中考动态问题

1、中考动态问题专题【例题1】（点动题）如图，在矩形ABCD 中，AB =6, BC=8,点E是 BC 中点，点 F是边 CD上的任意一点，当 AEF的周长最小时，则 DF的长为（39热点二：线动D.4【例题2】（线动题）如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器 0刻度线的端点N与点A重合，射线 CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3。的速度旋转，CP与量角器的半圆【例题3】（面动题）如图Z10-4,将一个边长为 2的正方形 ABCD和一个长为 2,宽为1的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD绕点C按顺时针旋转至 CE F'

2、D'旋转角 为”.（1当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角 ”的值；（2）如图 Z10-5 , G 为 BC 中点，且 0°< a< 90°,求证：GD =E'1小长方形 CEFD绕点C按顺时针旋转一周的过程中， DCD与CBD能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能，请说明理由.选择题1. （2019?四川省达州市）如图，边长都为4的正方形 ABCD和正三角形 EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点 A与点F重合.现将 EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止.在这个运动过程中,正方形ABCD和 EFG

3、重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（2. （2019?山东泰安）如图，矩形ABCD 中，AB = 4, AD =2, E 为 AB 的中点,F为EC上一动点,DF中点，连接 PB,则PB的最小值是（A . 2B. 4C, h/2D. 2V23. （2019?山东潍坊）如图，在矩形 ABCD中，AB = 2, BC = 3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设运动的路程为 x, ADP的面积为V,那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）C. D.-4. （2019?胡北武汉）如图，AB是。的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是NN上一动点，/ ACB 的角平分线交。于点D,

4、/ BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的 运动路径长的比是（）A.eB.?C.WD.5. （2019?胡南衡阳）如图，在直角三角形ABC中，/ C=90°, AC = BC , E是AB的中点，过点 E作AC和BC的垂线，垂足分别为点 D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点 C与点A重合时停止运动，设运动时间为t,运动过程中四边形 CDEF与4ABC的重叠部分面积为 S.则S关于t的函数图象大致为（）ABCD6. （2019新江衢州）如图所示，正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E-A-D-C 移动至终点C,设P点经

5、过的路径长为 x, 4CPE的面积为V,则下列图象能大致反映 y与x函数关系的是( )7. （20197T肃武威）如图，在矩形 ABCD中，ABvAD,对角线 AC, BD相交于点O,动点P由点A出 发，沿AB-BCfCD向点D运动.设点P的运动路程为x, AAOP的面积为y, y与x的函数关系图象如图所示，则AD边的长为（）8.（2019甘肃省天水市）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点D. 6M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 M的运动时间为x,线段PM的长度为V,表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（B.9. （2019碰江嘉兴）如图，一副含30°

6、;和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合,AC = 12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点 F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点 E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm；连接BD,则4ABD的面积最大值为 cm2.10. （2019?四川省广安市）如图 8.1 ,在四边形 ABCD中，AD / BC , B 30，直线l AB.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F .设直线l向右平移的距离为x ,线段EF的长为y ,且y与x的函数关系如图8.2所示，则四边形ABCD的周长是.当 PAB

7、的周长最小时,y= x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A, B两点，点P是y轴上的一个动八、5A/ Q三、解答题12. (2019?胡北省仙桃市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为 O (0, 0), A (12, 0), B (8, 6), C (0, 6).动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边 OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒 2个单位长度的速度沿边 BC向终点C运动.设运动的时间为 t秒，PQ2=y.(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围:(2)当PQ=3%用时，求t的值;(kw。经过点D,问k的值是否变化？若不变化，请求出 k(

8、3)连接OB交PQ于点D,若双曲线y =的值；若变化，请说明理由.Q备用图13. （2019?山东青岛）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB/CD, Z ACB = 90°, AB = 10cm, BC = 8cm,OD垂直平分A C.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点 P作PEXAB,交BC于点E,过点Q作QF/AC,分别交AD, OD于点F, G.连接OP, EG.设运动时间为t (s) (0vtv5), 解答下列问题：(1)当t为何值时，点E在/ BA

9、C的平分线上？(2)设四边形PEGO的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大？若存在， 求出t的值；若不存在， 请说明理由；(4)连接OE, OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OEOQ?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.14. (2019山西)综合与探究如图，抛物线 y ax2 bx 6经过点A (-2, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点，设点 D的横坐标为m(1 m 4).连接AC, BC, DB, DC.(1)求抛物线的函数表达式；(2) BCD的面积等于 AOC的面

10、积的。时，求m的值；4(3)在(2)的条件下，若点 M是X轴上的一个动点，点 N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B, D, M, N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，15. (2019?胡南岳阳)操作体验：如图，在矩形 ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形 ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处.点P为直线EF上一动点(不与 E.F重合)，过点P分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点 M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形 PMQN .(1)如图1,求证：BE = BF ;(2)特例感知：如图

11、 2,若DE=5, CF = 2,当点P在线段EF上运动时，求平行四边形 PMQN的周长；(3)类比探究：若 DE = a, CF=b.如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时， 试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证 明；如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)216. (2019?胡南邵阳)如图，二次函数 y= - "：7x2+bx+c的图象过原点，与 x轴的另一个交点为(8, 0) (1)求该二次函数的解析式；(2)在x轴上方作x轴的平行线y1=m,交二次函数图象于 A.B两点，过A.B两点

12、分别作x轴的垂线，垂 足分别为点D.点C.当矩形ABCD为正方形时，求m的值；(3)在(2)的条件下，动点 P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点 Q以相同 的速度从点A出发沿线段 AD匀速运动，到达点 D时立即原速返回，当动点 Q返回到点A时，P、Q两点 同时停止运动，设运动时间为 t秒(t>0).过点P向x轴作垂线，交抛物线于点 E,交直线AC于点F, 问：以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形.若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.【例题1（点动题）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6, BC=8,点E是BC中点，点 F是边 CD上的DF的长为

13、（）D.4CD于点F. .BE = CE = CE =4. AB ±BC , CD ± BC , CF / AB , CE FA BE A.CE' /BE ' =CF/AB4/(8+4)=CF/6解得CF = 2.DF = CD -CF= 6- 2 = 4.热点二：线动【例题2】(线动题)如图，量角器的直径与直角三角板 ABC的斜边 AB重合，其中量角器 0刻度线的 端点N与点A重合，射线 CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒 3。的速度旋转，CP与量角器的半圆 弧交于点 巳 第24秒，点E在量角器上对应的读数是 .【答案】144°【解析】连接 OE

14、, . / ACB = 90°,. .A, B, C在以点 O为圆心，AB为直径的圆上. 点 E, A, B, C 共圆. . / ACE =3 X24=72°, ./ AOE =2/ACE = 144°. 点E在量角器上对应的读数是144。.【例题3】(面动题)如图Z10-4,将一个边长为 2的正方形 ABCD和一个长为 2,宽为1的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD绕点C按顺时针旋转至 CE F' D'旋转角 为a .(1)当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角a的值;(2)如图 Z10-5,

15、 G 为 BC 中点，且 0°< “V 90°,求证：GD =E'1小长方形 CEFD绕点C按顺时针旋转一周的过程中， DCD与CBD能否全等？若能，直接写出旋转角”的值；若不能，请说明理由.【答案】见解析。【解析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中 心所连线段的夹角等于旋转角.也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质.长方形 CEFD绕点C顺时针旋转至 CE F' D'CD = CD = 2.在 Rt CED 中，CD =2, CE=1,/ CD E = 30°. CD

16、/ EF , .a= 30°.(2)证明：.G 为 BC 中点，CG = 1.CG = CE. .长方形 CEFD绕点C顺时针旋转至 CE F' D' ./D' CE=/DCE = 90°, CE = CE =CG. ./ GCD =/ E' CD= 90 + a .SACCD, 利人肥 CD中/ngoZ =£或 CD, cG=Cff ? fAAGWj 丝岁 CZXSAS). =Ef D.(3)能.理由如下： 四边形 ABCD 为正方形，CB = CD.CD = CD. BCD'与 DCD为腰相等的两个等腰三角形.当/ BC

17、D =/ DCD 时， BCD DCD .当 BCD与ADCD为钝角三角形时，36007 伊/保二=1352当 BCD与4DCD为锐角三角形时，=ZZXDJ =，力（2）=45口2:/尸砂一综上所述，当旋转角 a的值为135°或315°时， DCD与 CBD全等.专题典型训练题.选择题1. （2019?四川省达州市）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合.现将 EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点 F与B重合时停止.在这个运动过程中,正方形ABCD和4EFG重叠部分的面积 S与运动时间t的函数图象大致是

18、（【解析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意, 本题得以解决.当0<K2时，S= 1 J丁 '一号"士,即S与t是二次函数关系，有最小值（0, 0）,开口向上,当2<tw4时，S=4X14熊产0” 卜（4-；）叫.耐 '=娇坐同，即S与t是二 次函数关系，开口向下，由上可得，选项 C符合题意。2. （2019?山东泰安）如图，矩形 ABCD中，AB = 4, AD=2, E为AB的中点，F为EC上一动点，P为A . 2B. 4C .陋D. 2V2【答案】D.【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段

19、 P1P2,再根据垂线段最短可得当 BPLP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BPHP1P2,故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可.如图：当点F与点C重合时，点 P在P1处，CP1=DP1,当点F与点E重合时，点 P在P2处，EP2=DP2,P1P2/ CE 且 P1P2=-CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有 DP=FP由中位线定理可知：P1P/ CE且P1P= -i-CF.点P的运动轨迹是线段 P1P2, 当BPLP1P2时，PB取得最小值 矩形 ABCD 中，AB = 4, AD = 2, E 为 AB 的中点， .CBE、 ADE> BCP

20、1为等腰直角三角形，CP1 = 2/ ADE = / CDE = Z CP1B = 45°, / DEC = 90°/ DP2P1=90°DP1P2=45P2PiB=90°,即 BP11 P1P2,BP的最小值为 BP1的长在等腰直角 BCP1中，CPi=BC = 2BP1 = 2V2 PB的最小值是2版3. （2019?山东潍坊）如图，在矩形 ABCD中，AB = 2, BC = 3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设运动的路程为 x, ADP的面积为V,那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）【答案】D.【解析】由题意当y=3,当 3vxv5

21、 时,MX (5-x)=-x+.由此即可判断. riL-aiu由题意当0W3时，y=3, 当 3Vxv 5 时，y= y-X3X (5-x)=4. （2019?胡北武汉）如图，AB是。的直径，M、N是AB （异于A.B）上两点，C是HN上一动点，/ ACB的角平分线交。于点D, / BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（B.7T2C.D.【解析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的 运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.如图，连接EB.设OA=r.易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是点C的

22、运动轨迹MON = 2a,利用弧长公式计算即可解决问题.是前，由题意/ MON = 2/ GDF ,设/ GDF = %则/C3 AB 是直径， ./ ACB =90°,E 是 ACB 的内心，丁./ AEB = 135°,. / ACD = Z BCD , - 卜 1=，,AD= DB =VSr,ADB =90°,易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是而，点C的运动轨迹是前,/ MON = 2/ GDF ,设/ GDF = "，则/ MON = 2 aMN的长褊的长2Q兀130Q 冗 pV2r1805. （2019?胡南衡阳）如图，在直角三角

23、形ABC中，/C=90°, AC = BC, E是AB的中点，过点 E作AC和BC的垂线，垂足分别为点 D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点 C与点A重合时停止运动，设运动时间为t,运动过程中四边形 CDEF与4ABC的重叠部分面积为 S.则S关于t的函数图象大致为（）【解析】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型.根据已知条件得到 ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为 a,当移动a时,如图2,S= Sa AC H= ,(2a-t)的距离v a时，如图1,S =正

24、方形的面积- EE'H的面积=a2-工t2；当移动的距离 22=2 - 2at+2a2,根据函数关系式即可得到结论;在直角三角形 ABC中，/ C= 90°, AC = BC, .ABC是等腰直角三角形,EF ± BC , ED± AC,四边形EFCD是矩形,E是AB的中点,EF =-i-AC,2DEEF = ED ,四边形EFCD是正方形, 设正方形的边长为 a,如图1当移动的距离v a时，S =正方形的面积- EE'H的面积=a2-卷匕>1(2a t) 2=1-12- 2at+2a2,S关于t的函数图象大致为 C选项。当移动的距离 a时，

25、如图2, S=Saach=一26.(2019新江衢州)如图所示，正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E-A-D-C 移动至终点C,设P点经过的路径长为 x, 4CPE的面积为V,则下列图象能大致反映 y与x函数关系的是( )ABCD【解析】动点问题的函数图象。结合题意分情况讨论：当点 P在AE上时，当点P在AD上时，当 点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.当点P在AE上时，1 .正方形边长为 4, E为AB中点，AE =2,2 .P点经过的路径长为 x, .PE=x,y=SACPE=得 PE BC= -X 及X4=2x 当点P在AD上时

26、，3 .正方形边长为 4, E为AB中点,AE =2,P点经过的路径长为 x1 .AP=x-2, DP=6-x,/. y=SzCPE = S 正方形 ABCD -SaBEC-Sa APE-SaPDC=4 %-X2X4- 5 X2X (x-2)4 X4X (6-x),=16-4-x+2-12+2x, =x+2,当点P在DC上时，2 .正方形边长为 4, E为AB中点,AE =2,3 .P点经过的路径长为 x,y=SACPE=PC BC= J X (10-x)PD=x-6, PC=10-x, >4=-2x+20,综上所述：y与x的函数表达式为:演口外W2)y= : J _ - < _

27、匚；1-2v+20(6<j<10)7 . （2019邛肃武威）如图，在矩形 ABCD中，ABVAD,对角线 AC, BD相交于点O,动点P由点A出 发，沿AB-BCfCD向点D运动.设点P的运动路程为x, AAOP的面积为y, y与x的函数关系图象如图所示，则AD边的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到 分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.当P点在AB上运动时， AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时， AOP面积最大为3.当P点在BC上运动时， AOP面积逐渐减小，当 P点到达C

28、点时， AOP面积为0,此时结合图象可知P点运动路径长为 7, . AB + BC=7.则 BC=7 AB,代入 AB?BC=12,得 AB2 7AB+12= 0,解得 AB=4 或 3, 因为 ABV AD,即 ABvBC,所以 AB=3, BC=4.8 .（2019甘肃省天水市）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点 M从点P出发，沿其边界顺时针匀速 运动一周，设点 M的运动时间为x,线段PM的长度为V,表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封 闭图形可能是（）&,C.二【答案】D【解析】y与x的函数图象分三个部分，而 B选项和 部分，所以B.C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆

29、，开始 y随x的增大而增大, D选项为三角形， M点在三边上运动对应三段图象，且 二、填空题C选项中的封闭图形都有 4条线段，其图象要分四个然后 y随x的减小而减小，所以 A选项不正确；M点在P点的对边上运动时， PM的长有最小值.边AC与EF重合，9.（2019碰江嘉兴）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上,AC = 12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点 E从cm2.cm；连接BD JIJAABD的面积最大值为【答案】(24-12点)，(24/3+36V2-

30、 12/6)【解析】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键.,. AC=12cm, /A=30°, / DEF =45° .BC = 41cm, AB =8-cm, ED = DF = &/cm如图当点 E沿AC方向下滑时，得 E'D'F',过点D'作D'NAC于点N,作D'MBC于点M方 C(F) FMD'N =90°,且/ E'D'F' =90°E'D'N

31、=Z F'D'M ,且/ D'NE' = / D'MF' =90°, E'D' = D'F'. D'NE' D'MF' (AAS )D'N = D'M ,且 D'N ± AC , D'M ±CM CD'平分/ ACM即点E沿AC方向下滑时，点 D'在射线CD上移动，.当 E'D' ±AC 时，DD'值最大，最大值= V2ED - CD = （12-道）cm，当点E从点A滑动

32、到点C时，点D运动的路径长=2X （12-6/2） = （24-12/受）cm如图，连接BD' , AD',- SaAD'B = Sa ABC +SaAD'C Sa BD'C SaAD'BaAC+-XBCX D'M=24/3+y (12-4/3)XD'N当E'D' LAC时，Saadb有最大值，B 30 ,直线l AB.当直线l沿. S"D'b 最大值=24'/5+y(12-4/3)冷叵=2 243+3672- 12/6) cm2.10. （2019?四川省广安市）如图8.1 ,在四边形A

33、BCD中，AD / BC , 射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点 E、F .设直线l向右平 移的距离为x ,线段EF的长为y ,且y与x的函数关系如图8.2所示，则四边形ABCD的周长是【答案】10 2 3【解析】由题意和图像易知BC=5, AD =7-4=3当BE=4时（即F与A重合），EF =2,又因为l AB且/ B=30° ,所以AB= 2，3 , 因为当F与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形 AED'为正三角形，所以CD=2,故答案时10 2/3.11. （2019?山东潍坊）如图，直线 y= x+1与抛物线y=x2-4

34、x+5交于A, B两点，点P是y轴上的一个动 点，当 PAB的周长最小时， Sapab=.12【答案】5【解析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.根据轴对称，可以求得使得 PAB的周长最小时点 P的坐标，然后求出点 P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得 PAB的面积，本题得以解决.尸；产工-4x+5“口 j 宜二1一/算二 4斛得，： 或 ，产2产5.点A的坐标为（1, 2）,点B的坐标为（4, 5）,AB =也5-2 4+（4-1） 2= 3匹，作点A关于y轴的对称点A',连接A'B与y轴的交于

35、P,则此时 PAB的周长最小,点A'的坐标为(-1, 2),点B的坐标为(4, 5),设直线A'B的函数解析式为 y=kx + b,-k+b=2亚+b=5直线A'B的函数解析式为y=当x = 0时，y =即点P的坐标为(0,4&)5将x = 0代入直线y=x+1中，得y = 1,.直线y=x+1与y轴的夹角是 45°,点P到直线AB的距离是:（孕1） Xsin45° =3.x =-,5525短乂半T. PAB的面积是:三、解答题12. (2019?胡北省仙桃市)如图，在平面直角坐标系中， 四边形OABC的顶点坐标分别为 O (0, 0), A

36、 (12, 0), B (8, 6), C (0, 6).动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边 OA向终点A运动；动点 Q从点B同时出发，以每秒 2个单位长度的速度沿边 BC向终点C运动.设运动的时间为 t秒，PQ2=y.(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ;(2)当PQ=3函时，求t的值；(3)连接OB交PQ于点D,若双曲线y=g" (kw。经过点D,问k的值是否变化？若不变化，请求出 k的值；若变化，请说明理由.OQ B8备用图【答案】见解析。【解析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点

37、的坐标特征，解题的关键是:(1)利用勾股定理，找出 y关于t的函数解析式;(2)通过解二次方程，求出当PQ=3、而时t的值；(3)利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标.(1)过点P作PE，BC于点E ,如图1所示.当运动时间为t秒时(0GW4时，点P的坐标为(3t, 0),点Q的坐标为(8-2t, 6),1 .PE = 6, EQ=|8 2t3t|= |8一5t|,PQ2= PE2+EQ2=62+|8 5t|2 = 25t2 80t+100,2 .y=25t2- 80t+100 (04W .故答案为：y=25t2-80t+100 (0qw.(2)当 PQ=3而时，25t280t+

38、100=(述)2,整理，得：5t2- 16t+11 = 0,(3)经过点D的双曲线y(kw。白k k值不变.连接OB,交PQ于点D,过点D作DFLOA于点F,如图2所示.,. OC = 6, BC = 8,ob = Huc"bc2= 10-BQ / OP, . BDQA ODP ,BD BQ 2t 20DOP3t.OD = 6. CB / OADOF =/ OBC.在 RtOBC 中，sin/OBC = ®=JL=E, cos/ OBC=_=JL=_,OB 10 4OB 10 5OF = OD无os/ OBC = 6H=2155DF =OD?sinZ OBC = 6X5-=

39、-,55，点D的坐标为24 1813. (2019?山东青岛)已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB/CD, Z ACB = 90°, AB = 10cm, BC = 8cm, OD垂直平分A C.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点 P作PEXAB,交BC 于点E,过点Q作QF/AC,分别交AD, OD于点F, G.连接OP, EG.设运动时间为t (s) (0vtv5), 解答下列问题：(1)当t为何值时，点E在/ BAC的平分线上？(2)设四边形PEGO

40、的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大？若存在， 求出t的值；若不存在， 请说明理由；(4)连接OE, OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OEOQ?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析。【解析】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.(1)在 RtAABC 中，. / ACB = 90°, AB = 10cm, BC=8cm,'AC=di-屋=6(cm),O

41、D垂直平分线段 AC,.OC=OA = 3 (cm) , / DOC =90°, CD / AB , ./ BAC =Z DCO , . / DOC = Z ACB , . DOCA BCA ,AC= AB = BC而一而一而3 CD OD .CD = 5 (cm) , OD = 4 (cm), PB = t, PEXAB ,易知:当点E在Z BAC的平分线上时, EPXAB , ECXAC,PE = EC,t= 8 当t为4秒时，点E在/ BAC的平分线上.(2)如图，连接OE, PC.S 四边形 OPEG= SaOEG+SaOPE= SaOEG+ ( SaOPC+SaPCE Sa

42、OEC)L? (4-j-t) ?3+-l?3? (8-t) +二？(8 25252+16 (0vtv5).(3)存在.S= 4 (喟)2+号(0vt<5), Q上J，t =二时，四边形 OPEG的面积最大，最大值为 2Jit) ©t-L?3?(8 - 45268(4)存在.如图，连接 OQ. .OEXOQ, ./ EOC+ZQOC=90°, . / QOC+Z QOG= 90°, ./ EOC = / QOG,整理得：5t2- 66t+160=0,解得t=K或10 (舍弃)5当t=秒时，OELOQ.5 .tan/EOC = tan/QOG,14. (2019

43、山西)综合与探究如图，抛物线 y ax2 bx 6经过点A (-2, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点，设点 D的横坐标为m(1 m 4).连接AC, BC, DB, DC.(4)求抛物线的函数表达式;(5) BCD的面积等于 AOC的面积的3时，求m的值;4N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点(6)在(2)的条件下，若点 M是X轴上的一个动点，点M,使得以点B, D, M, N为顶点的四边形是平行四边形,若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】见解析。(1)抛物线yax2 bxC经过点A(-2, 0)B (4, 0),4a2b 6

44、 016a,解得4b 6 0抛物线的函数表达式为y(2)作直线DE，X轴于点交BC于点G,作 CFXDE ,垂足为F.点A的坐标为(-2,0)OA=2由x 0,得y 6, 点C的坐标为(0,6),OC=6 c 1 一SAQAC- OA OC233 c 3- Sa BCD = Sx aqc=设直线BC的函数表达式为kx 4k由B, C两点的坐标得 n解得,直线BC的函数表达式为3，点G的坐标为（m, m 6）,2入 3 2333 21' DG m m 6 （ m 6） m 3m4224点 B 的坐标为（4, 0）, OB=4A ,1 1 1 SABCD = SACDG + SABDG=-

45、 DG CF - DG BE DG （CF 22213 2、3 2=-（m 3m） 4- m 6m2 423 2-9 一，人c-m6m -，解得 mi1 （舍），m23,m 的值为 322BE）1-DG BO2（3） M 1（8,0）,M2（0,0）, M3（T4,0）, M 4（ 匹,0）如下图所示，以 BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图以BD为边进行构图，有 3种情况，采用构造全等发进行求解D点坐标为（3,15）,所以N1，N2的纵坐标为15443 2 315x x 6 一,解得 x11,X2 3 （舍）42415可得心（1, ）, M2（0,0）4 15 ,3 23八15N3

46、,N4的纵坐标为一时，一x x6一,X11v14, x24424 M（1 J14, 15）, M3QR0） , N4。m14, ）, M4（ 714,0）44114以BD为对角线进行构图，有 1种情况，采用中点坐标公式进行求解15152（M1（3 4（ 1）,404 ）,15. (2019?胡南岳阳)操作体验：如图，在矩形 ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形 ABCD沿直 线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处.点P为直线EF上一动点(不与 E.F重合)，过 点P分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点 M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形 PMQN .(

47、1)如图1,求证：BE = BF ;(2)特例感知：如图 2,若DE=5, CF = 2,当点P在线段EF上运动时，求平行四边形 PMQN的周长； (3)类比探究：若 DE = a, CF=b.如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时， 试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证 明;如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)【答案】见解析。【解析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题

48、，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题.(1)证明/ BEF =/ BFE即可解决问题(也可以利用全等三角形的性质解决问题即可).证明：如图1中,Cr图1四边形ABCD是矩形，AD / BC, . DEF =/ EFB ,由翻折可知：/ DEF =/ BEF , ./ BEF =/ EFBBE= BF .(2)如图2中，连接BP,作EHLBC于H,则四边形ABHE是矩形.利用面积法证明用勾股定理求出 AB即可解决问题.如图2中，连接BP,作EHLBC于H,则四边形 ABHE是矩形，EH = AB .PM + PN = EH,禾1J.DE = EB = BF = 5, CF = 2,

49、 .AD = BC = 7, AE = 2,在 RtAABE 中，. / A=90°, BE=5, AE = 2,SaBEF = SaPBE + Sa PBF , PM ± BE , PNXBF,四边形PMQN是平行四边形,四边形 PMQN 的周长=2 (PM+PN) = 2/11 .(3)如图3中，连接BP,作 EH _L BC 于 H .由 Saebp Sabfp = Saebf ,可得BE中M?BF?EH ,由 BE= BF,推出PM - PN = EH = Jr -b 2，由此即可解决问题.如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM - QN=PN- PM.证明：如图 3中，连接BP,作EH LBC于H .ED = EB = BF =