九年级圆内接正多边形、弧长与扇形面积(教师版)

1、圆内接正多边形.弧长与扇形面积1、如图，在Rt ABC中，ZBAC=90o, BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的C)D与AC相交于点Eo(1) 求证：BC是OD的切线；若AB=5, BC=13,求CE的长。9(1)证明：过点 BAD = 90z , BD 平分 ABC , . AD= DF.-.-J足D的半径，QF丄BC ,. RG足/9的切线；(2) . ZBZlcr- 9« .J.AB与Q相切7解析:BC是Q的切线，AB= FB.4B= 5 n BC= 13 ,/. CF = 8 , AC= 12.衽 RtADFC 中，设 DF=DE = r ,则 r2 + 64 = (

2、12 r)2 , 解得：=f.2、如图，ZABC=90°,以AB为直径作OO,过C作CE切00于E, CD丄BC, AE交CD于D。(1) 求证：AB = 2CD:(2) 若 CD=I, BC = 3,求 ED 的长。解析:. LAEB-LOFli ,(1)连接 OE , BE , OC,. ABC = 90： > 以 AB 为直径作 Q,.BCO的切线，T CE切。于4 BC = CE ,厶 BCF =乙ECF、：.OCIBE >/ 为。的直径，. OCfJADy CD丄 PO ,. CD AB ,.四边形卫OCD是平行四边形J.CD = OA ,.AB = 2CD ；

3、(2)AB=2OE , AB = 2CDP CD=OE、四边形EOCD 等,腰梯形， CD = 1 r BC= 3,.OC = oE2 + CT2 = ,DE=OC-WF= 知识点一圆内接正多边形【知识梳理】正多边形的有关计算：设正“边形的边长为"”，半径为R,边心距为几，周长为几，则180on 180o Zolo nan = 2 R Sln r = R COS K =/；+ a； Pn = nanitH4【例题精讲】1. （2017元调）如图，正三角形的边长为12 cm,剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任 意一点到各边的距离和为Cm （123 ）第4题图2呦元调）

4、半径畑的圆内接正方形的边心距等于一 3.如图，正AABC内接于半径是1的圆，则阴影部分的是 TT 4834. （2013元调）如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2,它的而积为知识点二 弧、扇形及圆锥的计算公式【知识梳理】1、弧长公式：由于圆周角可看做360°的圆弧，而360°的圆心角所对的弧长就是圆周长Q二2“斤， 所以在半径为斤的圆中，h 的圆心角所对的弧长1的计算公式:I=-1802、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的狐所国成的图形叫做扇形。（I）扇形的周长：在半径为R ,圆心角的度数为的扇形中，周长的公式为:（1）扇形而积的计算公式：S =S二丄"

5、;j （ 1为扇形的弧长）36023、弓形面积的计算方法（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。（2）弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形而积和三角形面积来汁算。根据弧的情况不同，有 以下三种情况：4、圆锥（1）圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形。这条直线 叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的而叫做圆锥的底面，底而是一个圆而。斜边旋转而成的而叫做圆锥的 侧而.从圆锥的顶点到底而的距离叫做圆锥的髙.连接圆锥的顶点和底而周长的任意一点的线段叫做圆锥的 母线。（2）圆锥的侧而积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为1,底而圆的半

6、径为r,那么这个扇 形的半径就是圆锥的母线1，扇形的弧长就是圆锥的底而周长2r,因此圆锥的侧而积公式为：S = r（3）圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全而积。公式为：S = " + r2【例题精讲】扇形的弧长与面积1. 一个圆锥的侧而积是底而积的2倍，则圆锥侧而展开图的扇形的圆心角是度.1802. 已知扇形的圆心角为120。，而积为300cn2,若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高是（A ）A. 20JcmB. 30CmC. /0cmD 20JJcm3. 若圆锥的侧面展开图是一个弧长为16;T的扇形，则这个圆锥的底而半径是. 84. （2017元调）圆心角为75。

7、的扇形的弧长是25n则扇形的半径为 65. （2015元调）圆锥的底而直径是8cm,母线长9cm,则它的侧而展开图的圆心角的度数为.160°知识点三（圆与路径长问题）【例题精讲】1.如图，在等腰RtBC中，AC=BC= 22 ,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）BA. 2B. C. 22D2【解析】取AB的中点E,取CE的中点F,连接PE, CE, MF, JIIJ FM= 1 PE=1, 故M的轨逐为以F圆心，1为半径的半四弧，轨迹长为y2rl = .ZAEB=90。，F 为 DE 的中2. （2016-2017武珞

8、路九上期中）如图，边长为4的正方形ABCD外有一点& 点，连接CF,则CF的最大值为解：13 + 1延长DC至G,使CG=C0 连接EG,则易知CF =穆EGAB2中点为O, E在以O为圆心，2为半径的罔弧上运动，易得当EG过圆心O时，EG最大，作OH丄 CD 于 H,由勾股定理易得 OG=2yn, EGw=2+2,CFwr= 13 + 13在ZVlBC中，ZBAC=90o, AB=AC=2cm,线段BC上一动点P从C点开 始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边则点0运动的路 径为CnK 22提示：当P在C点吋，画等边AACQxy当P在B点时，画等边_ABQ2y连接QxQ1.

9、证 0点在线段上，即只证IAQQ =15°4.如图，在等边ABC中，AB=2. D、E分别为BC、AC上两动点，BD=CE, AD. BE相交于M点，点 D由点B运动到点C时，求点M运动的路径长.【分析】由全等易证ZAM=120 ,C为左点，M为动点，M在以AB为弦,43圆周角为120°的圆上运动，故点M运动的路径长为寺龙圆与路径长、最值问题【例题精讲】)D_B. r=3 C. 3< r<3 万 D r= 321. (2014 元调)如图，扇形AoD中 "OD=9(OA=6,点P为弧AD上任意一点(不与点A和D重 合)，PQ丄OD于0,点/为AOP0的

10、内心，过O, /和D三点的圆的半径为人则当点P在弧AD上运动 时，的值满足(A. OVY32.在平而直角坐标系中，A(4,0),直线人y=6与丫轴交于点点P是直线/上点B右侧的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAAPQ. APQ=90当点P的横坐标满足0x8,则 点0的运动路径长为 提示：设Pg 6),由全等知0(6+心IO-加),. x+y=16, . .P点运动轨迹在直线x+y=16上，当加= 0 时，QI (6JO),当 m = S 吋，0z(14,2), QQ= 8>/2 3在平而直角坐标系中 (4,0),绕点P(x. y)顺时针旋转90。至B(Ia,若lm3,则P点运动的路

11、径.解：过P点作PF丄兀轴，过B点作PE丄PF,且为EF.已知 PBE竺MDF设Pg y) PE=BE-y=xT .P 点在直线上 y=- 上运动 又 VAF=PE-* -4=my =x÷y-4当加=3时，解方程组得P(4,3):当加=一1,解方程组得PI(IA) /.P1P2= 224.如图，RtAABC中，ZC=90o , AC=2. BC=4, D在CB的延长线上，BD=2,点M在线段CD上运 动，点N在CA的延长线上，始终满足AN=2BM. MN的中点为P,当M从点D运动至C点时，P点运动 的路径长为. 35解析：以C为原点建立坐标系，当M位于D点时，P (-3,3)；当M位

12、于/B点时，P( -2,1)：当M位于C点时，P (05),夕 AA故运动路径为5+25=35/ xDMB几何定值问题如图，扇形AoD中，ZAOD=90% OA = 6,点P为ADk任意一点（不与点A和D重合），PQLoD于0点/为 OPQ的内心，过0, /和D三点的圆的半径为- 则当点P±AD上运动时，的值满足 （D ）A. 0<y3 B. r = 3分析四个选项，我们看到B和D意味着'为左值，我们作出AO"）的外接圆OE,又作出直径DF,此时 ZDOF=90%由OA = 6,知OD=6,从而厂为左值等价于ZF为世角，由于圆内接四边形OFD/中，ZF+ ZO

13、ID=ISQQ9这要求ZOID为左角，我们注意到AP和AOQ关于0/轴对称，从而要求ZO/P为左角， 这一点恰好成立，易知Z（7P=135%详细推理过程，请同学们自己给出.FhZoQP=90° ,可知ZoZP=I35° ,从而Z7D=135 ,于是ZOFD=ISQQ 一zOD=45° > 从而ZkOFD为等腰直角三角形，于是DF =迈OD = 6近、乂 DF = 2r lflJr = 32,故而选择D.【解后反思】如图AABP中，AB为泄长线段，P为动点，若保持ZAPB=0（为定角），则AAPB的外接圆半径R为定 值.这个结论，我们称为“泄线泄角左半径”看不

14、见的圆一一路径问题【例题精讲】1.如图，扇形AOB的半径为R P为AB上的动点，PM丄04于M, PN丄OB于N, APMN外接圆半径为 '则 -6o= 60° ,从而弧CF的长为2R×-= 360°2. 已知半圆O的直径AB长为8,点C在AB上，且BC =2 AC ,点P在CB上运动 0为弦AP的中 点.当点P从B运动到C时，点Q运动的路径长为解：连AG 取AC中点D取Ao中点E连则ZADo=90° ,以E为圆心，£D为半径，在直线 AB上方画圆，可知点0的勒L iq为弧DO, fh2J BC=2AC , MiZBOC= 120

15、76;山DEOC知 ZDEo=I20° ,又AB=8.从而Ao=4,于是OE= 2,于是弧Do的长为360°333. 如图所示，AB为。O的直径，弦CD丄AB于£, E为OB的中点,BE=R ,点P在CB上运动，连 AP. DF丄APTF.当点P从C运动到点B时，则点F的运动路径的长为解：由 B£ =苗知 CE = 3 , OB = 2 屁 从而 AE = 3* DE = JoD' - OE' =3, jAD. AC.从而 AD = 4aE2 +DE2 =6. AC-6.可知AACD为等边三角形，取AD中点为M, AC中点为G,以M 为圆

16、心，3为半径作圆M,则点F在M上运动，当P在C点时，F在G点，当P在B时，F在点 E；当P在弧CB上运动时，F在弧GEh运动，所求路径长为孤GE的长，又可知ZGME= 60° ,从 60°而弧GE的长为2兀R X4. 如图所示，00的半径为6,弦ABIlCD.且AB= 6$ CD= 63 ,点P在CD上运动，连PA、PB, BE丄PA E. AF丄PB于F, BE交AF于G,当点P从Q运动到D时，求点G运动路径的长解：有 R=6 B = 63 t CD = 6y可知圆心角 ZAoB=I20° , ZCOD=I20° ,从而 ZAPB=60° ,

17、于是ZAGB=I20° ,当P在C点时，G在A点，当P任D点时，G ±. B点，做弧AB关于直线AB的对称图形，得弧AOB.当P在弧CD上运动时，G在弧AOB上运动，从而弧AoB的长=弧190°AB 的长=2rRx二一二4兀5. 如图所示，00的直径AB长为6,点C、D在AB上，AC = CD = DB,点P在CD上运动，连PA、PB, /为APAB的内心，当点P从C运动到D时，则点/运动路径的长为解：连人人IB.则ZAIB=I35Q ,取下半圆弧AB的中点0 Q与P在直线AB异侧，则QA = 6, QB=6, QI= 6.连GC、QD,则ZCoD=60°

18、; 9 ZCQD=30° ,以Q为圆心，6为半径，作圆0 设圆 Q与QC交于財，与QD交于N,当P在C点时，/在点M，当P在D点时，/在M 当P在弧6oCD, I在弧MM 从而点/运动的路径长为2R× 二龙360°6. 如图所示，ABAC中，ZBAC=I20o, AB=AC,点D在BC边上，BD=2DC点P在线段BD上运动， APC的外接圆的圆心为O,当点P从B运动到D时，则点O运动路径的长为A解：山题总町知，DC = IBC = 2. BD=4, AB = 20 AC = 23 作线股AC的垂直平分线几 则厶APC外接圆的圆心在直线/ I:过点A作BC的垂线与/

19、交于M,作個的垂直平分线交Z于N9当P在B点时，O在M点，当P在D点时，O在N点;点P从B运动到D时，点O从M运动 到M所求路径MN的长为47. 如图所示，平而直角坐标系中，点A(Of 2), B(-2, 0), C(6, 0),点P在入轴正半轴上运动.以AP为 直角边作等腰直角三角形，ZAPe=90o, M为B0的中点点0与B在直线AP异侧，当点P从原点O 岀发运动到C时，则点M运动路径的长为解：设P为S 0）,则Q为（2+八/）,从而M为丄,一，点M在直线J=X上，当P在0点时, U 2）/ = O , M为（0, 0） : XP在（7时，/=6, M为（3, 3） 从而点M运动路径长为T

20、FTF = 3.1.如图，点P在线段AB上运动，ZXAPM和APBN为等边三角形，点M,"在直线AB同侧，AN和BM相 交于点乩 已知B=33 , ZXAHB外接圆半径为R,求R的值.解：先证ZXAPN仝AMPB,由此可知ZAWB = I20° ,作出心旳 的外接圆O,又作出直径BG连AG则ZACB=60° , ZABC= 30° ,从而 BC=2R AC=R9于是 ABC中，F+ （33 ） ：= （2?） c,从而 R=3.2.如图，点P在线段AB上运动，APM和APBN为等边三角形，点M, N在直线ABR侧，AN和BM相 交于点H,已知AB=6,求

21、zMHB的而积的最大值.解：与上题相同的辅助线，可求出MHB的外接圆半径R = 2艮点H的运动轨迹为劣AB （去掉A、B两端点），易知当H为弧AB的中点时,HB 的I此时 S×6×3-33 23. 如图，线段AB长为8,点P在ABt运动，以AP为直径作00, BD丄AB9且BD=BP, AD交QO于点 E,求ZL4BE外接圆半径R的长.解：连PE、PD,从而ZAEP=90° ,于是乩E在以PD为直径的圆上，作出此圆，从而 BD = BP，ZBPD=ZBDP=45° ,于是ZAEfi= 135° ,再作出 AAEB 的外接圆 F 又作出F的宜径AG.从而G=2 A=82 ,又AG=2R.于是R=44. AB是Oo的直径，