小学数学等差数列求和教案模板.docVIP

1、小学数学等差数列求和教案模板等差数列求和教学目标1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讲授法.教学过程 一.新课引入提出问题提出问题：1+2+22+229=?二、新课讲解：记s=1+2+22+L+229，式中有3项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有29项是对应相等的，作差可以相互抵消.即s=1+2

2、+22+L+229， 2s=2+22+L+229+230, 得 2s-s=230-1,即s=230-1; 由此对于一般的等比数列，其前n项和sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+L+a1qn-1，如何化简？等比数列前项n和公式仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比q，即sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+L+a1qn-1 , 两端同乘以q ，得2sn=a1q+a1q2+a1q3+La1qn-1+a1qn, 得（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的（1-q）sn=a1-a1qn ，取值）当q=1时，由可得sn=na1,（不必导出，但当时设想不到） 当q¹

3、1时，由得a1(1-qn)。 sn=1-q反思推导求和公式的方法错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.（板书）例题：求和：s=1234n +2+3+4+L+n22222设, 其中n为等差数列，为2n等比数列，公比为1，利用错位相减法求和.2解：s=1+22+33+44+L+nn22222两端同乘以1，得 211 s=2+23+34+45+L+nn+1222222两式相减得 11ns=+2+3+4+L+n-n+12222222于是， 所以1n11s=2-n-1-n(1-n)1222-ns=2n+11221-2说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问

4、题.公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.三、小结：1.等比数列前n项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；2.用错位相减法求一些数列的前n项和.一、教学目标：等差数列求和教案知识与能力：通理解等差数列的前 项和定义，理解倒序相加的原理，记忆两种等差数列求和公式。过程和方法：让学生学会自主学习和合作学习，体会特殊到一般的数学方法。 情感态度与价值观：形成严谨的逻辑推理能力，引导对数学的兴趣。二、教学重点：教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，已知其中三个量，求另两个值。教学难点：获得公式推导的思路三、教学过程 1.新课引入故事提出问题：泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，位于印度，是

5、国王为他心爱的妃子而建，传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共有多少颗宝石吗？（板书）“2.讲解新课（板书）等差数列前 项和 公式推导（板书）问题1“S=1+2+3+4+、+n（倒序相加法）分小组讨论问题2：”，两式左右分别相加，得，于是 .于是得到了两个公式： 和 3、知识巩固：（1）；（2）4、课堂小结1.等差数列前 项和公式；（结果用 表示）2.倒序相加法和分类讨论法的数学思想等差数列教学目的：1明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

6、教学难点：等差数列的性质教学过程：引入： 5，15，25，35，和 3000，2995，2990，2985，请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列二、讲解新课：1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列an,若anan-1=d (与n无关的数或字母

7、)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公+2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d【或an=am+(n-m)d】 an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：a2-a1=d即：a2=a1+da3-a2=d即：a3=a2+d=a1+2da4-a3=d即：a4=a3+d=a1+3d由此归纳等差数列的通项公式可得：an=a1+(n-1)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a如数列1，2，3，4，5，6； an=1+(n-1)´1=n（1n6）数列10，8，6，4，2，； an=10+(n-1)´(-2)=12-2n（n1） 数列1234;,

8、;,1,L;an=1+(n-1)´1=n（n1） 5555555由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d即：a1=am-(m-1)d则：an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d即的第二通项公式an=am+(n-m)d d=am-anm-n如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d三、例题讲解例1 求等差数列8，5，2的第20项 -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：由a1=8,d=5-8=2-5=-3n=20，得a20=8+(20-1)´(-3)=-49 由a1=-5,d=-9-(-5)=-4

9、得数列通项公式为：an=-5-4(n-1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列an中，已知a5=10，a12=31，求a1,d,a20,an解法一：a5=10，a12=31，则 ìa1+4d=10Þìa1=-2an=a1+(n-1)d=3n-5ííîd=3îa1+11d=31a20=a1+19d=55解法二：a12=a5+7dÞ31=10+7dÞd=3a20=a12+8d=55an=a12+(n-12

10、)d=3n-小结：第二通项公式an=am+(n-m)d例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算us-uts-t解：通过计算发现us-ut的值恒等于公差s-t证明：设等差数列un的首项为u1，末项为un，公差为d，ìus=u1+(s-1)díîut=u1+(t-1)d-得us-ut=(s-t)dus-ut=d s-t(1) (2)小结：这就是第二通项公式的变形，几何特征，直线的斜率例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设an表示梯子自上而上各级宽

11、度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12a12=a1+(12-1)d,即10=33+11d解得：d=7因此，a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103,答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.例5 已知数列an的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析p ：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列

12、，只要看an-an-1（n2）是不是一个与n无关的常解：当n2时, （取数列an中的任意相邻两项an-1与an（n2）an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p为常数an是等差数列，首项a1=p+q，公差为注：若p=0，则an是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，若p0, 则an是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=p_+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.数列an为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q (p、q是常数3通项公式判断数列是否是等差数列的方法是否满足3四、练习：1.（1）求等差数列3，7，1

13、1，的第4项与第10项.解：根据题意可知：a1=3,d=73=4.该数列的通项公式为：an=3+（n1）×4,即an=4n1（n1,nN_） a4=4×41=15, a10=4×101=39.（2）求等差数列10，8，6，的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=810=2.该数列的通项公式为：an=10+（n1）×（2）,即：an=2n+12,a20=2×20+12=28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：根据题意可得：a1=2,d=92=7.此数

14、列通项公式为：an=2+（n1）×7=7n5.令7n5=100,解得：n=15,100是这个数列的第15项.（4）20是不是等差数列0，31，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：a1=0,d=31此数列的通项公式为：an=7n+7,令7n+7=20,解得n=472227因为7n+7=20没有正整数解，所以20不是这个数列的项.2.在等差数列an中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.a1=1.解：（1）由题意得：ìa1+3d=10,解之得：ìííîd=3

15、îa1+6d=19（2）解法一：由题意可得：ìa1+2d=9,解之得ìa1=11ííîd=-1îa1+8d=3该数列的通项公式为：an=11+（n1）×（1）=12n,a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,d=1 又a12=a9+3d,a12=3+3×（1）=0.课时小结五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：anan-1=d ，（n2，nN）.其次，要会推导等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：a

16、n=am+(n-m)d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.+数学教案等差数列_高一数学教案_模板§3.2.1等差数列目的：1.要求学生掌握等差数列的概念2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。重点：1.要证明数列an为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n1,且nN_） 2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d (n1,且nN_).3等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它

17、的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。 过程：一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10， 3，0，-3，-6， ， ， ， ， 12，9，6，3，特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 “等差” 二、得出等差数列的定义： （见P115）注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 1名称：AP 首项公差2若则该数列为常数列3寻求等差数列的通项公式：由此归纳为当 时（成立）注意: 1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP 证明：若它是以 为首项， 为

18、公差的AP。3° 公式中若则数列递增， 则数列递减4° 图象： 一条直线上的一群孤立点三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以求出另一个。 例1 （P115例一）例2 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数 例3 （P116例三） 此题可以看成应用题 四、关于等差中项： 如果 成AP 则证明：设公差为 ，则例4 教学与测试P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。解一： 是-1与7 的等差中项 又是-1与3的等差中项 又是1与7的等差中项 解二：设所求的数列为-1，1，3，5，7 五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法1定义

19、法：即证明例5、已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。解：当 时时 亦满足 首项 成AP且公差为6 2中项法： 即利用中项公式，若 则 成AP。例6 已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。证明： ， ， 成AP 化简得：= ， ， 也成AP 3通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。例7 设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？解： 时 时 数列 不成AP 但从第2项起成AP。五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法 六、作业： P118 习题32 1-9 七、练习：1已知等差数列an，（1）an=2n

20、+3,求a1和d （2）a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.2.在数列an中，an=3n-1，试用定义证明an是等差数列，并求出其公差。注：不能只计算a2-a1、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。3在1和中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。4在两个等差数列2，5，8，与2，7，12，中，求1到20_内相同项的个数。分析p ：本题可采用两种方法来解。（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据 相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相

21、同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。5在数列an中, a1=1,an= ,(n2),其中Sn=a1+a2+an.证明数列是等 差数列，并求Sn。分析p ：只要证明 (n2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化 为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。6已知数列an中，an-an-1=2(n2), 且a1=1，则这个数列的第10项为（ ）A 18 B 19 C 20 D21 7已知等差数列an的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（ ）A 2n-5 B 2n+1 C 2n-3 D 2n-1 8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列

22、；命题乙：ma+p、mb+p、mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（ ）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件 D既不必要也不充分条件 9（1）若等差数列an满足a5=b,a10=c(bc),则a15=（2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是（3）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是10已知a5=11,a8=5,求等差数列an的通项公式。 11设数列an的前n项Sn=n2+2n+4(nN_) (1) 写出这个数列的前三项a1,a2,a3; (2) 证明：除去首项后所成的数列a2,a3,a4是等差数列。12已知两个等差数列5，8，11，和

23、3，7，11，都有100项，问它们有多少个共同的项？13若关于_的方程_2-_+a=0和_2-_+b=0（ab）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程 一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）2，1，4，7，10，13，16，19，8，16，3

24、2，64，128，256，1，1，1，1，1，1，1，243，81，27，9，3，1， ， ，31，29，27，25，23，21，19，1，1，1，1，1，1，1，1，1，10，100，1000，10000，100000，0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中为有共同性质的一类数列（学生看不出的情况也无妨，得出定义后再考察是否为等比数列）.二、讲解新课请学生说出数列的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变

25、形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列等比数列.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步） 等比数列（板书）1.等比数列的定义（板书）根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.请学生指出等比数列各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现是这

26、样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：2.对定义的认识（板书）（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？（3）公比不为0.用数学式子表示等比数列的定义.是等比数列.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是等比数列？为什么

27、不能？式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.3.等比数列的通项公式（板书）问题：用 和 表示第 项 .不完全归纳法.叠乘法， ， ，这 个式子相乘得 ，所以 .（板书）（1）等比数列的通项公式得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.（板书）（2）对公式的认识由学生来说，最后归结：函数观点；方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？

28、（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.三、小结1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.四、作业（略） 五、板书设计三.等比数列 1.等比数列的定义 2.对定义的认识3.等比数列的通项公式 （1）公式（2）对公式的认识教学目标（1）掌握 与 （ ）型的绝对值不等式的解法（2）掌握 与 （ ）型的绝对值不等式的解法（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；（4）通过将含绝对值的不

29、等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；教学重点：型的不等式的解法；教学难点：利用绝对值的意义分析p 、解决问题 教学过程设计 教师活动 学生活动 设计意图 一、导入新课【提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 【概括】口答绝对值的概念是解 与 （ ）型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫 二、新课【导入】2的绝对值等于几？2的绝对值等于几？绝对值等于2的数是谁？在数轴上表示出来【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程 来表示，这样的方程叫做绝对值方程显然，它的解有二个，一个是2，另一个是2 【提问】如何解绝对值方程 【

30、设问】解绝对值不等式 ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？ 【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式 的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合【设问】解绝对值不等式 ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？【质疑】 的解集有几部分？为什么 也是它的解集？【讲述】 这个集合中的数都比2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以 是 解集的一部分在解 时容易出现只求出 这部分解集，而丢掉 这部解集的错误 【练习】解下列不等式： （1） ； （2）【设问】如果在 中的 ，也就是 怎样解？【点拨】可以

31、把 看成一个整体，也就是把 看成 ，按照 的解法来解所以，原不等式的解集是【设问】如果 中的 是 ，也就是 怎样解？【点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成 ，按照 的解法来解，或 ， 由 得由 得所以，原不等式的解集是口答画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数 画出数轴，思考答案不等式 的解集表示为画出数轴 思考答案不等式 的解集为或表示为 ，或笔答 （1）（2） ，或笔答 笔答根据绝对值的意义自然引出绝对值方程 （ ）的解法由浅入深，循序渐进，在 （ ）型绝对值方程的基础上引出 （ ）型绝对值方程的解法 针对解 （ ）绝对值不等式学生常出现的情况，运用数轴质疑、解惑 落实会正确解出 与

32、 （ ）绝对值不等式的教学目标 在将 看成一个整体的关键处点拨、启发，使学生主动地进行练习继续强化将 看成一个整体继续强化解 不等式时不要犯丢掉 这部分解的错误 三、课堂练习 解下列不等式： （1） ； （2）笔答 （1） ； （2）检查教学目标落实情况 四、小结的解集是 ； 的解集是解 绝对值不等式注意不要丢掉 这部分解集或 型的绝对值不等式，若把 看成一个整体一个字母，就可以归结为 或 型绝对值不等式的解法 五、作业1阅读课本 含绝对值不等式解法 2习题 2、3、4 课堂教学设计说明1抓住解 型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下

33、牢固的基础2在解 与 绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨，让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系，以达到提高学生解题能力的目的3针对学生解 （ ）绝对值不等式容易出现丢掉 这部分解集的错误，在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力（第二课时）一、教学目标1掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；2掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；3了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的

34、科学态度以及实际动手能力；5通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.三、教学具准备投影仪 四、教学过程1设置情境上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？2探索研究（1）师：什么叫做两个向量的数量积？生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）师：向量的数量积有哪些性质？生：（1）（2）（3）（4）（5）（6）师：向量的数量积满足哪些运算律？生（由

35、学生验证得出）交换律：分配律：师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。（2）例题分析p 【例1】求证：（1）（2）分析p ：本例与多项式乘法形式完全一样。证：注： （其中、为向量）答：一般不成立。【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 .解：注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直分析p ：师：两个向量垂直的充要条件是什么？生：解： 与 互相垂直的充要条件是即 当且仅当 时， 与 互相垂直3演练反馈（投

36、影）（1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与 互相垂直，求 与 的夹角（2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时，求 的值；求证： 与 垂直（3）证明：直径所对的圆周角为直角 参考答案：（1）（2）解答：由当 时 最小； 与 垂直.（3）如图所示，设 ， ， （其中 为圆心， 为直径， 为圆周上任一点）则 ，即 圆周角4总结提炼（l）（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律 五、板书设计 课题：1数量积性质 2数量积运算律 例题 1 2 3 演练反馈 总结提炼

37、课题：3.3 等差数列的前n项和（二）6161,又nN_满足不等式n的正整数一共有30个.22二、例题讲解例1 .求集合M=m|m=2n1,nN_,且m60的元素个数及这些元素的和.解：由2n160,得n即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，59，组成一个以a1=1, an(a1+an)30=59,n=30的等差数列.Sn=2,S30(1+59)30=2=900.答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析p ：满足条件的数属于集合，M=m|m=3n+2,m100,mN_解：分析p 题意可得满足条件的数属于集合，M=

38、m|m=3n+2,m100,nN_ 由3n+2100,得n3223,且mN_,n可取0，1，2，3，32.即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，98.它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.由Sn(a1+an)n=2,得S33(2+98)33=2=1650.答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列an,是等差数列，Sn是其前n项和，求证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；设Sk,S2k-Sk,S3k-S2k （kÎN+）成等差数列证明：设an

39、,首项是a1，公差为d则S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6S12-S6=a7+a8+a9+a10+a11+a12=(a1+6d)+(a2+6d)+(a3+6d)+(a4+6d)+(a5+6d)+(a6+6d)=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+36d=S6+36dS18-S12=a13+a14+a15+a16+a17+a18=(a7+6d)+(a8+6d)+(a9+6d)+(a10+6d)+(a11+6d)+(a12+6d)=(a7+a8+a9+a10+a11+a12)+36d=(S12-S6)+36dS6,S12-S6,S18-S12是以36d同理可得Sk,S2k-Sk,S3k-

40、S2k是以kd为公差的等差数列.三、练习：1一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析p ：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得S4=24, S5S2=27则设等差数列首项为a1,公差为d, 24(4-1)dì4a+=24ïï12则 íï(5a+5(5-1)d)-(2a+2(2-1)d)=2711ï22îìa1=3解之得：ían=3+2（n1）=2n+1.d=2î2两个数列1, _1, _2, ,_7, 5和1, y1, y2,

41、 ,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求_+_2+LL+_7d1与1y1+y2+LL+y6d2解：518d1, d1d147, 又517d2, d2, 1; d2278_1+_2+_77_47×1+521,2y1+y2+ +y63×(15)18,_1+_2+LL+_77.y1+y2+LL+y663在等差数列an中, a415, 公差d3, 求数列an的前n项和SnSn解法1：a4a13d, 15a19, a124,3n(n-1)3512512 Sn24n(n),36226 当|n51|最小时，Sn最小， 6即当n8或n9时，S8S9108最小.解法2：由已知解

42、得a124, d3, an243(n1),由an0得n9且a90,当n8或n9时，S8S9108最小.四、小结本节课学习了以下内容：an是等差数列，Sn是其前n项和，则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k （kÎN+五、课后作业：1一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n2)·180100nn(n-1)×10， 2求得n217n720,n8或n9,当n9时, 最大内角100(91)×10180°不合题意，舍去， n8.2已知非常数等差数列an的前n项和Sn满足10Sn=m2

43、15;3n×2(m-1)n+mn解：由题设知2n2(nN, mR), 求数列a5n+3的前n项和.Snlg(m×3×2即 Sn(m-1)n2+mn(m-1)n2+mn)lgmnlg3lg2, 52(m-1)mlg2n2(lg3lg2)nlgm2,55 an是非常数等差数列，当d0，是一个常数项为零的二次式 (m-1)lg20且lgm20, m1, 5212 Sn(lg2)n(lg3lg2)n,553 则 当n=1时，a1lg3-lg2 521当n2时,anSnSn-1(lg2)(2n1)(lg3lg2) 5541-nlg2+lg3+lg2 5541nlg2+lg3

44、+lg2 554 d=an+1-an=-lg2 541a5n+3=-(5n+3)lg2+lg3+lg2 5511=-4nlg2+lg3-lg2 531数列a5n+3是以a8=lg3-lg2为首项,5d=-4lg2为公差的等差数列，数列5an-a5n+3的前n项和为n·(lg3-31211lg2)n(n1)·(-4lg2)-2n2lg2+(lg3-lg2)n 2553一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等ì12a1+66d=354&#

45、239;32, 解得d5.差数列，由已知得í6a2+30d=ïî6a1+30d27解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得ìS偶+S奇=354ïS32,求得S偶192，S奇162，S偶S奇6d, d5.偶í=ïS27奇î4两个等差数列，它们的前n项和之比为5n+3, 2n-1解：a9a1+a17=b9b1+b1717(a1+a17)S8.=17="17S173(b1+b17)25一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，S10, S20S10,

46、 S30S20, , S100S90, S110S100, 成等差数列， 新数列的前10项和原数列的前100项和，10S1010´9·DS10010, 解得D22 2 S110S100S1010×D120, S110110.6设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S12>0，S13值范围；(2) 指出S1, S2, S3, , S1212´11ìS=12a+d>01ï12ì2a1+11d>02Þ解：(1) í,í13´12a+6d<0î1

47、39;S13=13a1+d<02î a3a12d12, 代入得íì24+7d>024, n(2) S1313a70, a6a7>0, a6>0,S6最大.六、板书设计（略）七、课后记：等差数列_高一数学教案_模板教学目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；（3）能通过通项公式与图像认识等差数列

48、的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析p 资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物观点.关于等差数列的教学建议 （1）知识结构（2）重点、难点分析p 教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是

49、项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.（3）教法建议本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“的数列叫做等差数

50、列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是

51、 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境等差数列通项公式的教学设计示例 教学目标1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；3

52、.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.教学重点，难点教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用 教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法研探式.教学过程 一.复习提问前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知等差数列 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通

53、项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用（1）已知等差数列 中，首项 ，公差 ，则397是该数列的第_项.（2）已知等差数列 中，首项 ， 则公差（3）已知等差数列 中，公差 ， 则首项这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.2.基本量方法的使用（1）已知等差数列 中，求 的值.（2）已知等差数列 中， ， 求 .若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题

54、者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量.教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.如：已知等差数列 中， 由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？

55、能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题（3）已知等差数列 中， 求 ； ； ；.类似的还有（4）已知等差数列 中， 求 的值.以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出 3.研究等差数列的单调性，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况.此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究等差数列前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如（1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？（2）等差数列 从第_项起以后每项均为负数.三.小结1.用方程思想认识等差数列通项公式；2.用函数思想解决等差数列问题.四.板书设计等差数列