常用求导公式、矩阵公式、数学建模

1、基本求导公式、矩阵公式、数学建模1基本求导公式 （C为常数） ；一般地，。特别地：，。 ；一般地，。 ；一般地，。2求导法则 四则运算法则设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（）；（），特别（C为常数）；（），特别。3微分 函数在点x处的微分：4、 常用的不定积分公式（1） ；（2） ； ； ；（3）（k为常数）5、定积分 分部积分法设u(x)，v(x)在a，b上具有连续导数，则6、线性代数特殊矩阵的概念（1）、零矩阵 （2）、单位矩阵二阶(3)、对角矩阵(4)、对称矩阵(5)、上三角形矩阵下三角形矩阵(6)、矩阵转置转置后6、矩阵运算 7、MATLAB软件计算题例6 试写出用MATLAB

2、软件求函数的二阶导数的命令语句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x2)+exp(x);>>dy=diff(y,2)例：试写出用MATLAB软件求函数的一阶导数的命令语句。>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x)+exp(x);>>dy=diff(y)例11 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x3);>>i

3、nt(y,1,2)例 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x3);>>int(y)MATLAB软件的函数命令 表1 MATLAB软件中的函数命令函数MATLAB 运算符号运算符+-*/功能加减乘除乘方典型例题例1 设某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：运输平衡表与运价表销地产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A17311311A241928A3974105需求量365620（1

4、）用最小元素法编制的初始调运方案，（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：运输平衡表与运价表销地产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1437311311A23141928A363974105需求量365620找空格对应的闭回路，计算检验数：l1，l1，l0，l2已出现负检验数，方案需要调整，调整量为 1调整后的第二个调运方案如下表：运输平衡表与运价表销地产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1527311311A23141928A363974105需求量365620求第二个调运方案的检验数：

5、l1已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为 2调整后的第三个调运方案如下表：运输平衡表与运价表销地产地B1B2B3B4供应量B1B2B3B4A1257311311A21341928A363974105需求量365620求第三个调运方案的检验数：l2，l1，l2，l1，l9，l12所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为： 2×35×31×13×86×43×585（百元） 例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述

6、三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。1试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。2. 写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x30线性规划模型为2解上述线性规划问题的语句为：>>clear;>

7、;>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB)例3已知矩阵，求：解：例4 设y(1x2)ln x，求：解：例5 设，求：解：例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万元，销售该产品q百台的收入为R (q)4q0.5q2（万元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？解：产量为q百台的总成本函数为：C(q)q2利润函数L (q)R (q)C(q)0.5q23q2令ML(q

8、)q30 得唯一驻点 q3（百台）故当产量q3百台时，利润最大，最大利润为L (3)0.5×323×322.5（万元）例8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。解：库存总成本函数令得定义域内的唯一驻点q200000件。即经济批量为200000件。例9 计算定积分：解：例10 计算定积分：解：教学补充说明1. 对编程问题，要记住函数ex，ln x，在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，log(x)，sqrt(x)；2 对积分问题，主要掌握积分性质

9、及下列三个积分公式：（a1）7. 记住两个函数值：e01，ln 10。模拟试题一、单项选择题：（每小题4分，共20分）1. 若某物资的总供应量（ C ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。(A) 等于(B) 小于(C) 大于(D) 不超过2某物流公司有三种化学原料A1，A2，A3。每公斤原料A1含B1，B2，B3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A2含B1，B2，B3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3含B1，B2，B3的含量分别为

10、0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料A1，A2，A3的成本分别为500元、300元和400元。今需要B1成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A1，A2，A3的用量分别为x1公斤、x2公斤和x3公斤，则目标函数为（ D ）。(A) max S500x1300x2400x3(B) min S100x150x280x3(C) max S100x150x280x3(D) min S500x1300x2400x33. 设，并且AB，则x（ C ）。(A) 4(B) 3(C) 2(D) 14设运输某物品q吨的成本（单位：元）函数

11、为C(q)q250q2000，则运输该物品100吨时的平均成本为（ A ）元/吨。(A) 170(B) 250(C) 1700(D) 170005. 已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR (q)，则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为（ D ）。(A) (B) (C) (D) 二、计算题：（每小题7分，共21分）6已知矩阵，求：ABC解：7. 设，求：解：8. 计算定积分：解：三、编程题：（每小题6分，共12分）9. 试写出用MATLAB软件求函数的二阶导数的命令语句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x2)

12、+exp(x);>>dy=diff(y,2)10. 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。解：>>clear;>>syms x y;>>y=x*exp(sqrt(x);>>int(y,0,1)四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。解： 库存总成本函数令得定义域内的惟一驻点q200000件。即经济批量为200000件。12. 某物流公司下属企

13、业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件

14、、x2件和x3件，显然x1，x2，x30线性规划模型为解上述线性规划问题的语句为：>>clear;>>C=-400 250 300;>>A=4 4 5;6 3 6;>>B=180;150;>>LB=0;0;0;>>X,fval,exitflag=linprog(C,A,B,LB) 线性规划习题1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A，B，C三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又

15、知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行）。解：设生产甲产品吨，乙产品吨。 线性规划模型为： 用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：>> clear;>> C=-3 4;>> A=1 1;1 2;0 1;>> B=6;8;3;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)2. 某物流公司有三种化学产品A1，A2，A3都含有三种化学成分B1，B2，B3，

16、每种产品成分含量及价格(元/斤)如下表，今需要B1成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。相关情况表 产品含量 成 分每斤产品的成分含量A1A2A3B1B2B20.70.20.10.10.30.60.30.40.3产品价格(元/斤)500300400解：设生产产品公斤, 生产产品公斤, 生产产品公斤,3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该厂装

17、配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行出结果）解：设生产桌子张，生产椅子张 MATLAB软件的命令语句为： >> clear;>> C=-12 10;>> A=10 14; 20 12;>> B=1000；880;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这

18、两种产品分别需要A,B,C,D四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。解：设生产甲产品件，乙产品件。 线性规划模型为： 用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：>> clear;>> C=-6 8;>> A=4 3;2 3;5 0；0 2;>> B=1500；1200；1800；1400;>> LB=0;0;>> X,fval=linprog(C,A,B,LB)5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品。企业现有甲原料30吨，乙原料