正余弦定理知识点及题型归纳汇编

1、学习-好资料解三角形一.正弦定理：a b csin A = sin B = sin C =2R,其中R是三角形外接圆半径正弦定理的如下变形常在解题中用到(1) 1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a : b： c=sinA : sinB:sinC余弦定理:1.aA2 =bA2 + cA2 - 2, b ,c -cosA2.bA2 =aA2 + cA2 - 2 a ,c ,cosB3.cA2 =aA2 + bA2 - 2 a ,b ,cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1.

2、 cosC = (aA2 + bA2 - cA2) / (2a-b)2. cosB = (aA2 + cA2 - bA2) / (2ac)3. cosA = ©2 + bA2 - aA2) / (2bc)三.余弦定理和正弦定理的面积公式111S；aabc= 2 absinC= 2 bcsinA= 2 acsinB(常用类型：已知三角形两边及其夹角)图形3 也-A jBii -BjzLX*CXABC 卜 AB¥五# a=bsinA甘bsinA<a<bKbsinAa>ba<b解的个数黑两解无解一解无解，为锐角上为钝角或直角判断三角形的形状有两种途径：(1

3、)将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解(2)将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三.解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角： 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角 方向角：从指定方向线到目标方向的水平角（一）已知两角及一边解三角形例 1 已知在 ABC 中，c= 10, A=45°, C=30°,求 a、b和 B.（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2 在4ABC中，已知角A, B, C所对的边分别为a, b, C,若a=2，3, b=

4、 V6, A=45 ° ,求边长 C（三）已知两边及夹角，解三角形例3 ABC中，已知 b= 3, c= 3® B=30 ,求角 A,角C和边a.例四：在 ABC中，若/ B=30° , AB=2, AC=2, 则 ABC的面积是例五.判断三角形的形状（1）正弦定理判断在AABC中，若a2tanB = b2tanA,试判断 ABC的形状.(2)余弦定理判断在 ABC中，若b2sin2C+c2sin2B= 2bccoSBcosC,试判断三角形的形状.例六判断解得个数不解三角形，判断下列三角形的解的个数:(1) a=5,b=4,A=120 度(2) a=7,b=14,

5、A=150 度(3) a=9,b=10,A=60 度(4) c=50,b=72,C=135 度考试类型、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三 线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.1、AABC 中，A = ,BC 3,则 &ABC 的周长为（）3C. 6sin B+- i + 3<3jnr . J厂.,冗、人A - 4V3sin B+ |+3 b . 4V3sin B+ | + 3<3 J<6 JD. 6sin B +-j+3<6）2、在A ABC3,已知4,60.6AB 二,cos B 二,A

6、C边上的中线 BD=J5,求sin A的值.3、在 ABC中，角A,B, C所对的边长分别为 a, b,c,若/ C=120° , c=、2 a,则A.a > bB.a< b C. a = bD.a与b的大小关系不能确定4、在 ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c-b2=T3bc, sin C = 273 sin B ,则A=(A) 3000(B) 60(C)1200(D) 15005、在 AABC 中,a=15,b=10,A=60cosB =2 二6、在 ABC 中，若 b = 1 , c = V3 , /C=-,则 a =7、在 ABC中，已知 B=45&#

7、176; ,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6求AB的长.AC 8、在锐角 MBC中，BC = 1,B = 2A,则 qC 的值等于 cosA,AC的取值范围9、 ABC中，A, B, C所对的边分别为a,b,c,sin A sinBtanC =, sin( B - A) = cosC .cosA cosB(1)求 A,C ；(2)若 S&BC =3+J3,求 a,c.二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状.1、在 &ABC 中，已知 2sinAcosB=sinC,那么 MBC一定是（）A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直

8、角三角形D .正三角形2、18.若 ABC 的三个内角满足 sin A:sin B:sin C =5:11:13 ,则4 ABC（A） 一定是锐角三角形.（B） 一定是直角三角形.（C） 一定是钝角三角形.（D）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三、 解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题.1、在 &ABC 中，若 NA =120，, AB=5, BC =7 ,则 &ABC 的面积 S=,四、求值问题1、在 MBC中，/A、/B、/C所对的边长分别为 a、b、c, c 1设a、b、c满足条件b +c bc =a和一 =一十，3 ,求/ A和

9、tanB的值.b 2b a _2、在锐角二角形 ABC, A、B、C的对边分别为a、b、c, - +- =6cosC ,则 a btanC taC+=。tanA taB3、 在 ABC中，a, b, c 分别为内角 A, B, C的对边，且2asin A =(2a c)sin B (2c b)sin C.(I )求A的大小；(n)求sin B十sin C的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等 方面都要用到解三角形的知识，例析如下：图1（一.）测量问题1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B两点, 望对岸标记物 C,测彳导/ CAB=30 , / CBA=75 , AB=120cm求河 的宽度。（二.）遇险问题图22、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以 30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇