专题04数列劣构性解答题突破B辑（解析版）

1、专题04数列劣构性解答题突破b辑（解析版） 2021 年 高考 数学 压轴必刷题 （第三 辑） ） 专题 04 数列劣构性解答题突破 b 辑 1在102nnaa+ = ，16 6 1n na a+= - ，18n na a n+= + - 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：设ns 是数列 na 的前 n 项和，且14 a = ，_，求 na 的通项公式，并判断ns 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 【答案】选：312nna-æ ö= -ç ÷è ø，存在，最大值 4；选：1 256 6n

2、a n = - + ，存在，最大值 50；选：217 242nn na- += ，不存在，理由见解析. 选：因为102nnaa+ = ，即112nnaa+= -，14 a = ， 所以数列 na 是首项为 4、公比为12- 的等比数列，1 31 142 2n nna- -æ ö æ ö= ´ - = -ç ÷ ç ÷è ø è ø， 当 n 为奇数时，14 128 1113 212nnnsé ùæ ö- -ê 

3、50;ç ÷è øê ú æ öë û= = +ç ÷è ø+， 因为8 113 2 næ ö+ç ÷è ø随着 n 的增大而减小，所以此时ns 的最大值为14 s = ； 当 n 为偶数时，14 128 1113 212nnnsé ùæ ö- -ê úç ÷è øê ú 

4、30; öë û= = -ç ÷è ø+，且8 1 81 43 2 3nnsæ ö= - < <ç ÷è ø， 综上，ns 存在最大值，且最大值为 4. 选：因为16 6 1n na a+= - ，即116n na a+- = - ，14 a = ， 所以 na 是首项为 4、公差为16- 的等差数列， ( )1 1 254 16 6 6na n næ ö= + - × - = - +ç ÷è

5、ø， 1 2506 6n - + ³ ，解得 25 n £ ，240 a > ，250 a = ， 故ns 存在最大值，且最大值为25s 或24s ， 2525 24 14 25 502 6s´ æ ö= ´ + ´ - =ç ÷è ø，ns 的最大值为 50. 选：因为18n na a n+= + - ，所以18n na a n+- = - ， 所以2 17 a a - =- ，3 26 a a - =- ，19n na a n- = - ， 则 ( ) ( ) (

6、)( )( )21 1 1 2 2 17 9 1 17 162 2n n n n nn n n na a a a a a a a- - - + - - - +- = - + - +×××+ - = = ， 因为14 a = ，所以217 242nn na- += ， 当 16 n ³ 时， 0na > ，故ns 不存在最大值. 2在3 2 5 25 6 a a a b = + = ， ；2 3 4 32 3 b a a b = + = ， ；3 4 5 29 8 s a a b = + = ， ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知

7、等差数列 na 的公差为 ( ) 1 d d > ，前 n 项和为ns ，等比数列 nb 的公比为 q，且1 1a b d q = = ， ，_ （1）求数列 na ， nb 的通项公式 （2）记nnnacb=，求数列 nc ，的前 n 项和nt 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1）见解析（2）见解析 方案一：选条件 （1）3 2 5 2 1 15 6 1 a a a b a b d q d = = = = > ， ， ， ， 11 12 52 5 6a da d a d+ = ì í+ =î 解得112ad= ì&

8、#237;=î或1256512adì=ïïíï=ï î（舍去） 112bq= ì í=î ( )11nn d a a = 2 1 n = - 1 112n nnb bq- -= = （2）nnnacb= 112 1 1(2 1) ( )2 2nnnnc n- = = - ´ 2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2n nnt n n- -æ ö æ ö æ ö = + ´ +

9、 ´ + + - ´ + - ´ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø 2 3 11 1 1 1 1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2n nnt n n-æ ö æ ö æ ö æ ö = + ´ + ´ + + - ´ + - ´ç ÷ ç ÷ ç

10、÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø 2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2n nnt n-é ùæ ö æ ö æ ö = + + + + - - ´ê ú ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è øê ú&#

11、235; û 11 112 211 2 (2 1)1212nnn-é ùæ ö-ê ú ç ÷è øê ú æ öë û= + ´ - - ´ ç÷è ø- 13 (2 3)2nnæ ö= - + ´ ç÷è ø 116 (2 3)2nnt n-æ ö = - + ´

12、ç÷è ø 方案二：选条件 （1）2 3 4 3 1 12, 3 , , , 1 b a a b a b d q d = + = = = > 121 122 5 3a da d a d= ì í+ =î 1122 5 6a da d d= ì í+ =î 解得112ad= ìí=î或112ad= - ìí= -î（舍去） 112bq= ì í=î 1( 1) =na a n d + - =2n-1 1

13、 112n nnb bq- -= = （2）nnnacb= 112 1 1(2 1) ( )2 2nnnnc n- = = - ´ 2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2n nnt n n- -æ ö æ ö æ ö = + ´ + ´ + + - ´ + - ´ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø 2 3 11 1 1 1

14、1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2n nnt n n-æ ö æ ö æ ö æ ö = + ´ + ´ + + - ´ + - ´ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø 2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2n nnt n-é ù

15、æ ö æ ö æ ö = + + + + - - ´ê ú ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è øê úë û 11 112 211 2 (2 1)1212nnn-é ùæ ö-ê ú ç ÷è øê ú æ &

16、#246;ë û= + ´ - - ´ ç÷è ø- 13 (2 3)2nnæ ö= - + ´ ç÷è ø 116 (2 3)2nnt n-æ ö = - + ´ ç÷è ø 方案三：选条件 3 4 5 2 1 19, 8 , , , 1 s a a b a b d q d = + = = = > 11 132 7 8a da d a d+ = ì í

17、;+ =î 解得112ad= ìí=î或121838adì=ïïíï=ï î（舍去） 112bq= ìí=î 1( 1)na a n d = + - 2 1 n = - 11nnb bq-= 12 n- = （2）nnnacb= 112 1 1(2 1)2 2nnnnc n- æ ö = = - ´ ç÷è ø 2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2n

18、nnt n n- -æ ö æ ö æ ö = + ´ + ´ + + - ´ + - ´ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø 2 3 11 1 1 1 1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2n nnt n n-æ ö æ ö æ ö æ ö = + ´ + &

19、#180; + + - ´ + - ´ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø 2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2n nnt n-é ùæ ö æ ö æ ö = + + + + - - ´ê ú ç ÷ ç ÷ ç

20、; ÷è ø è ø è øê úë û 11 112 211 2 (2 1)1212mnn-é ùæ ö-ê ú ç ÷è øê ú æ öë û= + ´ - - ´ ç÷è ø- 13 (2 3)2nnæ ö= - + ´ ç

21、;÷è ø 116 (2 3)2nnt n-æ ö = - + ´ ç÷è ø 3在113 a = ，105 s = - ；37 a = ，75 a =- ；330 s = ，535 s = 这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列 na 满足_. （1）求数列 na 的通项公式； （2）求数列 na 的前 n 项和ns ，以及使得ns 取得最大值时 n 的值. 【答案】（1）选条件 16 3na n = - ，选条件 16 3na n = - ，选条件 16 3na n = - ，（2

22、）229 32=-nn ns ；5 n = 时，ns 最大为. （1）选条件， 因为数列 na 是等差数列，设公差为 d ， 由110 11310 910 52as a d= ìïí ´= + = -ïî解得： 3 d = - ， 所以 ( ) 13 ( 1) 3 16 3na n n = + - ´ - = - ， 选条件， 因为数列 na 是等差数列，设公差为 d ， 3 17 12 76 5a a da a d= + = ìí= + = -î解得：1133ad= ìí=

23、 -î 所以 ( ) 13 ( 1) 3 16 3na n n = + - ´ - = - ， 选条件， 因为数列 na 是等差数列，设首项为1a ，公差为 d ， 由3 15 13 23 3025 45 352s a ds a d´ ì= + =ïïí´ï= + =ï î即11102 7a da d+ = ìí+ =î，解得1133ad= ìí= -î ， 所以 ( ) 13 ( 1) 3 16 3na n n = + -

24、´ - = - （2）由（1）知 16 3na n = - ， ( )21 29 32 2nna an ns n-=+=， 令 16 3 0na n = - > ，可得 5 n £ ， 令 16 3 0na n = - < ，可得 6 n > ， 所以 na 前 5 项都是正值，从第 6 项起是负值， 故当 5 n = 时，ns 最大. 2529 5 3 5352s´ - ´= = . 4已知ns 是等差数列 na 前 n 项和，30, 15na s > = ，公差 1 d > 且 从"21 a - 为11 a -

25、 与31 a + 的等比中项' ，"等比数列 nb 的公比1 2 3 31, ,2q b a b a = = = '这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列 na 存在并作答. （1）求数列 na 的通项公式； （2）设数列11n na a+ì üí ýî þ的前 n 项和为nt ，求nt . 【答案】（1）答案见解析；（2）( ) 3 2 3nntn=+. 解：（1）若选，21 a - 为11 a - 与31 a + 的等比中项，则 ()( ) ( )21 3 21 1 1 a

26、a a - + = - ， 由 na 为等差数列，315 s = ，得23 15 a =25 a = 把25 a = 代入上式，可得 ( )( ) 4 6 16 d d - + = ，即22 8 0 d d + - = 解得 2 d = 或 4 d = - ，又因为公差 1 d > ，故 2 d = ， 13 a = ，故 2 1na n = + ； 若选，等比数列 nb 的公比，1 2 3 31, ,2q b a b a = = = 可得23 1b bq = ，即23 212a aæ ö=ç×÷è ø，即有 ( )

27、( )1 1124a d a d + = + 即13 7 0 a d + = ， 又315 s = ，可得113 3 2 152a d + ´ ´ = ，即15 a d + = ， 解方程得1514d = - < ，不符合题意，故选， 此时 2 1na n = + ； （2）因为 2 1na n = + ，所以( )( )11 1 1 1 12 1 2 3 2 2 1 2 3n na a n n n n+æ ö= = -ç ÷+ + + +è ø ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 5 5 7

28、 2 1 2 3 2 3 2 3 3 2 3nntn n n næ ö æ ö = - + - + + - = - =ç ÷ ç ÷+ + + +è ø è ø. 5在2 3 5 1a a a b + = - ，2 3 72 a a a × = ，315 s = 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列 na 的公差 0 d > ，前 n 项和为ns ，若_，数列 nb 满足11 b = ，213b = ，1 1 n n n na b nb

29、 b+ += - . （1）求 na 的通项公式； （2）求 nb 的前 n 项和nt . 【答案】（1）选： 3 1na n = - ；选： 3 1na n = - ；选： 3 1na n = - ；（2）选：( )31 32n - ；选： ( )31 32n - ；选：( )31 32n - 若选： （1）1 1 n n n na b nb b+ += - ， 当 1 n = 时，1 2 1 2ab b b = - ， 11 b = ，213b = ，12 a = . 又2 3 5 1a a a b + = - ，1 1 12 3 4 a d a d b + = + - ， 3 d = ，

30、 3 1na n = - ； （2）由（1）知： ( )1 13 1n n nn b nb b+ +- = - ，即13n nnb nb+= ，113n nb b+ = ， 又11 b = ， 数列 nb 是以 1 为首项，以13为公比的等比数列，113nnb-æ ö= ç ÷è ø ， ( )113 31 31213nnnt-æ ö- ç÷è ø = = -. 若选： （1）1 1 n n n na b nb b+ += - ， 当 1 n = 时，1 2 1 2ab b

31、b = - ， 11 b = ，213b = ，12 a = . 又2 3 72 a a a × = ， ( )( ) ( )1 1 12 2 6 a d a d a d + + = + ， 3 d = ， 3 1na n = - ； （2）由（1）知： ( )1 13 1n n nn b nb b+ +- = - ，即13n nnb nb+= ，113n nb b+ = ， 又11 b = ， 数列 nb 是以 1 为首项，以13为公比的等比数列，113nnb-æ ö= ç ÷è ø ， ( )113 31 31213nn

32、nt-æ ö- ç÷è ø = = -. 若选： （1）1 1 n n n na b nb b+ += - ， 当 1 n = 时，1 2 1 2ab b b = - ， 11 b = ，213b = ，12 a = . 又315 s = ，13 23 152a d´ + = ， 3 d = ， 3 1na n = - ； （2）由（1）知： ( )1 13 1n n nn b nb b+ +- = - ，即13n nnb nb+= ，113n nb b+ = ， 又11 b = ， 数列 nb 是以 1 为首项，以13为公

33、比的等比数列，113nnb-æ ö= ç ÷è ø ， ( )113 31 31213nnnt-æ ö- ç÷è ø = = -. 6在1 2 3, 1, a a a + 成等差数列；430 s = ；1 2 364 aa a = 三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 已知ns 是数列 na 的前 n 项和.若12 ( )n ns a a n n * = - Î ，10 a ¹ ，且满足 （1）求

34、数列 na 的通项公式； （2）设11 b = ，*1( )n n nb b a n n+- = Î ，求数列 nb 的通项公式. 【答案】（1） 2 nna = ；（2） 2 1nnb = - . （1）因为12n ns a a = - ，所以1 1 12n ns a a+ += - ， 所以 ( )1 1 1 1 12 2n n n n na s s a a a a+ + +- - = = - - ，化简得12n na a+= ， 若选择： 因为1 2 3, 1, a a a + 成等差数列，所以 ( )2 1 32 1 a a a + = + 即 ( )1 1 12 2 1 4

35、 a a a + = + ， 解得12 a = ， 所以数列 na 是以 2 为首项，公比为 2的等比数列， 所以 2 nna = ； 若选择： 因为2 4 1 3 4 115 30 a a a a s a = + + + = = ，所以12 a = ， 所以数列 na 是以 2 为首项，公比为 2的等比数列， 所以 2 nna = ； 若选择： 因为31 2 3 18 64 aa a a = = ，所以12 a = ， 所以数列 na 是以 2 为首项，公比为 2的等比数列， 所以 2 nna = ； （3）由（1）得 2 nna = ，则12 nn nb b+- = ， 所以当 2 n &

36、#179; 时， ( ) ( ) ( ) ( )2 3 11 2 1 3 2 4 3 11 2 2 2 2 nn n nb b b b b b b b b b-+ - + - + - +×××+ - = + + + ×××+ = ( )1 1 22 11 2nn× -= = -， 当 1 n = 时，11 b = 满足上式， 所以 2 1nnb = - . 7在等差数列 na 中，已知612 a = ，1836 a = . （1）求数列 na 的通项公式na ； （2）若_，求数列 nb 的前 n 项和ns . 在14nn

37、nba a+=， ( 1) nn nb a = - ， 2nan nb a = 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 【答案】（1）*2 ,na n n n = Î ；（2）答案见解析. （1）由题意，设等差数列 na 的公差为 d ，则 115 1217 36a da d+ = ìí+ =î，解得122ad= ìí=î， 2 ( 1) 2 2na n n = + - ´ = ， * n n Î . （2）方案一：选条件 由（1）知，14 4 12 2( 1) ( 1)nn nba a n

38、 n n n+= = =+ +， 1 2 n ns b b b = + +¼+ 1 1 11 2 2 3 ( 1) n n= + + +´ ´ + 1 1 1 1 112 2 3 1 n n= - + - +¼+ -+ 111 n= -+ 1nn=+. 方案二：选条件 由（1）知， ( 1) ( 1) 2n nn nb a n = - = - ， 1 22 4 6 8 ( 1) 2nn ns b b b n = + +¼+ =- + - + -¼+ - ， ( ) i 当 n 为偶数时， 1 2 n ns b b b = + +

39、88;+ 2 4 6 8 ( 1) 2nn =- + - + -¼+ - ， ( 2 4) ( 6 8) 2( 1) 2 n n = - + + - + +¼+ - - + 2 2 2 = + +¼+ 22n= ´ n = ， ( ) ii 当 n 为奇数时，1 n - 为偶数， 1 2 n ns b b b = + +¼+ 2 4 6 8 ( 1) 2nn =- + - + -¼+ - ， ( 2 4) ( 6 8) 2( 2) 2( 1) 2 n n n = - + + - + +¼+ - - + - - 2 2 2 2

40、n = + +¼+ - 12 22nn-= ´ - 1 n = - - ， , ,1, .nn nsn nì = í - -î为偶数为奇数； 方案三：选条件 由（1）知，22 2 2 2 4na n nn nb a n n = = = ， 1 2 31 22 4 4 4 6 4 2 4 nn ns b b b n = + +¼+ = ´ + ´ + ´ +¼+ ´ ， 2 3 14 2 4 4 4 2( 1) 4 2 4n nns n n+= ´ + ´ +

41、8;+ - ´ + ´ ， 两式相减，可得 1 2 3 13 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4n nns n+- = ´ + ´ + ´ +¼+ ´ - ´ 1 2 1 18 (1 4 4 4 ) 2 4n nn- += ´ + + +¼+ - ´ 11 48 2 41 4nnn+-= ´ - ´- 12(1 3 ) 843 3nn+-= - . 12(3 1) 849 9nnns+- = + . 8从前 n项和 ( )2ns n p p r = + 

42、6; 611 a = 且1 22n n na a a+ += + 这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答.在数列 na 中，11 a = ，_，其中 n*În . （1）求数列 na 的通项公式； （2）若1a ，na ，ma 成等比数列，其中 m， n*În ，且1 m n > > ，求 m的最小值. （注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 选择： （1）当 1 n = 时，由1 11 s a = = ，得 0 p = . 当 2 n ³ 时，由题意，得 ( )211ns n-= - ， 所以 ( )12 1 2n n na s s n n-= - = - ³ . 经检验，11 a = 符合上式， 所以 ( )*2 1na n n = - În . （2）由1a ，na ，ma 成等比数列，得21 n ma a a = ， 由（1）得 ( )*2 1na n n = - În ， 即 ( ) ( )22 1 1 2 1 n m - =