 1)(4s - 1)s2(s2 2s 10)K“limsG(s)H(s)=lims102(2 丁 "你 叽:：7 s (s +2s + 10)Ka2s2G(s)H (s)2 10(2s 1)(4s 1)S s2(s2 2s 10) _13-13设单位反馈系统的开环传递函数Kf , 心 TfS 1 *s(TmS 1)输入信号为 r(t) =(a bt)1(t)其中Ko, Km, Kf, i, Tf , Tm均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差ess< ；。，其中0,试求系统各参数满足的条件。解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征

39、方程为TfTmS3 (Tf Tm)s2 s K =o式中，K二KoKfKm/i,为系统的开环增益，各参数满足：K 0, (Tf 几)-KTmTf 0Tf +T即稳定条件为 0 ： K mTfTm由于本例是I型系统，其Kp=a, Kv二K,故在r(t(a bt) *1(t)作用下,其稳态误差bessoK必有K 呂o于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之bT +T间的条件为-:心心心门芒0T f Tm3-14设单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)=1,Ts。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为r(t)=t22时，系统的稳态误差解：系统的误差传递函数为->e(S)E(s

40、)R(s)11 G(s)rivTs(Ts)2 (Ts)3(Ts)4 川所以有 E(s) ：e(s) R(s) =Ts R(s) -仃S)2 *R(s) - (Ts)3 R(s) -(Ts)4 *R(s) |对上式进行拉氏反变换可得e(t) =Tr(；)-T2r(；) T3r(t)-T4r(t)川(1) 当r(t) =t 2时，显然有r(t) =tr(t) =1r(t) =r(4(t)胡,0系统的稳态误差为将上述三式代入(1 )式，可得e(t)订*t -T2 *1 - T30 -T4 7 III =T(t _T)ess =lim e(t) =limT(t -T)二tsc3-15假设可用传送函数C

41、©1描述温度计的特性，现在用温度计测量盛R(s) Ts+1在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的98%的数值。如果给容器加热，使水温依10/min的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大？ 解:由题意，该一阶系统得调整时间ts=1mi n，但ts =4T，所以T =0.25min系统输入为r(t) =10t，可推得R(s) 2s因此可得C(s) -R(s> 2 1 0Ts+1s( TS 1)c(t)=110 - 1T0TdTc(t)的稳态分量为css(t) =10t _10T稳态误差为 ess(t)二 r (t) - Css(t) = 10T = 10 0.25 =

42、2.5所以，稳态误差为2.5C3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差 E(s)在输入端定义，扰动输入n=2 1(t).(1)试求K = 40时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。 若K =20,其结果又如何？(3) 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节-，对其结果有何影响?s1在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节 -，对其结果又有何影响？sG 2Gi G2z、得 C(s) = 1 G1G2H N 1 - g1g2h R s令R(s) =0,得扰动作用下的输出表达式:Cn(S)=G21G1G2HN(s)此时的误差表达式为：En(s) =R(S)- HCn(S)g2h1 G1G2

43、HN(s)若在s右半平面上解析，则有ess ng2h1 g1g2hsN (s)在扰动输入下的稳态输出为G2Cn(：) iim sCn(s) = -lim 2 sN(s)T71+GGH代入N(s),G1，G2，H的表达式，可得/、15cn 0), essn1 2.5K1 2.5K2C1)当 K =40时，Cn(：)二而,ess 2(2)当 K =20时，Cn(：)-,essn51"101551可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大,且稳态误差的绝对值也增大。(3)若1 s加在扰动之前，则G1Ks(0.05s 1)G2H =2.5得CnL) =0心广0若1 S加在扰动之后

44、，则G1K0.05s 11G2(s 5)H =2.5cn(：J20.02(K =40),0.04(K =20)2.5Kessn50.05(K =40),_0.1(K =20)2.5K可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节,可以消除阶跃输入引起的稳态误差3-17设随动系统的微分方程为:TmTa d-c3t) Tm d-C(t) C(t)Kc(t)二 Kr (t)dtdt dt其中，c（t）为系统输出量，r（t）为系统输入量，Tm为电动机机电时间常数,Ta为电动机电磁时间常数，K为系统开环增益。初始条件全部为零，试讨论:（1） Ta、Tm与K之间关系对系统稳定性的影响（2） 当Ta =0.0

45、1, Tm =0.1, K=500时，可否忽略Ta的影响？在什么影响下Ta的影响可以忽略？ 解：（1）对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程TmTaS3 TmS2 S K = 0当Tm Ta K均为正值时，且有D2 =Tm（TaK） 0即 0 ： K ： 1 Ta时 闭环系统稳定。（2）由于Ta二0.01，因此只有当0 ： K : 100闭环系统才稳定，显然，对于 K =500,闭环不稳定。此时若略去Ta,闭环特征方程为Tms2 s K 二 0.1s2 s 500 = 0上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果K00。如果K <100，则略去Ta

46、不会影响闭环稳定性。对于本例，当K 1 Ta时，不能忽略Ta对稳定性的影响，否则可以忽略。3- 18设计题飞机的自动控制，是一个需要多变量反馈方式的例子。在该系统中，飞机的 飞行姿态由三组翼面决定，分别是：升降舵，方向舵和副翼，如附图3-3(a)所示 飞行员通过操纵这三组翼面，可以使飞机按照既定的路线飞行。这里所要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统，它通过调节副翼表面来控图3-3( a)飞机副翼模型图制倾角 '，只要使副翼表面产生一个二的变形，气压在这些表面上会产生一个扭1矩，使飞机产生侧滚。飞机副翼是由液压操纵杆来控制的，后者的传递函数为-测量实际的倾角 冷并与输入设定值进行比较，其

47、差值被用来驱动液压操纵 杆，而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形3-3(b)所示，又假定Ki =1，且角速率 '由速率陀螺将其值进行反馈，期望的阶跃响应的超调量； _10%，调节时间(以二2%的标准)ts乞9s，试选择合适的Ka和K2值。解：由于过阻尼响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统，在本题中1.0,11欠阻尼s s 1 K2KaKas2 (K2Ka 1)s(s)二2s (K2Ka 1)s KaKa因此，f 二 Ka2 十 ©Ka 1计算可得Ka=©丄1 I又因,c% 二100%，ts3.5n由题计算可得=0.59，0.659故 Ka =0.4, K2

48、二-0.6344-1已知系统开环零极点分布如图4-1所示，试绘制相应的根轨迹图解:jJL0图4-1a根轨迹图I » 0c 4 IF0(a)根轨迹的渐近线条数为(b)根轨迹的渐近线条数为=240(c)根轨迹的渐近线条数为n- m = 3，渐近线的倾斜角为1 =60，2 =180，(d )根轨迹的渐近线条数为n- m=0(e) 根轨迹的渐近线条数为n - m = 0(f) 根轨迹的渐近线条数为n- m=1，渐近线的倾斜角为=1804- 2已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为:(1)G(s)二K(s 1)2s (s 2)(s 4)G(s)二Ks(s 1)(s 2)(s 5)G(s)=Ks(s 4)(s2 4s 20)K(s + 1)s(s -1)(