将军饮马问题讲义

1、一六大模型1.如图，直线 l 和 l的异侧两点 A 、B， P ，使 PA+PB 最小。在直线l 上求作一点2. 如图，直线 l和 l的同侧两点A 、 B，在直线l 上求作一点P ，使 PA+PB 最小。将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句 说:" 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 . " 诗中隐含着一个有趣的数学问题 . 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下 的 A 点出发，走到河边饮马后再到 B 点宿营 . 请问怎样走才能使总的路程最短 ?这个问题早在古罗马时代就有了， 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫 海伦 .一天，一位罗马将军专程去拜访他，

2、向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走 才能使路程最短 ?从此，这个被称为 " 将军饮马 "的问题广泛流传 .将军饮马问题 =轴对称问题 =最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓 轴对称是工具， 即这类问题最常用的做法就是作轴对称。 而最短距离是题眼， 也就意味着归 类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以 快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。5.如图，点 A 是 MON外 的一点，在射线 ON 上作点 P， 使 PA 与点 P 到射线 O

3、M 的距离之和最小3.如图，点 P 是 MON内 的一点，分别在 使 PAB 的周长最小 .6. . 如图，点离之和最小是 MON内 的一点，在射线ON 上作点 P ，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距常见问题首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点， 即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连 线的点。1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或 者说 只有定点才可以去作对称的。 （不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点 首先要明确关于对称的对象肯定是一条线， 而不是一个点。 那么是哪一条线？

4、一般而言都是 动点所在直线。2. 对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个定点相连。 绝对不能和一个动点相连。明确一个概念： 定点的对称点也 是一个定点。例如模型二和模型三。3. 所求点怎么确定？首先一定要明白， 所求点最后反应在图上一定是个交点。 实际就是我们所画直线和已知直线 的交点。下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：21. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0）、 B（4，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（ 2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形 PAOC的周长最小？若存在，求出四边形 PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由分析】（

5、 1）设交点式为 y=a（x 1）（x 4），然后把 C点坐标代入求出 a= ，于是得到抛 物线解析式为 y= x2 x+3 ；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x= ，连结 BC交直线 x= 于点 P，如图，利用对称性得到 PA=PB，所以 PA+PC=PC+PB=B，C根据两点之间线段最短得到PC+PA最短， 于是可判断此时四边形 PAOC的周长最小，然后计算出 BC=5，再计算 OC+OA+BC即可【解答】 解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x 1）（x 4）， 把 C（0，3）代入得 a? （ 1）? （ 4） =3，解得 a= ，所以抛物线解析式为 y= （x 1）（x4），即 y=

6、 x2 x+3； （2）存在因为 A（ 1，0）、 B（4，0）， 所以抛物线的对称轴为直线 x= ，连结 BC交直线 x= 于点 P，如图，则 PA=PB，PA+PC=PC+PB=B，C此时 PC+PA最短， 所以此时四边形 PAOC的周长最小，因为 BC=5，点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：3+1+5=9在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当 已知抛物线上三点时， 常选择一般式， 用待定系数法列三元一次方程组来求解； 当已知抛物x 轴有两个交点时，线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛

7、物线与可选择设其解析式为交点式来求解也考查了最短路径问题2（ 2015? 上城区一模）设抛物线y=x+1）（x2）与 x 轴交于 A、 C两点（点 A在点 C 的左边），与 y 轴交于点 B（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）已知点 D 在坐标平面内， ABD 是顶角为 120°的等腰三角形，求点 D 的坐标； （ 3）若点 P、 Q位于抛物线的对称轴上，且 PQ= ，求四边形 ABQP周长的最小值考点】 二次函数综合题【分析】（ 1）令 x=0，求出与 y 轴的坐标；令 y=0，求出与 x 轴的坐标； （2）分三种情况讨论：当 AB为底时，若点 D在 AB上方；若点 D 在 A

8、B下方；当 AB为 腰时， A 为顶点时，当 AB为腰时， A为顶点时；仔细解答即可（3）当 AP+BQ最小时，四边形 ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答【解答】 解：（1）当 x=0 时， y= ；当 y=0 时， x= 1 或 x=2；则 A（ 1，0）， B（0，），C（2，0）；（2）如图， RtABO中， OA=1， OB= ，AB=2，ABO=3°0 ， BAO=6°0 ， ABD是顶角为 120°的等腰三角形当AB为底时，若点 D在 AB上方，由 ABO=BAD=30°，AB=2，得 D1（ 0，），若点D 在 AB下方，由 B

9、AD=DBA=30°， AB=2，得 D2(1，），当DAB=12°0 ， OAB=6°0 ， AD=AB=2，点 D 在 y 轴或 x 轴上，若 D在 y 轴上，得 D3（0， ），若 D在 x 轴上，当 AB为腰时， A 为顶点时，若点 D 在第三象限，DBO=15°0 ， BD=2，得 D5（ 1， 2 ）； 若点 D 在第四象限时，DBx轴， BD=2，得 D6（2， ），AB为腰时， A 为顶点时，得 D4 (3，0）；符合要求的点 D 的坐标为（ 0，（ 1，0， ），（ 3， 0），（ 1，2 ），（ 2，）；（3）当 AP+BQ最小时，四边形 ABQP的周长最小， 把点 B 向上平移 个单位后得到 B1（0， BB1PQ，且 BB1=PQ，四边形 BB1PQ是平行四边形，BQ=B1P，AP+BQ=AP+1BP，要在直线 x= 上找一点 P，使