导数及其应用专题复习

1、2 0 1 7 年 导 数 及 其 应 用 专 题 复 习知识点复习1、函数 f x 从 x1到 x2 的平均变化率： f x2 f x1 x2 x1x 在点 x0, f x0 处的切2、导数定义： f x 在点x0处的导数记作 y x x f (x0) lim f(x0 x) f(x0)； x x00 x 03、函数 y f x 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y线的斜率4、常见函数的导数公式：C' 0； (xn)' nxn 1； (sin x)' cos x ； (cos x) 'sin x； (ax)' ax ln a ； (ex) '

2、;ex ； (log a x)1 ； (ln x)xxln a5、导数运算法则：gxf x g x f x g xgx2gx6、在某个区间7、若 f x 0 ， 求解函数 ya,b 内，若 f 则函数 y f f(x) 单调区间的步骤：0 ，则函数 y f x 在这个区间内单调递增；xx 在这个区间内单调递减( 1)确定函数 y f (x) 的定义域；( 2)求导数 y' f '(x) ；(3) 解不等式 f '(x) 0，解集在定义域内的部分为增区间；( 4)解不等式 f '(x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间8、求函数 y f x 的极值的方法是：解方

3、程 f x 0 当 f x0 0时： 1 如果在 x0 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极大值； 2 如果在 x0 附近的左侧 f x 0，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极小值9、求解函数极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域( 2)求函数的导数 f '(x)( 3)求方程 f '(x)=0 的根(4) 用方程 f '(x)=0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表 格(5) 由 f'(x) 在方程 f '(x)=0 的根左右的符号，来判断 f(x) 在这个根处取极 值的情况10、求函数 y f x

4、在 a,b 上的最大值与最小值的步骤是：1 求函数 y f x 在 a,b 内的极值；2 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a ， f b 比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值复习考点例题讲解考点一：求导公式。例 1. f (x)是 f (x) 1x3 2x 1的导函数，则 f ( 1)的值是。解析： f ' x x2 2，所以 f ' 1 1 2 3答案：3考点二：导数的几何意义 。例 2.已知函数 y f ( x)的图象在点 M(1，f (1)处的切线方程是 y 1x 2，则2f (1) f (1) 。解析：因为 k 1 ，所以 f '

5、 1 1 ，由切线过点 M (1， f (1) ，可得点 M的纵坐标为 225 ，所以 f 1 5 ，所以 f 1 f ' 1 322 答案： 3例 3. 曲线 y x3 2x2 4x 2在点 (1， 3) 处的切线方程是。解析： y' 3x2 4x 4， 点 (1， 3) 处切线的斜率为 k 3 4 4 5 ，所以设切线方程为 y 5x b，将点 (1， 3) 带入切线方程可得 b 2，所以，过曲线上点(1， 3) 处的切线方程为： 5x y 2 0答案： 5x y 2 0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用例 4. 已知曲线 C： y x

6、3 3x2 2x ，直线 l : y kx ，且直线 l 与曲线 C相切于点32y0 x0 3x0 2x0 ，y0x0x0 2 3x0 2。又 y' 3x2 6x 2，曲线 C 的切线斜率为 kf'x03x0 6x0 2 ，22x02 3x0 2 3x0 26x02，整理得： 2x0 3x00，解得： x0舍），此时，ky0直线 l 的方程为 y38在 x0 , y0 处14 。所以，32 或 x0 0114x，切点坐标是x0, y0 x0 0 ，求直线 l 的方程及切点坐标。解析：直线过原点，则 k y0 x0 0 。由点 x0, y0 在曲线 C上，则 x033,。28答案

7、：直线 l 的方程为，切点坐标是 2 , 8点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲 线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线 的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例 5. 已知 f x ax3 3x2 x 1在 R上是减函数，求 a 的取值范围。解析： 函数 f x 的导数为 f ' x 3ax2 6x 1。对于 x R都有 f ' x 0 时， f x为减函数。由3ax26 x 10 x R 可得 a0，解得 a 3 。所以，03612a当 a 3时，函数 fx 对 xR为减函数。（1） 当 a3时，

8、fx3x3 3x2 x 13x3138。39由函数 y x3 在 R上的单调性，可知当 a3 是，函数 f x 对 x R为减函数（2） 当a 3时，函数 f x 在 R上存在增区间。所以，当 a 3时，函数 f x 在 R 上不是单调递减函数。综合（ 1）（ 2）（ 3）可知 a 3。答案： a 3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例 6. 设函数 f （x） 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1及 x 2 时取得极值。（1）求 a、b 的值；（2）若对于任意的 x 0，3 ，都有 f（x） c2成立，求 c 的取值范围。

9、 解析：（1） f （x） 6x2 6ax 3b ，因为函数 f（x）在x 1及 x 2取得极值，则有答案：（ 1） a 3， b 4；（2） （，1)U (9， )。点评：本题考查利用导数求函数的极值求可导函数 f x 的极值步骤：求导（ 2）由（）可知，f(x)2x3 9x2 12x 8c ， f (x)6 x2 18x126(x 1)( x 2)当x(01，) 时， f (x)0；当x (1，2)时， f (x) 0；当 x（2，3） 时，f （x） 0 。所以，当x1时， f （x） 取得极大值f (1) 5 8c ，又 f (0) 8c ，f (3) 98c 。则当 x 0，3时，f

10、 （ x） 的最大值为f (3)9 8c 。因为对于任意的 x0，3 ，有f ( x)c 2恒成立，所以因此 c 的取值范围为(， 1)U (9，9 8c c2，解得 c 1或 c 9 ，6 6a 3b 0，f (1) 0， f (2) 0即 264 61a2a3b3b0，0，解得 a 3，）。b 4 。数 f ' x ；求 f' x 0的根；将 f' x 0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f' x 在考点六：函数的最值。例 7. 已知 a为实数， f x x2 4 x a 。求导数 f' x ；(2)若 f ' 1 0 ，求 f x 在 区间

11、 2,2 上的最大值和最小值。解析： (1)f32 x x ax4x4a，2f' x 3x22ax4。(2) f ' 132a 4 0 ，a1。2f ' x 3x2x43x 4 x1令 f ' x 0，即3x 4 x 10，解得 x1或 x 4，则 fx 和 f' x在区间 2,2 上3随 x 的变化情况如下表：000增函数极大值减函数极小值增函数09f 1 ，f450 。所以， fx 在区间 2,2 上的最大值为 f 4 50 ，最小23273 27值为 f 192。答案：(1)f ' x3x2 2ax 4 ；( 2)最大值为 f 450 ，最

12、小值为 f 1 9 。3 27 2点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 f x 在区间 a,b 上的最值， 要先求出函数 f x 在区间 a,b 上的极值，然后与 f a 和 f b 进行比较，从而得出函 数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8.设函数 f (x) ax3 bx c (a 0)为奇函数，其图象在点 (1,f (1)处的切线与直线 x 6y 7 0垂直，导函数 f '(x)的最小值为 12。(1)求 a，b，c的值； ( 2)求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数 f(x)在 1,3上的最大值和最小值。解析：(1) f (x) 为奇函数， f (

13、x) f (x) ，即 ax3 bx cax3 bx c70 c 0 ， f '(x) 3ax2 b的最小值为 12， b 12，又直线 x 6y1的斜率为 1 ，因此， f '(1) 3a b 6 ， a 2，b 12， c 06(2) f (x) 2x3 12x。 f '(x) 6x2 12 6(x 2)(x 2) ，列表如下：增函数极大减函数极小增函数所以函数 f(x) 的单调增区间是 ( , 2) 和 ( 2, ) ， f ( 1) 10， f ( 2) 8 2 ， f (3) 18， f (x) 在 1,3 上的最大值是 f(3) 18 ，最小值是 f ( 2

14、) 8 2 。答案：(1)a 2， b 12， c 0 ；(2)最大值是 f (3) 18 ，最小值是 f ( 2) 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练(一) 选择题1. 已知曲线 y x 的一条切线的斜率为 1 ，则切点的横坐标为( A) 42A1B 2C 3D42. 曲线 y x3 3x2 1在点( 1， 1)处的切线方程为 (B)A y 3x 4 B y 3x 2 C y 4x 3 D y 4x 53. 函数 y (x 1)2 (x 1)在 x 1处的导数等于( D)A 1 B2 C3 D44. 已知函数 f(x

15、)在x 1处的导数为 3,则f (x) 的解析式可能为(A)A f (x) (x 1)2 3(x 1)B f (x) 2(x 1)C f (x)2(x 1) 2D f(x) x 15. 函数 f (x)x3ax23x 9，已知 f(x)在 x 3时取得极值，则a=( D)A)2B)3C)4D)6. 函数 f (x)3x21是减函数的区间为 (D) (2,) ()( ,2) () ( ,0) () (0,2)7. 若函数 fbx c 的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是( A)B1C2A0D4xx2f' xxD10. 三次函数 f xax3 x 在 x内是增函数，A)A aB a 0C

16、 aD11. 在函数x38x的图象上，其切线的倾斜角小于13的点中，坐标为整数的点的4个数是D)A3B2C1D012. 函数 f (x) 的定义域为开区间 数 f (x) 在开区间 (a,b) 内有极小值点A1 个C3 个(a,b)，导函数 f (x) 在(a, b)内的图象如图所示，则函 A)B2个D4个二) 填空题13. 曲线 y x3 在点1,1 处的切线与 x轴、直线 x 2 所围成的三角形的面积为 。14.已知曲线 y 31x3 34 ，则过点 P(2,4)“改为在点 P(2,4)”的切线方程是 15.已知 f(n)(x)是对函数 f (x)连续进行 n次求导，若 f(x) x6 x

17、5 ，对于任意 x R， 都有 f(n)(x)=0，则 n 的最少值为。16.某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x吨，运费为 4万元次，一年的 总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨(三) 解答题17. 已知函数 f x x3 ax2 bx c ，当 x 1时，取得极大值 7；当 x 3 时，取得极 小值求这个极小值及 a,b,c 的值.18. 已知函数 f(x) x3 3x2 9x a.(1)求 f (x) 的单调减区间；(2)若 f(x)在区间 2， 2. 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值 .19.设t 0，点 P( t ， 0)是函

18、数 f (x) x3 ax与g(x) bx2 c的图象的一个公共点， 两函数的图象在点 P 处有相同的切线。(1)用 t 表示 a,b,c；( 2)若函数 y f(x) g(x) 在(1，3)上单调递减，求 t的取值范围。20.设函数 f x x3 bx2 cx(x R)，已知 g(x) f(x) f (x) 是奇函数。(1)求 b、 c的值。(2)求 g(x) 的单调区间与极值。21. 用长为 18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 22.已知函数 f(x) 1x3 1ax2 bx在区间 1，1

19、)， (1，3内各有一个极值点32(1)求 a2 4b 的最大值；1) 当 a2 4b 8 时，设函数 y f (x) 在点 A(1， f (1)处的切线为 l ，若 l 在点 A处穿过函数 y f (x) 的图象(即动点在点 A附近沿曲线 y f(x) 运动，经过点 A时，从 l 的一侧进入另一侧)，求函数 f (x) 的表达式强化训练答案：(四) 填空题813. 14. y 4x 4 03(五) 解答题据题意， 1，3 是方程 3x22axa3,b 9 f xx3 3x2 9xcf1 7 ， c 2极小值f 3 33 3 3293极小值为25， a3,b9，c18. 解：( 1)f (x)

20、3x26x 9.17. 解： f ' x 3x2 2ax b所以函数 f (x) 的单调递减区间为 (b 0 的两个根，由韦达定理得2 252。f (x) 0 ，解得 x 1或x 3, 1),(3, ).2)因为 f ( 2) 8 12 18 a2 a, f(2)8 12 18 a 22 a,所以 f(2)f ( 2).因为在( 1，3)上 f (x)0，所以 f (x) 在1，2 上单调递增，又由于 f(x) 在 2，1 上单调递减，因此 f (2) 和 f ( 1)分别是 f (x) 在区间 2,2 上的最大值和最小值 . 于是有 22 a 20， 解得 a 2.32故 f (x)

21、x3 3x2 9x 2.因此 f ( 1) 1 3 9 2 7,即函数 f(x) 在区间 2,2 上的最小值为 7.19. 解：( 1)因为函数 f(x) ， g(x) 的图象都过点( t ， 0)，所以 f (t) 0 ，3 2 2即t3 at 0 . 因为 t 0,所以 at2. g(t) 0,即bt2 c 0,所以 c ab.又因为 f (x) ， g(x)在点( t ， 0)处有相同的切线，所以 f (t) g (t).而 f (x) 3x2 a,g (x) 2bx,所以3t 2 a 2bt.将a2t2 代入上式得bt.因此cabt 3. 故 at 2 ， b t ， ct3.2) y

22、f (x) g(x)3 xt2xtx2t3,y 3x2 2tx t2 (3x t)(x t)当y (3x t)(xt)0 时，函数yf(x) g(x) 单调递减 .由y 0 ，若 t 0则t x t；若 tt0,则 t x .33由题意，函数 y f(x) g(x) 在( 1， 3)上单调递减，则( 1,3) ( t ,t)或( 1,3) (t, t).所以 t 3或 t 3.即t9或t 3.3 3 3又当 9 t 3时，函数 y f (x) g(x) 在( 1， 3)上单调递减 .所以 t 的取值范围为(, 93,).20. 解：( 1)fx3 xbx2cx，2f x 3x 2bxc。从而g

23、(x)f (x)f (x)3 xbx2cx(3x2 2bx c) x3(b23)x2 (c 2b)x c 是一个奇函数，所以 g(0) 0得 c 0 ，由奇函数定义得 b 3；32( 2)由()知 g(x) x3 6x，从而 g (x) 3x2 6 ，由此可知，( , 2)和( 2, ) 是函数 g(x) 是单调递增区间；( 2, 2) 是函数 g(x) 是单调递减区间；g(x)在x 2时，取得极大值，极大值为 4 2， g(x)在 x 2时，取得极小值，极小值为 4 221. 解：设长方体的宽为 x (m)，则长为 2x (m) ，高为18 12x 3 h 4.5 3x(m)0< x&

24、lt; .42故长方体的体积为从而 V (x) 18x 18x2(4.5 3x) 18x(1 x).令V' x 0，解得 x 0(舍去)或 x 1，因此 x 1.3当 0 x 1 时， V' x 0 ；当 1 x 时， V' x 0 ，2故在 x 1处 V x 取得极大值，并且这个极大值就是 V x 的最大值。2 3 3从而最大体积 V V' x 9 1 6 1 m ，此时长方体的长为 2m，高为 1.5m.答：当长方体的长为 2m时，宽为 1m，高为 1.5m 时，体积最大，最大体积为 3m3 。1 3 1 222.解：( 1)因为函数 f(x) x3ax2 bx在区间 1，1) ， (1，3内分别有一个极值点，所以322f (x) x2 ax b 0在 1，1) ， (1，3内分别有一个实根，设两实根为 x1，x2 ( x1 x2)，则 x2 x1a