第二章 信号的描述与分析

1、机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 绪论、绪论、第一章第一章 一、测试技术的基本概念一、测试技术的基本概念 测量测量: :是指以确定被测对象的量值为目的进行的操作。是指以确定被测对象的量值为目的进行的操作。 计量计量: :是指为了实现单位统一和量值准确可靠的测量。是指为了实现单位统一和量值准确可靠的测量。 测试测试: :是指具有试验性质的测量，试验和测量的综合。是指具有试验性质的测量，试验和测量的综合。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 绪论、绪论、第一章第一章二、测试系统的组成二、测试系统的组成 被测对象被测对象传感器传感器信号调理信号调理 记录显示。记录

2、显示。 分析处理。分析处理。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 绪论、绪论、第一章第一章三、测试技术的重要三、测试技术的重要 1 1、一个国家科学技术的重要基础技术，、一个国家科学技术的重要基础技术， 重要标志之一。重要标志之一。 2 2、制造业是一个国家经济的主要支柱。、制造业是一个国家经济的主要支柱。 3 3、测量和试验是工程技术的重要环节。、测量和试验是工程技术的重要环节。四、测试技术的应用及发展趋势四、测试技术的应用及发展趋势机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 绪论、绪论、第一章第一章五、测量误差及其分类五、测量误差及其分类 1 1、测量误差的概念。、测量误差的概念。 2

3、2、测量误差的分类。、测量误差的分类。 根据误差的统计特征分类：，。根据误差的统计特征分类：，。 根据误差的产生原因分类：根据误差的产生原因分类：. . . . . 根据误差的表示方法分类：，。根据误差的表示方法分类：，。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 绪论、绪论、第一章第一章六、测量结果的表达方式。六、测量结果的表达方式。 1 1、测量的数据处理。、测量的数据处理。，。，。 2、测量的数据概率统计分析。测量的数据概率统计分析。 样本算术平均值。样本算术平均值。 样本标准偏差。样本标准偏差。 样本无偏估计值。样本无偏估计值。 3、测量的结果的表达方式。测量的结果的表达方式。 、基于不

4、确定度的表达方式。、基于不确定度的表达方式。 机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础第二章第二章 信号的描述与分析信号的描述与分析l2.1 2.1 信号的描述与分类信号的描述与分类l2.2 2.2 信号的频域分析信号的频域分析l2.3 2.3 信号的幅值域分析信号的幅值域分析l2.4 2.4 信号的时域统计分析信号的时域统计分析l2.5 2.5 信号的相关分析信号的相关分析l2.6 2.6 模拟信号的数字化分析模拟信号的数字化分析机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2.1 2.1 信号的描述与分类信号的描述与分类一、信号的基本概念一、信号的基本概念机械工程学院机械工程学院 2 2、信号：

5、信号：是传载信息的是传载信息的物理量函数物理量函数。 例如：例如：工件变形的形状和尺寸的改变量；工件变形的形状和尺寸的改变量； 减速器的振动运动量。减速器的振动运动量。 1 1、信息：信息：一般可认同于消息或情报。信息一般可认同于消息或情报。信息 是是物理现象物理现象。 例如：例如：工件的变形；减速器的运转异常。工件的变形；减速器的运转异常。 3 3、信号与信息的关系：信号与信息的关系： 信号包含信息。信号是信息物理表现。信号包含信息。信号是信息物理表现。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 在机械工程领域的生产实践和科学实验中，在机械工程领域的生产实践和科学实验中，需要研究大量的现象及其

6、参量的变化。这些变化需要研究大量的现象及其参量的变化。这些变化可以通过特定的测试装置转换成可供测量、记录可以通过特定的测试装置转换成可供测量、记录和分析的电信号。这些信号包含着反映被测系统和分析的电信号。这些信号包含着反映被测系统的状态或特性的某些有用信息，它是人们认识客的状态或特性的某些有用信息，它是人们认识客观事物规律、研究事物之间相互联系及预测未来观事物规律、研究事物之间相互联系及预测未来发展的依据。发展的依据。2.1 2.1 信号的描述与分类信号的描述与分类机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础二、信号的描述方式二、信号的描述方式1、信号的数学描述：信号的数学描述：信号用一个信号用一

7、个数学式子数学式子 表示其函数关系表示其函数关系 。2、信号的波形描述：信号的波形描述：信号用其形状或状态信号用其形状或状态 的波形图表示的波形图表示其函数关系其函数关系 。3 3、信号的时域描述：信号的时域描述：以时间以时间t t为自变量，用为自变量，用 一个时间函数一个时间函数X（t）来表示信号。）来表示信号。4 4、信号的频域描述：以频率、信号的频域描述：以频率f f作为自变量，建立作为自变量，建立 信号与频率之间的函数关系。信号与频率之间的函数关系。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2.1 2.1 信号的描述与分类信号的描述与分类三、信号的分类三、信号的分类 1 1、按信号规律分

8、类、按信号规律分类 2 2、按函数性质分类、按函数性质分类 3 3、按信号能量分类、按信号能量分类机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础1 1、按信号的规律分类、按信号的规律分类非确定性信号（随机信号）周期信号确定性信号准周期信号非周期信号瞬变非周期信号是一种不能准确的预测其未来瞬时值，也无法用数学关系方程描述的信号。比如: 汽车奔驰时的振动、飞机在大气流中的浮动、树叶随风飘动等。若信号可以表示为一个确定的时间函数，因而可确定其任何时刻的量值，例如 x(t)。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础1 1、按信号的规律分类、按信号的规律分类非确

9、定性信号（随机信号）周期信号确定性信号准周期信号非周期信号瞬变非周期信号确定性信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期信号，它又由准周期信号和瞬变非周期信号组成。 按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础1 1、按信号的规律分类、按信号的规律分类非确定性信号（随机信号）周期信号确定性信号准周期信号非周期信号瞬变非周期信号由两种以上的周期信号合成的，但其组成成分间无法找到公共周期，因而无法按某一时间间隔周而复始出现。除准周期信号外其它的非周期信号，是一些或在一定时间区间存在，或随着时间增长衰减至零的信号，称瞬变非周期信号。

10、机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础(1) 周期信号周期信号 0()x tx tnT0000( )sin()sin(2)x tAtAf t数学表达式：最简单常用的周期信号为简谐信号，其表达式为：角频率,初相位,频率.0f00T（n=1、2、3）n为任意整数,周期002T机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础00( )sin()kx txtm例如，单自由度振动系统作无阻尼自由振动时，其位移x(t)就是简谐信号；可用下式来确定质点的瞬时位置 周期02Tk m002kTm角频率周期信号特点: 理论上任一周期信号均可看作无穷个简谐信号之和机械工程学

11、院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。例如，下图是某钢厂减速机是一种周期性运动。例如，下图是某钢厂减速机上测得的振动信号波形上测得的振动信号波形(测点测点3)，可以近似地看作，可以近似地看作为周期信号。为周期信号。某钢厂减速机某钢厂减速机振动测点布置图振动测点布置图 某钢厂减速机测点某钢厂减速机测点3振动信号波形振动信号波形机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础(2) 非周期信号非周期信号 瞬变非周期信号瞬变非周期信号:例如锤子的敲击力、承载缆绳断裂时

12、的应力变化、热电偶插入加热炉中温度的变化过程等，下图是带阻尼的单自由度振动模型在脉冲力作用下的响应。准周期信号准周期信号: 是由有限个周期信号合成，但各周期信号的频率之间不是公倍数关系，不存在公共周期，也即，其频率比不是有理数，其合成信号不满足周期信号条件。例如：这种信号往往出现于通信、振动系统，应用于机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等场合。 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础严格数学意义上的周期信号，是无始无终地重复着某一变化规律的信号。实际应用中，周期信号只是指在较长时间内按照某一规律重复变化的信号。实际上周期信号与非周期信号之间没有绝对的差别，当周期

13、信号xT(t)的周期T 无限增大时，则此信号就转化为非周期信号x(t)。即lim( )( )TTxtx t注意：注意：机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础（3 3）非确定性信号（随机信号）非确定性信号（随机信号）非确定性信号：不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化是不可预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。例如，汽车奔驰时所产生的振动、飞机在大气流中的浮动、树叶随风飘荡、环境噪声等。下图为加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形。然而，必须指出的是，实际物理过程往往是很复杂的，既无理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互参杂的。机械工程学院机械工程学院机械

14、工程测试技术基础机械工程测试技术基础2 2、按函数性质分、按函数性质分: : 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 l分类依据：l自变量（即时间自变量（即时间t t）是连续的还是离散的）是连续的还是离散的 。l对于连续信号：l自变量和幅值均为连续的信号称为自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号模拟信号 ；l自变量是连续、但幅值为离散的信号，则称为量化信号。自变量是连续、但幅值为离散的信号，则称为量化信号。 l对于离散信号：l信号的自变量及幅值均为离散的，则称为信号的自变量及幅值均为离散的，则称为数字信号数字信号 ；l信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时，则称该信信号的自变量为离散值、但其幅

15、值为连续值时，则称该信号为被采样信号。号为被采样信号。 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础信号按函数性质区分的四种形式信号按函数性质区分的四种形式 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础3 3、按能量性质、按能量性质分分能量信号能量信号和和功率信号功率信号（1 1）能量信号）能量信号 在非电量测量中，把信号的平方对其时间的积分称为信号能量，当在非电量测量中，把信号的平方对其时间的积分称为信号能量，当 满足满足( )x t2( )Wx t dt 则认为信号的能量是有限的，称该信号为则认为信号的能量是有限的，称该信号为能量有限信号能量有限信号

16、。简称。简称能量信号能量信号。矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。 例如：例如：时，机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础（2 2）功率信号）功率信号若信号在区间若信号在区间 的能量是无限值的能量是无限值 ，但它在有限，但它在有限区间的平均功率是有限值区间的平均功率是有限值(,) 2( )xt dt 212211( )ttPxt dttt 这种信号称为这种信号称为功率有限信号功率有限信号，简称功率信号，简称功率信号例如：简谐信号例如：简谐信号机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础二、信号的时域描述和频域

17、描述二、信号的时域描述和频域描述l1 1、时域描述：以时间为独立变量来表示信号。描述信时域描述：以时间为独立变量来表示信号。描述信号幅值随时间的变化关系。号幅值随时间的变化关系。 例：x(t) 或l2、频域描述：以频率为独立变量来表示信号。描述信频域描述：以频率为独立变量来表示信号。描述信号的频率结构及各个频率成分上的幅值和相位关系。号的频率结构及各个频率成分上的幅值和相位关系。0 A0例：X()、X(f) 或机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号在不代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供同频率分量成分的大小，能够提供

18、比时域信号波形更直观，丰富的信比时域信号波形更直观，丰富的信息。息。时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 信号时、频域描述的关系：信号时、频域描述的关系： 信号的时、频域描述是可以相互转换的，而且信号的时、频域描述是可以相互转换的，而且包含有同样的信息量。采用时域还是频域来描述信包含有同样的信息量。采用时域还是频域来描述信号，完全取决于不同测试任务的需要。时域描述直号，完全取决于不同测试任务的需要。时域描述直观地反映信号随时间变化的情况，频域描述则侧重观地反映信号随时间变化的情况，频域描述则侧重于描述信号的结构

19、，即信号所包含的频率分量。但于描述信号的结构，即信号所包含的频率分量。但无论哪一种描述方法，同一信号均含有相同的信息无论哪一种描述方法，同一信号均含有相同的信息，不会因采取的描述方法不同而增添或减少原信号，不会因采取的描述方法不同而增添或减少原信号的信息量。的信息量。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础P29 P29 信号分析中的常用信号见表信号分析中的常用信号见表2-12-1。 四、信号分析中的常用信号四、信号分析中的常用信号机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 信号的时域描述直观地反映出信号瞬时值随时信号的时域描述直观地反映出信号瞬时值随时间变化的情况；频域描述则反映出信号的频率组

20、成间变化的情况；频域描述则反映出信号的频率组成及其幅值、相位的大小。为了解决问题，往往需要及其幅值、相位的大小。为了解决问题，往往需要掌握信号不同方面的特征。因而可采用不同的描述掌握信号不同方面的特征。因而可采用不同的描述方式。例如：评定机器振动烈度，需用振动速度的方式。例如：评定机器振动烈度，需用振动速度的均方根值来作为判据。若速度信号采用时域描述就均方根值来作为判据。若速度信号采用时域描述就是很快求得均方根值。而在寻求振源时，需要掌握是很快求得均方根值。而在寻求振源时，需要掌握振动信号的频率分量，这就需采用频域描述。振动信号的频率分量，这就需采用频域描述。机械工程测试技术基础机械工程测试技

21、术基础实际上，两种描述方法可以相互转换的，而实际上，两种描述方法可以相互转换的，而且包含有同样的信息量。采用时域还是频域且包含有同样的信息量。采用时域还是频域来描述信号，完全取决于不同测试任务的需来描述信号，完全取决于不同测试任务的需要。时域描述直观地反映信号随时间变化的要。时域描述直观地反映信号随时间变化的情况，频域描述则侧重于描述信号的结构，情况，频域描述则侧重于描述信号的结构，即信号所包含的频率分量。但无论哪一种描即信号所包含的频率分量。但无论哪一种描述方法，同一信号均含有相同的信息，不会述方法，同一信号均含有相同的信息，不会因采取的描述方法不同而增添或减少原信号因采取的描述方法不同而增

22、添或减少原信号的信息量。的信息量。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2.2 2.2 信号的频谱分析信号的频谱分析机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础000( )()02( )02x tx tnTTAtx tTAt 若该周期方波用傅里叶级数展开，即得：若该周期方波用傅里叶级数展开，即得：上式说明该周期方波是由一系列幅值和频率不等，相位角为上式说明该周期方波是由一系列幅值和频率不等，相位角为0 0的的正弦信号叠加而成。正弦信号叠加而成。000001411141( )(sinsin3sin5.sin)(sin)35nAAx ttttntntnn例如：图示是一个周期方波信号的时域描述。根据例

23、如：图示是一个周期方波信号的时域描述。根据这个波形图，我们可以写出其函数表达式。这个波形图，我们可以写出其函数表达式。n=1、3、5 ,002T信号合成示例信号合成示例机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础信号的频谱信号的频谱 在信号分析中，将组成信号的各频率在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出来，按序排列，得出信号的频谱。成分找出来，按序排列，得出信号的频谱。若以频率为横坐标，分别以幅值或相位为若以频率为横坐标，分别以幅值或相位为纵坐标，即得到信号纵坐标，即得到信号幅频谱幅频谱和和相频谱相频谱。频。频谱表示了信号的各频率成分，以及各频率谱表示了信号的各频率成分，

24、以及各频率成分的幅值和相位。成分的幅值和相位。信号的幅频谱和相频谱信号的幅频谱和相频谱：机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 信号的频率特性，可用信号的频谱来表示。在频信号的频率特性，可用信号的频谱来表示。在频谱中，包含了信号的全部信息量。谱中，包含了信号的全部信息量。 频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限，但因原始信号的能量一般集中在频率较展至无限，但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程应用上一般忽略高于某一频率的低范围内，在工程应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率范围称为该信号的频

25、带。分量。频谱中该有效频率范围称为该信号的频带。 在频域上分析信号的方法称为频谱分析。在频域上分析信号的方法称为频谱分析。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础频谱分析的应用频谱分析的应用 在生活中也有许多应用频域分析的场合，例如可以用频谱分析仪来对电子琴校音，看各琴键产生的音的频率是不是准确 等等。 频域分析主要用于识别信号中的周期分量，是频域分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。信号分析中最常用的一种手段。案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然析，确定最大频率分

26、量，然后根据机床转速和传动链，后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。找出故障齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转界转速，确定螺旋浆转速工作范围。速工作范围。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础图中图中结论结论：任何信号都有相应于时域波形的确定性频率结构即频：任何信号都有相应于时域波形的确定性频率结构即频谱，信号在时域上有所变化，必然引起其频谱发生相应的变化。谱，信号在时域上有所变化，必然引起其频谱发生相应的变化。例：例：机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机

27、械工程测试技术基础2-2-1 2-2-1 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱l周期信号是经过一定时间后可以重复出现的信号，满足条件 x ( t ) = x ( t + nT ) l周期信号的重要特征：它们可以表示成无穷多个正弦和余弦函数之和。这个正弦和余弦函数的系列称为傅里叶级数。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础一、傅里叶级数定义二、傅里叶级数展开式（周期信号的频域分析）三、周期信号的时域波形分析2-2-1 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础一、傅里叶级数的定义一、傅里叶级数的定义l傅里叶级数：

28、描述周期信号的基本数学工具，通过它可以把周期信号展开成无穷多个正弦或余弦函数之和。它有两种表达形式：三角函数展开式、复指函数展开式。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础二、傅里叶级数的展开式二、傅里叶级数的展开式l1、三角函数展开式（条件）0001( )cossinnnnx taantbnt0000002002200220021( )2( ) c o s2( ) sinTTTTnTTnax t d tTax tntd tTbx tntd tT在一个周期内，具有有限个极大值和极小值在一个周期内有连续或有限个间断点函数的绝对可积 其中：，(n(n1 1、2 2、3 3)

29、 )T周期，周期，T=2/0；0周期信号角频周期信号角频率，又称基频；率，又称基频；f0= 0 /2机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础l傅里叶级数展开式表明，任意一个周期信号都可以认傅里叶级数展开式表明，任意一个周期信号都可以认为由两种基本信号所组成。一类是由为由两种基本信号所组成。一类是由a0描述的直流分描述的直流分量量、一类是由许多正交的、幅值分别以、一类是由许多正交的、幅值分别以an、bn描述的、描述的、频率各为基频及其整数倍的余弦和正弦分量（即谐波）频率各为基频及其整数倍的余弦和正弦分量（即谐波）的迭加而成的。因此傅里叶级数表达了组成周期信号的迭加而成的。

30、因此傅里叶级数表达了组成周期信号各分量的频率结构。各分量的频率结构。0001( )cossinnnnx taantbnt机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 注意：注意：（1）若周期信号为奇函数，则 （2）若x(t)为偶函数时，则0na 00a 01( )sinnnx tbn0nb 001( )cosnnx taant机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础（3 3） x(t)x(t)非奇非偶时非奇非偶时22nnnAab001( )sin()nnnx taAn t，或或 cossin000122cossin00022221xtaantbntn

31、nnabnnaabntntnnnababnnnn令令 则则 001( )cos()nnnx taAn tnnnatgb，nnnbtga 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础0sin()nnAnt000021nnT从式可见，周期信号是由一个或几个、乃至从式可见，周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。以角频率无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。以角频率为横为横坐标，幅值坐标，幅值An或相角或相角n为纵坐标作图，则分别得其为纵坐标作图，则分别得其幅幅频谱频谱和和相频谱相频谱图。图。 由于由于n是整数序列，各频率成分都是是整数序列，各频率成分都是0的整

32、倍数，通常的整倍数，通常把把0称为称为基频基频把成分把成分 称为称为n次谐波次谐波。相邻相邻频率间存在间隔频率间存在间隔 ，因而，因而谱线是离散的，信号的谱线只会出现在等离散频率点上，谱线是离散的，信号的谱线只会出现在等离散频率点上，周期信号的频谱为周期信号的频谱为离散频谱。离散频谱。001( )sin()nnnx taAnt图示图示机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础(二二)、复指函数展开式、复指函数展开式000111( ) ()()22jntjntnnnnnx taajb eajb e 引用数学上的欧拉公式，并将欧拉公式代入引用数学上的欧拉公式，并将欧拉公式代入

33、三角函数三角函数展开式展开式得：得： 令1()2nnnCajb1()2nnnCajb00Ca，000011( )jntjntjntnnnnnnx tCC eC eC e则其中0002021( )TjntTnCx t edtTnjnnRnInCCjCC e机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2222122nnnRnInnACCCabarctannInnnnRnCbarctgCa则0()( )njntnnx tCe ，n1,2,3例如：例如：wwAnAw0w0-w000A/2Cn单边谱双边谱w000( )cos()2jtjtAx tAtee机械工程学院机械工程学院机械工

34、程测试技术基础机械工程测试技术基础例：例：周期方波频谱图周期方波频谱图机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础3、周期信号频谱的特点：、周期信号频谱的特点：1 离散性：周期信号的频谱是离散的，每一条谱线代表一谐波分量。2 谐波性：周期信号频谱中的谱线只能出现在基频的整数倍处。3 收敛性：各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相角。工程中常见的周期信号其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增加而减小的。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 4、小结 周期信号频谱特点：离散性、谐波性、收敛性 傅立叶级数的物理意义：把一个复杂的周期运动看作许多不同频率简

35、谐运动的叠加。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础例例：求求周期方波信号x(t)的频谱 解：根据公式先求出解：根据公式先求出 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础例：例：求求周期方波信号x(t)的频谱则其频谱为（则其频谱为（用正弦函数表达式绘图）：）：其傅立叶展开式为：其傅立叶展开式为：机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础三、周期信号的强度描述三、周期信号的强度描述（时域波形分析）时域波形分析） 信号的时域波形分析是最常用的信号分析手信号的时域波形分析是最常用的信号分析手

36、段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。波形，读取特征参数。 1、信号波形图、信号波形图 2、周期、周期T，频率，频率f=1/T3、峰值、峰值xP（指波形上与零线的最大偏离值）指波形上与零线的最大偏离值） ：4、峰、峰-峰值峰值xp-p（指信号在一个周期内最大幅值与最小幅值之差）（指信号在一个周期内最大幅值与最小幅值之差）tAT Pxp-pmax( )Pxx t机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 峰值在实际应用中有它的价值。对信号的峰值应该有足够峰值在实际应用中有它的价值。对信号的峰值应该有足够的估计，以便确定测试系统的动态

37、范围，不至于产生削波的现的估计，以便确定测试系统的动态范围，不至于产生削波的现象，从而能真实地反映被测信号的最大值。象，从而能真实地反映被测信号的最大值。 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础4、均值、均值 均值均值 表示集合平均值或数学期望值。表示集合平均值或数学期望值。0Atx均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。分量。0001( )Txux t dtTxu机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础周期信号全波整流后的均值就是信号的绝对均值周期信号全波整流后的均值就是信号的绝对均值 。0001( )Txux

38、tdtTxu机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。 信号的均方值根信号的均方值根 ，又称为有效值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。也是信号平均能量的一种表达。 02001( )Trm sxxt dtTrmsx有效值的平方有效值的平方均方值就是信号的平均功率，即：均方值就是信号的平均功率，即：02001( )Ta vPxt d tT5、有效值、有效值rmsx机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础6、方差、方差方差：反映了信号绕均值的波动程度。

39、方差：反映了信号绕均值的波动程度。 信号信号x(t)的方差定义为：的方差定义为： 222001( ( ) ( ) ( ( )TxxE x tE x tx tdtT大方差大方差 小方差小方差 机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础l信号的峰值、绝对值和有效值的检测，可以用三值电压表和普通的电工仪表来测量；各单项值也可以根据需要用不同的仪表来测量，如示波器、直流电压表等。 实测时：实测时：机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础信号的时域波形分析信号的时域波形分析 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础

40、机械工程测试技术基础7、波形分析的应用(1)、信号类型识别 (2)、信号基本参数识别 Pp-p机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础附：傅立叶级数展开式（三角展开式）附：傅立叶级数展开式（三角展开式）0000011( )cossinsin()nnnnnnx taantbntaAnt0000002002200220022211( )2( ) c o s2( ) sin,TTTTnTTnnnnnnnax t d tTax tntd tTbx tntd tTaAabtgb 其中：其中：机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2.3 瞬变非周期信号与连

41、续频谱l一、准周期信号及其 频谱 离散离散图例：合成准周期信号的合成准周期信号的周期成分之频率比周期成分之频率比是无理数，多个独是无理数，多个独立振源激励起某对立振源激励起某对象的振动多属这种象的振动多属这种信号。信号。机械工程学院机械工程学院机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础二、瞬变非周期信号与连续频谱0T 周期信号瞬变非周期信号002TT 周期信号频谱（离散频谱） 瞬变非周期信号（，连续频谱） 0机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础在数学上，上式称为在数学上，上式称为傅里叶积分傅里叶积分式式。 0T 周期信号瞬变非周期信号00000

42、T2Tn-201( )e(x(t)edt)eTjntjntjntnnx tC周期信号求取频谱：1(t)2j txed -j t则瞬变非周期信号=(x(t)edt)00(,)(,)22TT ；002dT；0n；机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础1( )( )2jtjtx tx t edt ed 代入两式后，使公式简化为： 当以1( )( ),( )( )2j tj tx tXedXx t edt22( )( ),( )( )jftjftx tX f edfX fx t edt在上式括号内对时间在上式括号内对时间t积分之后，仅是角频率积分之后，仅是角频率的函数，的函数

43、，记做记做X()，则则( )( )FTIFTx tX( )( )FTIFTx tX f机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础注意：注意：X(f)X(f)称为称为频谱密度函数频谱密度函数。一般是频。一般是频率率f f的复变函数，可用实、虚频谱形式和的复变函数，可用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式表示：幅、相频谱形式表示： v 一般瞬变非周期信号的频谱具有一般瞬变非周期信号的频谱具有连续性连续性、密度密度性性和和收敛性收敛性等特性。等特性。x tX f edfX fx t edtjftjft( )()()( )22)()()(fjefXfX)(Im)(Re)(22fXfXf

44、X)(Re)(Im)(fXfXarctgf( )Re( )Im( )X fX fjX f机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 与周期信号相似，非周期信号也可以分解与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期由于非周期信号的周期T，基频，基频fdf，它，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数谱不能再用幅值表示，而必须

45、用幅值密度函数描述。描述。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础例如：求矩形窗函数例如：求矩形窗函数 的频谱的频谱( )w t12( )02Ttw tTt解：其频谱为解：其频谱为22221( )( )()2TjftjftjfTjfTTW fw t edtedteejf，1sin()()2jfTjfTfTeej 由于由于sin( )sin ()fTW fTTcfTfT代入上式得代入上式得机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础三、傅立叶变化的性质三、傅立叶变化的性质l1、线性叠加性l2、对称性l3、时间尺度改变性l4、时移特性l5、频移特性l6、卷积特性l7、微分和积分

46、特性机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础1 1、线性叠加性质、线性叠加性质 傅里叶变换是一种线性运算，满足线性叠加性质。也即，在处理多个叠加信号的傅里叶变换时，可对其组成项逐项进行变换，然后用相加的方法得到其总的傅立叶变换值。如下式：机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化+机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2 2、对称性、对称性 利用已知的傅里叶变换方法可方便地得出相应的变换对。机械工程学院机械工程学院机械工程

47、测试技术基础机械工程测试技术基础3 3、时间尺度改变性、时间尺度改变性 信号时域波形被压缩或扩展，则对应的频谱要扩展或压缩。傅里叶变换的尺度特性对于测试系统的分析是很有帮助的。例如，把记录磁带慢录快放，即为时间尺度的压缩，这样可提高处理信号的效率，但所得到的播放信号频带就会加宽。若后处理设备，如放大器、滤波器等的通频带不够，就会导致失真。反之，快录慢放，则播放信号的带宽变窄，对后续处理设备的通频带要求降低，但信号处理效率也随之降低。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础4 4、时移特性、时移特性信号 在时域中沿时间轴左移(或右移)t0 ,其频谱函数乘以因子 ，幅频不变

48、,相频改变 。 即： （应用：测试幅频谱时，可不考虑测试时间起点） 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础5、频移特性、频移特性信号 的频谱沿频率轴左移(或右移) ,等效于在时域信号乘以 。等于将信号频谱平移。 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 时域中信号卷积，对应着频域乘积；而时域中的信号乘积,对应着频域卷积 。即：6、卷积特性、卷积特性机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础7 7、微分和积分特性、微分和积分特性 信号在时域中的微分对应于其频谱在频域中乘以算子 。即： 在振动测试中，如果测得振动系统的位移、速

49、度或加速度中的任一参数，应用微分、积分特性就可以获得其他参数的频谱。 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础四、几种典型信号的频谱四、几种典型信号的频谱1、矩形窗函数( )w t 1）一个在时域有限区间有值的信号，其频谱延伸至无穷频率。 2）若在时域截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数的乘积，因而所得频谱将是原信号和sinc函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。 3）矩形窗函数频谱的特点（主瓣、旁瓣、频谱图形等）机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础l解释：若在时域截取信号的一段记录长度，解释：若在时域截取信号的一段记录

50、长度，则相当于原信号和矩形窗函数的乘积，因而则相当于原信号和矩形窗函数的乘积，因而所得频谱将是原信号和所得频谱将是原信号和sinc函数的卷积，它函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。将是连续的、频率无限延伸的频谱。0cos,( )0,ttTx ttT例如：1,( )1,0,tTw ttTtT( )cosoy tt则：000cos1,cos,( )( )( )cos0,0,ttTttTx ty tw tttTtT，机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2 2、脉冲函数及其频谱、脉冲函数及其频谱 1 1）定义）定义,0( )0,0ttt极值定义：面积定义：图形描述

51、：在工程上一般用一个强度为1的有向线段表示该函数。1)( dtt机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2）特性：）特性：机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础3 3）频谱）频谱函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”。函数是偶函数，即1)()(02edtetfftj,0( )0,0 FTIFTttt机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础根据傅立叶变换的对称性质和时移、频移特性，可以得到下列傅立叶变换对：机械工程学院机械工程学院机械工程测试

52、技术基础机械工程测试技术基础3、正余弦函数（谐波信号）的频谱密度函数 002200011sin2() ()()22 FTjf tjf tIFTf tjeejffff002200011cos2() ()()22 FTjf tjf tIFTf teeffff机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础4、周期单位脉冲序列函数（采样函数）的频谱( ,)()ndefssncomb t TtnT11( ,)()()sskkssskcomb f ffkffTTT机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基

53、础2.4 2.4 随机信号随机信号一、概述一、概述随机信号是非确定性随机信号是非确定性信号，具有随机性，信号，具有随机性，每次观测的结果都不每次观测的结果都不尽相同，任一观测值尽相同，任一观测值只是在其变动范围中只是在其变动范围中可能产生的结果之一，可能产生的结果之一，因此不能用明确的数因此不能用明确的数学关系式来描述。但学关系式来描述。但其变动服从统计规律。其变动服从统计规律。可以用概率和统计的可以用概率和统计的方法来描述信号。方法来描述信号。 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 ( )x t12( ) ( ),( ),( )nx tx t x tx t随机过程

54、：在同一试验条件下，全部样本函数的集合随机过程：在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体总体)就是随机过就是随机过程，记作即程，记作即 ( )x t样本函数：对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录，记作 。样本记录：在有限时间区域上的样本函数。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 时间平均时间平均是按单个样本的时间历程是按单个样本的时间历程进行平均的计算进行平均的计算。 集合平均集合平均是某时刻对所有样本函数的观测值求平是某时刻对所有样本函数的观测值求平均的计算均的计算。随机过程的各种平均值，如均值、方差、随机过程的各种平均值，如均值、方差、均方值和均方根值等，是按集合平均来计算的

55、。均方值和均方根值等，是按集合平均来计算的。 平稳随机过程平稳随机过程是统计特征参数不随时间变化而改是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程变的随机过程。否则就是非平稳随机过程。否则就是非平稳随机过程。 各态历经随机过程各态历经随机过程是平稳随机过程中任取一个样是平稳随机过程中任取一个样本函数，其时间平均参数与所有样本函数在某时刻的本函数，其时间平均参数与所有样本函数在某时刻的集合平均参数一致集合平均参数一致。一般工程上遇到的平稳随机过程。一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。大多数是各态历经随机过程。有的信号虽不是严格的有的信号虽不是严格的各态历经，但也可作为各态历经过程来

56、处理各态历经，但也可作为各态历经过程来处理。 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础平稳随机信号和非平稳随机信号平稳随机信号和非平稳随机信号噪声信号噪声信号(平稳平稳)统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 事实上，一般的随机过程需要有足够多的样本事实上，一般的随机过程需要有足够多的样本来描述它，而要进行大量的观测来获得足够多的样来描述它，而要进行大量的观测来获得足够多的样本函数是非常困难的、甚至是不可实现的。因此，本函数是非常困难的、甚至是不可实现的。因此，实际测试中常以一个或几个有限

57、长度的样本记录来实际测试中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断、估计被测对象的整个随机过程，以其时间平推断、估计被测对象的整个随机过程，以其时间平均代替集合平均。均代替集合平均。 一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。历经随机过程。有的信号虽不是严格的各态历经，有的信号虽不是严格的各态历经，但也可作为各态历经过程来处理但也可作为各态历经过程来处理。本书对随机过程本书对随机过程的讨论仅限于各态历经随机过程的范围。的讨论仅限于各态历经随机过程的范围。机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础 要完整地描述一个各态历经随

58、机过程，理论上要要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要有无限长时间记录。但实际上这是不可能的。通常用有无限长时间记录。但实际上这是不可能的。通常用统计方法对以下三个方面进行数学描述：统计方法对以下三个方面进行数学描述： （1）幅值域描述）幅值域描述: 均值、均方值、方差、概率密度均值、均方值、方差、概率密度函数等。函数等。 （2）时间域描述）时间域描述:自相关函数、互相关函数。自相关函数、互相关函数。 （3）频率域描述）频率域描述: 自功率谱密度函数、互功率谱密自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。度函数。二、随机信号的统计特性二、随机信号的统计特性机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础( (二二) ) 随机过程的统计参数随机过程的统计参数 1. 1. 均值（反映直流分量）均值（反映直流分量） TTxdttxT0)(1limX(t)X(t)各态历经随机过程的样本记录各态历经随机过程的样本记录T T样本记录时间样本记录时间 工程实际用估计值（采用直流电压表实现）工程实际用估计值（采用直流电压表实现） TxdttxT0)(1对时间平均对时间平均 机械工程学院机械工程学院机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础2. 2. 方差（反映交流分量）方差（反映交流分量） TxTxdttx022)(lim反映了随机变量对均