直线和圆的位置关系A教师版

1、只要功夫下得深，梦想一定能成真! 第3讲 直线和圆的位置关系 【基础知识精讲】 知识点1、直线和圆的三种位置关系：知识点2、切线的判定和性质：d<rd=rd>r关 系相交相切相离交点个数两个交点一个交点没有交点直线名称割线切线不相交线1、 判定：（1）当圆心到直线的距离d等于半径r时，直线是圆的切线； （2）经过半径外端垂直于的半径的直线，是圆的切线。2、性质：如果一条直线与圆相切，若满足：（1）过圆心，（2）过切点，（3）垂直于切线其中任意两个条件，则必满足第三个条件。ADCBABP知识点3、弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。知识点4、切线长定理：从圆外一点向圆所引的两条切

2、线段长相等；APDCBABTPDC知识点5、圆幂定理：（1）PA·PB=PC·PD （相交弦定理） （2）PT²=PA·PB=PC·PD（切割线定理）AcbIaCBAcbBCar知识点6、圆与三角形：（1）， （2）， 注意：(1)“连半径证垂直得切线”。“作垂直证半径得切线”。(2) 见切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。 【典例精讲】考点1、切线的性质和判

3、定例1、（2011梧州）如图，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为C延长AB交CD于点E连接AC，作DAC=ACD，作AFED于点F，交O于点G（1） 求证：AD是O的切线；（2） 如果O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长（1）证明：连接OCOCD=90°OCA+ACD=90°OA=OC，OCA=OACDAC=ACD，OCA+DAC=90°0AC+CAD=90°OAD=90°AD是O的切线（2）解：连接BG；OC=6cm，EC=8cm，在RtCEO中，OE2=OC2+EC2 =100AE=OE+OA=16AFED，AFE=OCE=90&

4、#176;，E=ERtAEFRtOECAF：OC =AE：OE 即：AF ：6 =16 ：10 AF=9.6AB是O的直径，AGB=900AGB=AFEBAG=EAF，RtABGRtAEFAG ：AF =AB： AE 即：AG： 9.6 =12： 16 AG=7.2GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4（cm）考点2、圆幂定理：例2、（1）如图，已知PT是0的切线，PAB、PCD是0的割线，BCPT，连接DA并延长交PT与Q求证：PQ=TQ证明：QPAQDP,PQ2=QA.QD,TQ2=QA.QD,PQ=TQ考点3、圆和三角形例3、(2011大庆) 如图，的两直角边边长为4，边长为3，它的内

5、切圆为0，0与边、分别相切于点、，延长交斜边于点(1)求的半径长； (2)求线段的长提示：（1）1由AD=AF=AC-FC=4-1=3,在正方形OECF中，CO(即CG)平分BCAAG/GB=AC/CB即AG/AB=AC/(AC+CB)AG=AB·AC/(AC+CB)=5×4/(4+3)=20/7DG=AD-AG=3-20/7=1/7考点4、圆的综合题型AMOEDCB例4、如图，在半径为的中，是两条直径，是的中点，的延长线交于，设，。用含和的代数式表示的长，并求证；当且时，求的值；由图形求出的取值范围，试问：上是否存在一点，使的长是方程的相等实根，若存在，求出的值，若不存在

6、，请说明理由。解：CDE中，DE2+CE2=CD2,()2+(x+CM)2=82,CM=-x,由相交弦定理知：EM.CM=AM.BM,x.CM=62,CM=,=-x,CM=-x=7-x,7-x=,x1=3,x2=4,x=4,=2<<6,=()2-4×12=0,a=16,x=2,OE2=EM2+OM2,OME=900,=例5、如图，第一象限内半径为4的C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作C的切线交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为y=kx+6.(1)设点P的纵坐标为p，写出p随x变化的函数关系式。(2)设C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P

7、处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有AMNABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似，给予证明。(3)是否存在使AMN的面积等于的K值？若存在，请求出符合的K值，若不存在，请说明理由. 解：（1）y轴和直线l都是C的切线，OAAD，BDAD；又OAOB，AOB=OAD=ADB=90°，四边形OADB是矩形；C的半径为4，AD=OB=8；点P在直线l上，点P的坐标为（8，p）；又点P也在直线AP上，p=8k+6；（2）连接DNAD是C的直径，AND=90°，ADN=90°-DAN，ABD=90°-DAN，ADN=ABD，又ADN=AMN，AB

8、D=AMN，MAN=BAP，AMNABP；（3）存在理由：把x=0代入y=kx+6得：y=6，即OA=BD=6，AB2= AD2+BD2 = 82+62 =102，SABD= ABDN= ADDB，DN=AD×BD：AB =8×6：10 =24：5 ，AN2=AD2-DN2=82-（ ）2= ，AMNABP，SAMN：SABP =（AN：AP ）2，即SAMN=（AN：AP ）2SABP=AN2SABP：AP2 ，当点P在B点上方时，AP2=AD2+PD2=AD2+（PB-BD）2=82+（8k+6-6）2=64（k2+1），或AP2=AD2+PD2=AD2+（BD-PB）

9、2=82+（6-8k-6）2=64（k2+1），SABP= PBAD= （8k+6）×8=8（4k+3），SAMN=AN2SABP:AP2 =1024×8(4k+3): 25×64(k2+1) =128(4k+3):25(k2+1) =128:25 ，整理得：k2-4k-2=0，解得k1=2+，k2=2- ，当点P在B点下方时，AP2=AD2+PD2=82+（6-8k-6）2=64（k2+1），SABP= PBAD=-（8k+6）×8=-8（4k+3），SAMN=AN2SABP： AP2 =-1024×8(4k+3) ：25×64(k

10、2+1) =128：25 化简得：k2+4k+4=0，解得：k1=k2=-2，综合以上所得，当k=2± 或k=-2时，AMN的面积等于128：25 点评：本题主要考查了梯形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解【名书·名校·竞赛·中考在线】ODGCAEFBP1、（成都）如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）若，且的半径长为，求和的长度（1）证明：是的直径，

11、是的切线，又，易证，是的中点，（2）证明：连结是的直径，在中，由（1），知是斜边的中点，又，是的切线，是的切线（3）解：过点作于点，由（1），知，由已知，有，即是等腰三角形，即，四边形是矩形，易证ODGCAEFBP，即的半径长为，解得，在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）或取的中点，连结，则易证，故，由，易知，由，解得又在中，由勾股定理，得，（舍去负值）CEBMADO2、（成都）如图，已知的半径长为2，以的弦为直径作M，点是优弧AB上的一个动点（不与点，点重合）连结，分别与M相交于点，点，连结若（1）求的度数； （2）求的长；（3）如果记，那么在点的运动过程中，试用含的代数式表示解：（1）连结

12、则在中，连结则3分（2）在和中，连结则在中，即3分或：点在上移动，恒为，长始终不变当点移动到延长线与交点处时，可求得（3）连结是的直径，由，可得，在中， ；又由（2），知3分在中，1分3、（成都）如图，RtABC内接于O，AC=BC，BAC的平分线AD与0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G (1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2) 求证：AE=BF；(3) 若，求O的面积。4、（成都）已知：如图，内接于，为直径，弦于，是弧AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、（1）求证：是的外心； （2）若,求的

13、长； （3）求证：(FP+PQ)2=FP·FG（1）证明：C是的中点，CAD=ABC，AB是O的直径，ACB=90°。CAD+AQC=90°，又CEAB，ABC+PCQ=90°AQC=PCQ，在PCQ中，PC=PQ，CE直径AB，CAD=ACE。在APC中，有PA=PC，PA=PC=PQ，P是ACQ的外心。（2）解：CE直径AB于F，在RtBCF中，由tanABC=，CF=8，得。由勾股定理，得，AB是O的直径，在RtACB中，由tanABC=，得。易知RtACBRtQCA，。（3）证明：AB是O的直径，ACB=90°，DAB+ABD=90&#

14、176;又CFAB，ABG+G=90°，DAB=G；RtAFPRtGFB，即，易知RtACFRtCBF，（或由摄影定理得），由（1），知PC=PQ，FP+PQ=FP+PC=FC，家庭作业第一部分：1.（2011安徽）如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则O 的半径是_.第二部分： 2（2011广安）如图所示，P是O外一点，PA是O的切线，A是切点，B是O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q（1）求证：PB是O的切线；（2）求证：AQPQ=OQBQ；（3）设AOQ=，若cos= ，OQ=15，求AB

15、的长解答：（1）证明：连接OP，与AB交于点CPA=PB，OA=OB，OP=OP，OAPOBP（SSS），OBP=OAP，PA是O的切线，A是切点，OAP=90°，OBP=90°，即PB是O的切线；（2）证明：Q=Q，OAQ=QBP=90°，QAOQBP，AQ:BQ =OQ:PQ ，即AQPQ=OQBQ；（3）连OP并交AB于点C，在RtOAQ中，OQ=15，cos= ，OA=12，AQ=9，QB=27；AQ:BQ =OQ:PQ ，PQ=45，即PA=36，OP=12 ；APO=APO，PAO=PCA=90°,PACPOA，PA:PO =AC:AO ，PAOA=OPAC，即36×12=12 AC，AC= ，故AB= 第三部分 P A D O BC3、已知，如图，是O的直径，点在半圆上，垂足为，切线交的延长线于，的长是关于的方程的两根，且，求和的长解：设AD=x，则BD=4x，AD：BD=1：4，方程x2-（4m+2）+4m2=0（m0）有两个不相等的实数根，x+4x=4m+2，x4x=4m2，m0，x=m，5m=4m+2，解得m=2，AD