二次函数导学案全章(完整资料).doc

1、【最新整理，下载后即可编辑】二次函数导学案26.1 二次函数及其图像26.1.1 二次函数【学习目标】1 . 了解二次函数的有关概念.2 .会确定二次函数关系式中各项的系数。3 .确定实际问题中二次函数的关系式。【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建 立。【学习过程】一、知识链接：1 .若在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个 值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的, x 叫做 o2 .形如丁=的函数是一次函数，当=°时，它是函数；二、自主学习：1 .用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(itf)与长方 形的长x(m)之间的

2、函数关系式为。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为工米，则宽为 米，如果将面积记为平方米，那么)'与x之间的函数关系式为 y=,整理为，二.2 .n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场 次数m与球队数n之间的关系式.3 .用一根长为40。的铁丝围成一个半径为，的扇形，求扇形的面 积§与它的半径，之间的函数关系式是 o4 .观察上述函数函数关系有哪些共同之处？5 .归纳：一般地，形如, ( 4仇。是常数，且。)的函数为二次函数。其中X是自变量，。是, b是 ,。是.三、合作交流：（1）二次项系数。为什么不等于（）？答:（2） 一次项系数沙和常数项。可以为

3、（）吗? 答 四、跟踪练习1 .观察：>'=6/；y = -3/+5；y = 2（）0x2 + 4（）0x + 2（）0;，V =入 一一+ 3/ 12 ），= x-2x；' x -；k（x+l）-1这六个式子中二次函 数有 O （只填序号）2 .y = （，+l），-"-3x+l是二次函数，则m的值为. 3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s = 5+2/, 则当t=4秒时，该物体所经过的路程为 o4 .二次函数）'=一/+法+ 3.当乂 = 2时，y=3,则这个二次函数解 析式为.5 .为了改善小区环境，某小区决定要在一块一 B 边

4、靠培（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿 化带ABCD,绿化带一边靠墙，另三边用总长 为4（）m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC 边长为x m,绿化带的面积为y nA求y与x c 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范 围.【最新整理，下载后即可编辑】26.1.2二次函数V = 厂的图象【学习目标】1 .知道二次函数的图象是一条抛物线；2 .会画二次函数y=ax2的图象；3 .掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用.（重点）【学法指导】数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习 认识函数.【学习过程】一、知识链接：1 .画一个函数图象的一般过程是；O2 . 一次函数图象

5、的形状是；二、自主学习（一）画二次函数y = x?的图象.列表：X -3-2一 10123 y=x 们应该注意什么？答：2.归纳：由图象可知二次函数）' = /的图象是一条曲线，它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线， 所以这条曲线叫做 线；抛物线/是轴对称图形，对称轴是 ;/的图象开口；与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线/的顶点坐标是；它是抛物线的最点（填“高”或“低）即当x=0时，y有 最 值等于0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即、v（）时，丁随工的增大而, x （）时，y随、的增大而 o12Y =一厂）

6、,（二）例1在图（4）中，画出函数.2,），=尸，¥ = 2厂的图象.解：列表:X 432101234 1 ，），=3厂 X -2-1.5-1-0.50().511.52 y = 2x2 y = -x2）9 2纳：抛物线.2 ,厂厂，尸2尸的图象的形状都是;顶点都是;对称轴都是;二次项系数'（）;开口都;顶点都是抛物线的最 4（填“高”或“低”）.,=2归纳：抛物线尸一尸，尸一一,尸一2/的的图象的形二状都是 工顶点都是；对称轴都是；二次项系数a（）；开口都；顶点都是抛物线的最 在（填“高”或“低”）.1 2、，=1）例2请在图（4）中画出函数.2',y = -1y

7、= -2 的图象.rv；J o11Io1111c1 1,111uL1 J /1 1f4Qt JJG/ f J J f乙t/弋)5-4-3 -2-If4)，Qc1GJQJt0 curtn0 nJ(4)列表：X -4-3-2-1012341 ，y = _尸 2 X -3-2-10123 V = -A2 X -2-1.5-1-0.500.511.52 y = -2x2 三、合作交流： 归纳：抛物线y的性质图象(草图)对称 轴顶 点开口 方向有最高 或最低 点最值。0当x =时，y有最 值，是.。0当x =时，y有最 值，是.2.当。()时，在对称轴的左侧，即X 0时，y随X的增大而；在对称轴的右侧，

8、即x o时y随x的增大而 o3 .在前面图(4)中，关于、轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？ 答：O由此可知和抛物线关于 '轴对称的抛物线 是 O4 .当。()时，。越大，抛物线的开口越；当。0时，。越大，抛物线的开口越；因此，同越大，抛物线的开口越O四、课堂训练1 .函数.7的图象顶点是,对称轴是,开口向，当X =时，有最 值是2 .函数）'=-6/的图象顶点是,对称轴是,开口向, 当x =时，有最 值是3 .二次函数3*的图象开口向下，则m4 .二次函数y=mx"X有最高点，则m =.5 .二次函数y=（k+l）x2的图象如图所示，、则k的取值范围为.6 .若

9、二次函数）'=的图象过点（1, -2） , 一T7 .抛物线'=一5'y = -2/y = 5/y = 7,d开口从小到大排 列是；（只填序号）其中关于工轴对称的两条抛物线是 和 o18 .点A（2, b）是抛物线' = 上的一点，则b=；过 点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是o9 .如图，A、B分别为）'="上两点，且线段zAB，y 轴于点（0,6）,若 AB=6,/3则该抛物线的表达式为o_Mz_10 .当！n=时，抛物线y=（?TW"开口向下. 口11 .二次函数）'=与直线y = 2x-3交于点p （1, b）

10、.（1）求a、b的值;（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的V 随x的增大而减小.【最新整理，下载后即可编辑】22.1.3二次函数k如一4+k的图象（一）【学习目标】1 .知道二次函数）'=+女与k6的联系.2 .掌握二次函数' = /+”的性质，并会应用；【学法指导】类比一次函数的平移和二次函数y=M的性质学习，要构建一个 知识体系。【学习过程】一、知识链接：直线）' = 2x + l可以看做是由直线 得到的。练：若一个一次函数的图象是由）' = -2x平移得到，并且过点 （-1,3）,求这个函数的解析式。解：由此你能推测二次函数）'=

11、/与）'=,-2的图象之间又有何关系 吗？猜想 O二、自主学习（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数广一+1, ）'=/t的图象y = x .抛物线）'=-3/+2向上平移3个单位后的解析式 为,它们的形状,当戈二时，有最 值是。3.由抛物线）' = 5/-3平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式 是,是把原抛物线向 平移 个单位得到的。4.写出一个顶点坐标为（），-3）,开口方向与抛物线）' =一/的 +1y = x2 -12 .可以发现，把抛物线,”,向 平移 个单位，就得到抛物线）'=一十1 ；把抛物线尸/向 平移 个单位,就得到抛物线）

12、' = /T.3 .抛物线丫=/,），=.+1,），=-1的形状.开口 大小相同。三、知识梳理：（一）抛物线）'=+"特点：1 .当。时，开口向；当。时，开口；2 .顶点坐标是；3 .对称轴是 o（二）抛物线尸6+与形状相同，位置不同， = +%是 由y=/平移得到的。（填上下或左右） 二次函数图象的平移规律：上下 O（三）。的正负决定开口的；网决定开口的,即 问不变，则抛物线的形状 o因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线。 值 o三、跟踪练习：1.抛物线2/向上平移3个单位，就得到抛物线 抛物线2/向下平移4个单位，就得到抛物线方向相反，

13、形状相同的抛物线解析式 5.抛物线k4+1关于x轴对称的抛物线解析式为 6.二次函数y = *+M-O）的经过点 A （1,-1）、B （2, 5）.求该函数的表达式；若点C（-2,优）,D （，7）也在函数的上，求川、的值。26.1.3二次函数）=小一4十"的图象（二）【学习目标】1 .会画二次函数）' = "* 一"的图象；2 .知道二次函数）'=心一犷与尸弟的联系.3 .掌握二次函数y=，（x-/?）2的性质，并会应用；【学习过程】一、知识链接：1 .将二次函数,'=2/的图象向上平移2个单位，所得图象的解析 式为 O2 .将抛物线y

14、=Y,+i的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 O二、自主学习画出二次函数）'=（"+1） y=*T的图象；先列表：X 43210123 y = " + 1)2 / )，=一1)2 / / /形状，所以平移前后的两条抛物线。值 O四、课堂训练1 .抛物线y = 2（x+3）2的开口;顶点坐标为；对 称轴是直线；当X 时，）'随'的增大而减小；当X时，随x的增大而增大。2 .抛物线y=-2（x-a的开口；顶点坐标为；对 称轴是直线；当X 时，）'随'的增大而减小；当'时，随戈的增大而增大。3 .抛物线的开口；顶点坐标为；对

15、称 轴是；4 .抛物线）'=5/向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为5 .抛物线/向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式 为.y -（X-2Y6 .将抛物线.31,向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为.7 .抛物线'=4（'-2）2与丫轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标为8 .写出一个顶点是（5, 0）,形状、开口方向与抛物线）' = 2/都 相同的二次函数解析式.9 6.1.3二次函数"如一匹+女的图象（三）【学习目标】1.会画二次函数的顶点式）' =4"）2+"的图象；10 掌握二次函数户小一4+”的性质；【学

16、习过程】一、知识链接：1.将二次函数了=-5/的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 Oz将抛物线的图象向左平移3个状，位置 o （填“相同”或“不同”）3.抛物线尸（“-1）2-2是由y = r如何平移得到的？答： 三、合作交流平移前后的两条抛物线。值变化吗？为什么？答：O四、知识梳理结合上图和课本第9页例3归纳：（一）抛物线丁心一4+攵的特点：1 .当时，开口向；当时，开口；2 .顶点坐标是； 3.对称轴是直线 o（二）抛物线）' =，心与交底形状,位置不同，y =心一1+女是由y ="平移得到的。二次函数图象的平移规律：左右,上下 O（三）平移前后的两条抛物线。值

17、O五、跟踪训练y = _ （x 1） +2y = 一 厂1.二次函数.2 的图象可由,2的图象（）A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y = （X 6） +52 .抛物线一 ）开口,顶点坐标是, 对称轴是,当X=时，y有最 值为。3 .填表:y = 3x2y = -x2 - 3y = 2(x + 3)2y = -4(x-5)2 -3开口方向顶点对称轴4.函数k2（a3）一的图象可由函数），=2丁的图象沿*轴向平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。

18、5.若把函数k5（x-2f+3的图象分别向下、向左移动2个单位, 则得到的函数解析式为 o12V = X6 .顶点坐标为（一2, 3）,开口方向和大小与抛物线,2相同 的解析式为（）y = L（X-2）2+3y = L（X+2）2-3A .，D . zy = * + 2/+3y = * + 2f+37 . 一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 = 2/相同，对称轴和 抛物线）'=（'-2）2相同，且顶点纵坐标为（），求此抛物线的解析式.26.1.3二次函数）"4一炉+的图象（四）【学习目标】会用二次函数y =乩"0+攵的性质解决问题；【学习过程】一、知识链接：

19、1 .抛物线）'=-2*+1）、3开口向,顶点坐标是,对 称轴是,当x=时,y有最 值为 o当尤 时，）随、的增大而增大.2 .抛物线）'=-2（句）:3是由产-2/如何平移得到的？答：O二、自主学习1 .抛物线的顶点坐标为（2,-3）,且经过点（3,2）求该函数的解 析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。2 .仔细阅读课本第10页例4:分析：由题意可知：池中心是,水管 是，点 是喷头，线段的长度是1米，线段 的长度是3米。由已知条件可设抛物线的解析式 为 O抛物线的解析式 中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 求水管的长就是通过求点的 坐标。

20、二、跟踪练习:如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底 部宽度为12米.A()=3米，现以。点为原 点，所在直线为x轴建立直角坐标系. (1)直接写出点及抛物线顶点的坐标; 求出这条抛物线的函数解析式； 三、能力拓展1.知识准备如图抛物线产.一丁一4与x轴交于A,B两点， 交y轴于点d,抛物线的顶点为点c(1)求4ABD的面积。求AABC的面积。(2)点P是抛物线上一动点，当4ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。(3)点P是抛物线上一动点，当AABP的面积为8时，求所有 符合条件的点P的坐标。(4)点P是抛物线上一动点，当AABP

21、的面积为1()时，求所 有符合条件的点P的坐标。26.L4二次函数 ' =/+灰+的图象【学习目标】1 .能通过配方把二次函数)' = *+"x + c化成,'心一厅+攵的形式， 从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2 .熟记二次函数的顶点坐标公式；3 .会画二次函数一般式y=*+"x+c的图象.【学习过程】一、知识锥接：1 .抛物线k2(x+3-1的顶点坐标是；对称轴是直 线；当/=时有最 值是；当工时，随工的增大而增大；当工 时，)随x的增大而减小。2 .二次函数解析式y = (x 4+k中，很容易确定抛物线的顶点坐 标为,所以这种形式被称作二次

22、函数的顶点式。二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数y = i+2x + 2的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：y = /+2x + 2的顶点坐标是,对称轴是.（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：-2x + 2y = X2 +2x + 5.2了=ax2 + bx + c【最新整理，下载后即可编辑】（5）归纳：二次函数的一般形式y =+ c可以用配方法转化成顶点式：,因此抛物线' = 6+以+ C的 顶点坐标是; 对称轴是二（6）用顶点坐标和对称轴公式也可

23、以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。=2x2 -3x + 4 y = -2/ +x + 2y = - x* +2x-l（二）、用描点法画出.2 的图像.（1）顶点坐标为；（2）列表：顶点坐标填在；（列表时一般以对称轴为 中心，对称取值.）X 1)C，y = 一厂 + 2x -1 2 (3)描点，并连线:TT tr44 9uo乙117-6-5-4-3-2-ifi2 3-1n一乙Q J4-(4)观察：图象 有最 点，即戈二时，)'有最 值是；x 时，随工的 增大而增大；工 时)'随x的增大而减 小。该抛物线与轴

24、交 于点。该抛物线与X轴有 个交点.三、合作交流V =一厂 +2x-l求出.2顶点的横坐标户-2后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式【学习目标】1 .能根据已知条件选择合适的二次函数解析式;2 .会用待定系数法求二次函数的解析式。【学习过程】一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为（-1, 2）,且经过点（0,4）求该函数的 解析式.解：二、自主学习1 .一次函数经过点A（J,2）和点B（2,5）,求该一次函数的解 析式。分析：要求出函数解析式，需求出木”的值，因为有两个待定系 数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于攵口的二元一次方程 组即可。

25、解：2 .已知一个二次函数的图象过（1, 5）、（一1）、（2, 11）三点, 求这个二次函数的解析式。分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？ 答:；所设解析式中有一个待定系数, 它们分别是,所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式），= （、一女和一般式y = ax1 2 +bx+c为°四、跟踪练习：1 .已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2, -3),且图像过点 (-3, -D,求这个二次函数的解析式.V2 .已知二次函数k+ 的图象过点(1, 2),则？的值为26.2用函数观点看一元二次方程

26、（一） 【学习目标】1、 体会二次函数与方程之间的联系。2、 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根 的个数之间的关系，【学习过程】 一、知识链接：1 .直线）"2-4与y轴交于点,与轴交于点 o2 . 一元二次方程以+。=。，当A 时，方程有两个不相等的实数根；当4 时，方程有两个相等的实数根；当小时，方程没有实数根； 二、自主学习 1.解下列方程（1） x2-2a-3 = 0（2）x2-6x + 9 = 0 x2-2x + 3 = 02.观察二次函数的图象，写出它们与1轴的交点坐标:函y = x2 -2工一3y = x2 -6x + 9y = x2 - 2x + 3数

27、交与，轴交点坐标与X轴交点坐标与“轴交点坐标点是是是3.对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识梳理：一元二次方程+云+ C =。的实数根就是对应的二次函数.（即把产°代入;当)'=()时,-+。与x轴交点的 y = ax2 + bx + c ),与轴的交点X -2.抛物线）' = x24x + 3与工轴的交点坐标是 坐标是 ；此）'=3.(5)2y -ax-+bx+c二次函数y=6+-+c与一元二次方程ax2 +bx + c = 0(T4与X轴有个交点<=>b2c0,方程有的实数根（一与X轴有个交点；这个交点是 点<=>“轴C_0

28、,方程有_ 实数根Xy与X轴有一个交点<=>44* （）,方程实数根./ /人A二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数 根记为再、Z）二次函数尸.+b“c与），轴交点坐标是一 四、跟踪练习1.二次函数,' = /_3x + 2,当工=时，y =X =4 .如图，一元二次方程.+，+c =。的解为。5 .如图，一元二次方程”?+以+。= 3的解为。6 .已知抛物线产/-2+9的顶点在x轴上，则& =7 .已知抛物线+2x-1与轴有两个交点，则的取值范围 是.26.2用函数观点看一元二次方程（二）【学习目标】1 .能根据图象判断二次函数。、从C的符号；2

29、 .能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。【学习过程】一、知识链接：根据丁 = "2 +-+ C的图象和性质填表：（,r+以+ c =。的实数根记为 补心）（1）抛物线）'=6 +- + C与X轴有两个交点O b .抛物线丫=+阮+°的图象如右图开口向上，所以可以判断。o-4ac（）;（2）抛物线）'=6+以+。与二轴有一个交点O b2-4ac（）;（3）抛物线）'=* +-°与x轴没有交点o2 _4“c（）. 二、自主学习：1.抛物线）'=2丁-4、+ 2和抛物线y = 3+2x-3与），轴的交点坐标分 别是 和。抛物线）'=+bx+c与轴的交点坐标分别是.对称轴是直线戈二,由图象可知对称轴在轴的右侧， 则%（）,即0,已知"0,所以可以判定人 0.