二重积分对称性定理的证明及应用

1、摘要 1关键词 .1Abstract .-1Keywords .1前言 .11 .预备知识 .12.二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 .22.1积分区域D关于坐标轴对称 .22.2积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 .52.3积分区域D关于坐标原点对称 .92.4积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 .112.5积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 .12结束语 .12参考文献 .13二重积分对称性定理的证明及应用摘 要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理 的证明并举出了相应例题关键词：对称性；积分区城；被积函数The Application of

2、 Symmetry in Double Integral CalculatingAbstract: It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the applicatio n of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculati ng methods with symmetry.Keywords： Symmetry; Integral region; Integrated functi

3、on刖言利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误在一般情 况下，必须是积分区域D具有对称性，而且被积函数对于区域 D也具有对称性，才能利 用对称性来计算在特殊情况下，虽然积分区域D没有对称性，或者关于对称区域 D被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分这些都 是很值得我们探讨的问题.1预备知识对于二重积分！!f(x,y)dxdy的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在D定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：a当f (x)在区间上为连续的奇函数时，f(x)dx=0.'-aaa当f (x)在区间上为连续的偶函数时

4、，.f(x)dx=2. f(x)dx . a0这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分.在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是 肯定的.下面，我们将此结论类似地推广到二重积分.2二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用定理1若二重积分! f (x, y)dxdy满足D(1) 区域D可分为对称的两部分Di和D2，对称点P Di , P> D2 ;(2) 被积函数在对称点的值f (P)与f(P)相同或互为相反数；则 0，f(P)= f(P)"f(x, y) dxdy 2“(x,y)dx d,y (f=P (fP DL L.D

5、i其中P的坐标根据D的对称性的类型而确定.2.1积分区域D关于坐标轴对称2.1.1积分域D关于x轴对称，f(x, y)为D上的连续函数f (x,-y) - - f(x, y)f (x,-y) = f (x,y)，定理2如果积分域D关于x轴对称，f (x,y)为y的奇偶函数，则二重积分I 0，Hf(x,y)dxdy» 2jjf(x,y)dxdy ,D其中Di为D在x轴的上半平面部分.图I证明! f (x, y)dxdy ! f (x, y)dxdy 亠!！ f (x, y)dxdyDDiD2若区域D对称于x轴(图i )，对任意P(x, yp Di，其对称点P (x, -y) D2D 0

6、 巴 y 乞(x),a 込x ， D2 一 (x)込 y 0,a 三x ，令y=t，则D2变换为xot坐标面上的D fo乞仁(x), a乞X乞b，且雅可比行列式点(x,y) _ 10点(x,t) 一 0-1f (x, y)dxdy f( x,- t) -1 dxdt f( x,- y)dxdyf ,x= )y f ,x = )y(f ,x )y(f ,x )yD 2DiDi.f( x, y)dxdy,Di-f(x, y)dxdy,.Di于是，代入(i)式得:匚 0,f(x,y) 一f(x,-y)JJf (x,y)dxdy=3 2jjf(x,y)dxdy , f(x, y) = f(x, y)-

7、 DiDi例 1 计算 11 y ln(i x2 y2)dxdy，其中区域 D : x2 y2 乞 i,x _ 0D解 f (x, y) = yln(i x2 y2)是关于y的奇函数且D关于x轴对称,所以.yln(i x2 y2)dxdy 二 0 .D例 2 计算.sin(x2 y2)dxdy，其中区域 D : x2 yi 4,x 一 0解所以D因为f(x, y) =SIn(x2 y2)是关于y的偶函数，且D关于x轴对称,11 sin(x2y2)dxdy =2 ! ! sin(x2y2 )dxdyDx2y2 _4x _0.y _0一一兀222米用极坐标22=2 JJ sin(x + y )dx

8、dy2 少 J。r sin rx2 'y4x，0.y 匚0(1 -cos4)22.1.2积分域D关于y轴对称，f (x, y)为D上的连续函数f(-x, y)- f( x, y)- (f ,x )y (f，)y定理3如果积分域D关于y轴对称，f (x, y)为x的奇偶函数，则二重积分JJf(x, y)dxdy 2Jf (x,y)dxdyD$ JDi其中D1为D在y轴的右半平面部分.图2证明 若区域D对称于y轴(图2)，对任意P(x, y)D1，对称点P-x, y)D2，类似定理2的证明可得0,f(-x,y) = -f(x,y)f(x, y)dxdy= 2 11 f (x, y)dxdy

9、 ,f (-x, y) = f (x, y)D.Di例 3 计算 12 1 . (x x3y2)dxdy，其中 D : x2 y2 乞 4,y _ 0D解f (x, y)二 x x3y2,f(-x,y)二-x-x3y2 二-(x x3y2) = -f(x, y),且区域D关于y轴对称，所以11 (x x3y2)dxdy =0 .D例4 计算.x2ydxdy，其中区域D : -1乞x,0辽y乞1解 f(x, y) =x2y是关于x的偶函数，且区域D关于y轴对称,所以2 1 1 2 1 1 2 1x ydxdy = 2 0 dy 0 x ydx = 2 0 ydy 0 x dx = 3D32.2积

10、分区域D关于坐标区域内任意直线对称将积分区域D关于坐标轴对称的情况推广到积分区域 D关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理:定理4如果积分域D关于直线y = ax b对称，则二重积分22a(y-ax-b)(a -1)(y-ax-b)f(x2 ,ax b2) - -f(x.y)0,I (A2 , ax b2“I1+a21 + a2f(x,y)dxdy2d2.f(x,y)dxdy , f(x 2a(ab),ax b (a ")(y 产)=f(x.y)Di1 a21a2其中为D在以直线y = ax b为轴的右半平面部分4图3证明 若区域D对称于直线y二ax b，不妨设a 0，即倾斜角二为

11、锐角.首先，平移坐标轴，得坐标系xoy ,如(图3)+bx = x _a ，y = y其次，将坐标系xOy沿逆时针方向旋转，旋转角为r (tan v - a)，使x轴与直线y =ax b重合得新坐标系uo V :X = ( u-=、, u _ a vvt an ) cosJi+a2y =(u-a u+ v vt an ) si n v vsecJi + a2(3)由(2)，( 3 )得u av bx2.1 a2 aau +vy 2Ji +a2/ b、 a(y-ax-b) u = ：1 a (x )a 山y - ax - ba2xoy坐标面内对称于直线V 二 Ji +a2ax b的区域D，在新坐

12、标系uo v内对应的区域D关于u轴对称.xoy面内任意点P(x, y)Di，在uo v面内对应点R(u,v) Di .u、r(xB)a(y:x；b)，v：x?，aJi + aJi + a1a2点R(u,v)关于u轴对称点r"(u,-V)乏d2， p"(u,-V)在xoy面内对应点为p(U _a(_v) b au (_v)D2，将u,v代入，化简得:21a22a(yaxb) . (a i)(yaxb)P (x2 ,ax b2) D2 .i +a因此，xoy面内点P(x,小 Di关于直线y =ax b的对称点为雅可比行列式为于是由定理2知p(x2a(y-ax-b)1 a2,ax

13、 b2(a")(y-ax-b). D2，1a21-aJ1 匚 a2J仃a2a1J1 匚 a2J石a2=1 ,逖y) ：(u,v)f(x,y)dxdy 二Du - av b au v .f( 2=2 )dudv -d 1a a '.1a2f(x 2a(yaxb),ax b (a 7(y；ax b)-f()cy)! f (x, y)dxdy 二D2，U八 V21a21 a222a(y - ax - b)(a - - 1)(y -ax-b)、2 11 f (x, y)dxdy , f (x2 ,ax b2) = f (x.y)u1 a1a2f(u=，au_：)dudvd1. 1a2

14、a 1 a2u av b au -vu - av b au v，f (右律右)Di2 f(u犁丄，a仝)dudv , f(u£2 菩rf(u犁 2 罕)山+a a #1+a寸 1+aa j1+aj1+aa j1+a例5计算3二重积分(x-1)3 yd二，D其中D是抛物线y =(x -1)2, y =4(x-1)2及直线y =1所围成的区域y - if图4解 由于积分区域D关于直线x=1对称，被积函数中(x-1)3在区域D上关于(x-1) 为奇函数，y在区域D上关于(x1)为偶函数，见(图4),由定理4,得：31%fy 舟2(x-1) yd：; -0 2 yd：; -2 0 ydy,d

15、x = 5 DDiT5当积分域D关于直线y = x轴对称时，有下面推论：推论14丨如果积分域D关于直线y二x轴对称，则二重积分f (x,y)dxdy 二 f (y,x)dxdy.DD例6设f (x)为恒正的连续函数，计算积分x2:：；y2 工2af (x) bf (y)f(x) f(y)dxdy解 由于积分区域x2 yir2关于y二x对称，所以由推论2,可得:X2 为2 <2af (x) bf (y)f(x) f(y)dxdy =ifx2 -yr2af(y) bf (x)f(y) f(x)dxdy，于是x2y2 -i2af(y) bf(x)dxdy2 f (y) f (x)2二 (a b

16、)dxdy =二(a b)r x2 y2 -l2x2 y2H2af(x) bf (y)f(x) f(y)jidxdy (a b)r当积分区域关于y二x对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以 使二重积分计算化简.类似的，若积分区域关于直线 y二-x对称且满足f (-x,-y)二-f (x, y)，则f(x,y)dxdy = O ,D或满足 f (-x, y)二 f (x, y)，则有f(x, y)dxdy = 2 f (x,y)dxdy .DDi(其中Di为D的一半)2.3积分区域D关于坐标原点对称定理5如果积分域D关于原点对称，f(x,y)同时为x , y的奇偶函数，则二重积0

17、， f (-X,-y)二-f (x,y)f(x, y)dxdy=2 11 f (x, y)dxdy， f (-x,-y) = f (x, y)，Di其中Di为D的上半平面部分.图5证明 若区域D对称于原点(图5)，对任意P(x,y) Di，对称点P'(-x,-y)D?，U £r(x)空y 乞(x)，axb?, D2 一- :(x)空 y 一 (x), bx_ a?,令x = -uy = v则区域D2变换为uov坐标平面内区域D'：:!' (x) <(x)，a乞b，雅可比行列式"x,y)-i-i；：(u,v)所以f(x,y)dxdy 二D2! f

18、 ( _u, _v)dudv 二f(_x,_y)dxdyDiDi-f(x,y)dxdyDif(x, y)dxdyDi,f (-x,-y)二-f(x,y),f(-x, -y)二 f (x, y)代入f(x, y)dxdy 二 f (x, y)dxdy 亠 11 f (x, y)dxdy ,DDiD2I 0f(x,y)dxdy=2 f(x,y)dxdyD二，若 f(-x,-y)=-f(x,y)，若 f (-x,-y)= f (x, y)-Di计算卩"l 二(xy x2y)dxdyD其中D是由y=x , y=i, y =-i以及x=0所围成的闭区域y /1y%0X/-1图6解 如(图6),

19、Di D2 , Di、D2关于原点对称，但被积函数不满足f (x, y) = f (-x- y)，也不满足f (x, y) - - f (-x. - y)，故不能直接用定理来计算,但若记fi (x, y)二 xy ,f2(x,y) =x2y对fi(x,y)和f2(x, y)分别应用定理5,则! fi (x ,y dxdy 二D2 xydxdy ,Dif2(x, y) dxdy 0D故2 2 = (xy x y)dxdy 二 xydxdy亠,x ydxdyDDD1 =2 11 x y d x d=y .2 42.4积分区域D关于坐标区域内任意一点对称将积分区域D关于原点对称的情况推广到积分区域D

20、关于坐标区域内任意一点对称，则有下面定理：定理6如果积分域D关于点(a,b)对称，则二重积分壬 0,f (2a-x,2b - y) f (x, y)JJ f (x, y)dxdy = ” 2 f (x, y)dxdy , f (2a x,2b y) = f (x, y)， D、 D；其中D；为D以(a,b)为对称点的右半平面部分.J 3图7证明 若区域D对称于点(a,b)(图7 )，平移坐标轴x = u ay 二 v b，即u 二 x -a彳 .v =y _bxoy坐标面内区域D在uo v坐标面内对应的区域D关于其坐标原点o 对称.xoy面内任意点P(x, y)D1，对应uov面内点R(x-a

21、, y-b) Di，它关于o 对称点为R"(ax, b-y)乏 D?" . uo v 面内点 R"对应 xoy 面内点 P"(2a x,2b - y)壬 D?.由此，xoy 面内点P(x,y)Di关于点(a,b)的对称点为P (2a-x,2b-y).雅可比行列式为f(x,y)_10_ I ，c(u,v)01于是11 f (x, y)dxdy 二 f(u a,v b) dudv. DD '由定理5的证明知ii f (u a,v b)dudv 二 d''02 1 f (u a,v b)dudv.Di(u a, _v b)二 _ f (u a,v b) f (-u a, -v b) = f (u a,v b)0