三角函数(20211130015852)

1、三角函数一? 三角函数的起源三角学的概念起源甚早， 在古文献莱因德纸草书 出土后证据显示古埃及人己有实用三角学的粗略概念， 来保持金字塔每边都有相同的斜度，只是当时并没有使用余切这个名词而已。 至公元前 150年至 100 年间，希腊人热衷天文学， 开始研究三角学，于是三角学渐渐有了雏形。后来印度人吸收了希腊人在三角学方面的知识，再加以改进，也把它当成研究天文学的利器。长久以来，三角学就这样依附着天文学发展，直到十三世纪，才自天文学中脱离成一门独立的学问。 十六世纪的欧洲， 由于航海、历法计算的需要，更增加三角学的重要性。 如今它不但应用于天文、 地理，举凡航海、 航空、建筑、工程、体育等的一

2、门基础学问，甚至在我们日常生活中,也成为不可欠缺的知识。二? 角希腊数学家欧几里得在所著 几何原本 这一书中说明一个平面角， 就是平面上两条相交但不重迭的直线， 彼此间倾斜度。 实际上角的概念， 一方面代表两条相交直线分割的性质，另一方面也代表其分割程度，即角的度量衡。三? 角的度量与换算1.制我们都知道圆规绕一圈为360 度，但是好奇而且追根就底的人就会有疑问，为什么会将圆分割为 360 等分。从数学史的角度， 也许给一些答案， 古代巴比伦人计数的单位为 60 进位，而且在 60 倍数中最接近一年的天数为360。可能符合上述的解答，即使在日常生活以10 进位的时代，时钟的刻度还保持60 进位

3、，规定 1小时为 60 分钟， 1 分钟为 60 秒。2.弪度制 (弧度) 在上一节，我们找圆分割为360等分，每一等分记为1 度，1 圈总计为。数学上还有一种常用的度量单位，称为弧度。在圆周上，截取与半径等长之弧，则此弧所对的圆心角称为一弧度 （或称为一弪） ，以弧度为单位， 通常省略不写，如：2 弧度简记为 2（图 1）又因为单位圆的周长为，所以=，由此可得 1 弪度，且（弧度），这里有一个有趣的结果，经掌上型计算器可得知， 这与的差距不到十万分之一。 所以当弪度 x 为很小时，换句话说计算 sinx 可用 x 来估计，这可能是弪度被多人接受的原因之一且在微积分上有重要的应用。四?有向角没

4、有人知道为什么量角度要采逆时针方向，或许从观察大自然的现象，可略知一二，例如，因受磁场的影响在北半球的水槽的水以逆时钟方向流出，但在南半球的水槽则顺时钟方向流出，这种水流的方向是有差别。再举一例：设为一角，如图 2 所示：如果表东方，表东北方，我们可用表示从东方到东北方的方位差。如果站在 o 点，面向东然后转到东北方位与先面对东北方位然后转到东方，这两起动作是有区别的。 为了能够把这些差异之处也表现出来，我们只好对角的两边与给出先后次序， 把一个称为始边， 另一个称为终边。 例如，从转至时，是始边，就是终边。从始边转向终边就是旋转方向，此时就可以把角看作是由始边沿着旋转方向到终边的旋转量。为了

5、方便，通常规定逆时钟方向为正，顺时钟方向负，则把旋转方向是正的角称为正向角，简称正角；旋转方向是负的角称为负向角，简称为负角。 正向角与负向角合称为有向角。例如，从东转至东北方位的有向角是，从东转至东南方位的有向角是，如下图 3 所示：在有向角中， 有相同始边及终边的角， 互称为同界角。 两个同界角之间一定相差的倍数，如下图 4 中的角与角，角与角都是一对同界角。五? 锐角的三角函数在国中的时候，我们曾利用相似三角形的性质引进了锐角三角函数来解决实际的测量问题。现在我们先把这些函数定义复习之后，再将其推广到广义角的三角函数。设为一直角三角形，如图5 所示：其中为直角，为斜边，两股与分别是的邻边

6、与对边。设，则我们定义的六个三角函数如下：从上述的定义，若令，我们可得下列关系式：一? 倒数关系式，二? 商数关系式，三? 平方关系式利用勾股定理，可得四? 余角关系式如图 5 所示，为一直角三角形，为直角，因为三角形的内角和为，所以和互为余角，即，的对边 b 恰为的邻边，由正弦和余弦的定义可知同理可得，故可得下列关系：六? 广义角的三角函数我们在前面中引进了有向角的概念后，在本节中准备定义广义角的三角函数。设为有向角，把它的顶点放在原点，始边放在x 轴的正向上，然后看它的终边落在何处，终边可能落在第一象限， 也可能落在第二象限、 第三象限或第四象限，如图 6 所示，图上的均为正向角且小于当然

7、，终边也可能落在x 轴或 y 轴上。无论如何，在终边上任取异于0 的一点 p，设其坐标为 (x,y)，并令，虽然 x 和 y 可正、可负或为零，但是 r 恒为正。现在用x，y 和 r 这三个数来定义广义角的三角函数如下：值得注意的是， 我们要在它的比值有意义的情况下才能定义广义三角函数，否则视为没有意义。例如，当p 点在 x 轴上时，则 p点的 y 坐标为 0，此时，和的分母都是 0，这种比值是没有意义的。又当p点在 y 轴上时，则 p 点的 x坐标为 0，此时，和的分母都是 0，也是没有意义的。事实上，只有p点在 x 轴或 y 轴上的时候才会有比值没有意义的情形发生。当为锐角时，相应于直角三

8、角形的各量 x 和 y 都是正的，所以上面的定义和锐角三角函数定义完全相同。根据上述广义角三角函数的定义，我们可绘制六个三角函数的图形，他们都是周期函数，图形如下列的java applet 所示:例：试求，解：设角的顶点在原点，始边在x 轴的正向，如图 7 所示：在终边上任取一点p，令，并作，显而易见，所以 p的坐标为，故试求(1) ，(2) ，从广义角的三角函数的定义可知，凡是同界角均有相同的三角函数值。所以下列公式成立：若 n 为一整数，则我们利用这些性质可以把任意角的三角函数化成到之间的三角函数。例如，例题：化下列诸角的三角函数为到之间的三角函数：，我们把以原点为圆心而半径为1 的圆称为单位圆。设与两个角的终边与单位圆的交点分别为与，如图 8 所示：因为与对称于 x 轴，所以，故我们利用这些性质