线性微分方程

1、.蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇袈芇蒄蒇肃膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅蒂袄羅莃蒁薃螇艿蒀蚆羃膅葿螈螆肁薈蒈羁羇薇薀螄芆薆螂罿节薆袅袂膈薅薄肈肄薄蚇袁莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁肄肀芈蚃袇羆芇袅肃莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肃芄袂螇莂芃薂羂芈莂蚄螅膄莁螆羀肀莀蒆螃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇袈芇蒄蒇肃膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅蒂袄羅莃蒁薃螇艿蒀蚆羃膅葿螈螆肁薈蒈羁羇薇薀螄芆薆螂罿节薆袅袂膈薅薄肈肄薄蚇袁莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁肄肀芈蚃袇羆芇袅肃莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肃芄袂螇莂芃薂羂芈莂蚄螅膄莁螆羀肀莀蒆螃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇袈芇蒄蒇肃膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅蒂袄羅莃蒁薃螇艿

2、蒀蚆羃膅葿螈螆肁薈蒈羁羇薇薀螄芆薆螂罿节薆袅袂膈薅薄肈肄薄蚇袁莂薃蝿肆芈薂袁衿膄蚁薁肄肀芈蚃袇羆芇袅肃莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肃芄袂螇莂芃薂羂芈莂蚄螅膄莁螆羀肀莀蒆螃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆莇薂袀肂莆蚅肅羈蒅螇袈芇蒄蒇肃膃蒃蕿袆腿蒂螁膂肅 第4章 线性微分方程1了解n阶线性微分方程的概念，知道n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，了解n阶线性微分方程解的存在唯一性定理（1）在n阶线性微分方程y(n) + p1(x)y(n-1) + + pn-1(x)y+ pn(x)y = f (x) (4.5)中，令y= y1，y= y2，y(n-1) = yn-1，(4.5)式就可以化成一阶方程组

3、(4.7)(4.7)可以写成向量形式 (4.8)（2）n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系：方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的，即若y=(x)是方程(4.5)在区间I上的解，则y=(x)，y1=(x)，yn-1 = (n-1)(x)是方程组(4.7)在区间I上的解；反之，若y=(x)，y1=1(x)，yn-1=n-1(x)是方程组(4.7)在区间I上的解，则y=(x)是方程(4.5)在区间I上的解.（3）n阶线性微分方程解的存在唯一性定理：条件：方程 的系数（k= 1,2,，n）及其右端函数f (x)在区间I上有定义且连续；结论：对于I上的任一及任意给定的，方程的满足初始条件的解在

4、I上存在且唯一.2理解n阶线性齐次微分方程解的结构和通解基本定理，了解n阶线性齐次微分方程的基本解组，掌握刘维尔公式（1）朗斯基(Wronski)行列式定义：设函数组1(x)，2(x)，n(x) 中每一个函数k(x)(k=1,2,n)均有n-1阶导数，我们称行列式为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式.（2）n阶齐次方程的解的线性无关性判别定理：齐次方程的n个解，在其定义区间I上线性无关（相关）的充要条件是在I上存在点x0，使得它们的朗斯基行列式W(x0)0 （W(x0) 0）.（3）n阶线性齐次微分方程解的结构和通解基本定理：如果，是齐次方程的n个线性无关解，则y = +是方程的通解，

5、其中为n个任意常数.（4）基本解组定义： 方程的定义在区间I上的n个线性无关解称为该方程的基本解组.（5）n阶齐次方程的线性无关解的个数不超过n个.（6）n阶齐次方程总存在定义在区间I上的基本解组. （7）刘维尔(Liouville)公式： 设，是方程的任意n个解，W(x)是它们朗斯基行列式，则对区间I上的任一x0有W(x)=W(x0)上述关系式称为刘维尔(Liouville)公式. 朗斯基行列式的两个重要性质：性质方程解的朗斯基行列式W(x)在区间I上某一点为零，则在整个区间I上恒等于零.性质 方程解的朗斯斯行列式W(x)在区间I上某一点不等于零，则在整个区间I上恒不为零.3理解n阶线性非齐

6、次微分方程的通解定理，掌握n阶线性非齐次微分方程用常数变易法法求通解的方法 通解定理: n阶线性非齐次方程 的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和. 4了解n阶常系数线性齐次方程的概念，熟练掌握n阶常系数线性齐次方程的单特征根的待定指数函数解法及重特征根的待定指数函数解法常系数线性齐次方程y(n)+a1y(n-1) + + an-1y+any = 0 （4.21）其中a1，a2，an为实常数. 称P()=n+a1n-1+an+an = 0 （4.25）为方程(4.21)的特征方程，它的根称为特征根.单特征根的基本解组定理： 若特征方程(4.25)有n个互异根1，2，n，则 （4

7、.26）是方程(4.21)的一个基本解组. 重特征根的基本解组定理：如果方程(4.21)有互异的特征根1，2，p，它们的重数分别为m1，m2，mp，mi1，且m1m2mpn，则与它们对应的(4.21)的特解是 (4.30)且(4.30)构成(4.21)在区间(，)上的基本解组.5了解n阶常系数线性非齐次方程的概念，熟练掌握第一类、第二类非齐次项n阶常系数线性非齐次方程的特解的待定系数法本章重点：n阶线性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，n阶常系数线性方程的解法。 例1 填空题 （1）阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个 应该填写：n （2）方程的基本解组是 应该填写：， （3）

8、方程的基本解组是 应该填写：（4）方程的基本解组是 应该填写：（5）若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点 应该填写：没有 （6）阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间 应该填写：n （7）函数组在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零应该填写： 充分 （8）若函数组在区间上线性相关，则它们的朗斯基行列式在区间上 应该填写：恒等于零 （9）函数组的朗斯基行列式是 应该填写： （10）在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在平面上 与轴相切 应该填写：不能 例2 单项选择题（1）若是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则在其定义的区间上，它

9、们（ ）（A）可以有共同零点 （B）可在处有共同零点 （C）没有共同零点 （D）可在处有共同零点 正确答案：C （2）方程的任一非零解在平面上（ ）与轴横截相交 （A）可以 （B）不可以 （C）只能在处可以 （D）只能在处可以 正确答案：A （3）阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个 （A）-1 （B） （C）+1 （D）+2 正确答案：B （4）阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）维线性空间（A） （B） （C） （D） 正确答案：C （5）若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ） （A） （B） （C） （D） 正确答案：D （6）方

10、程的任一非零解在空间中（ ） （A）不能与t轴相交 （B）可以与t轴相交 （C）可以与t轴横解相交 （D）可以与t轴相切 正确答案：A 例3 求下列方程的通解： （1） （2） （3） （4） （5） 解 （1）对应齐次方程的的通解为 令非齐次方程的特解为 满足 解得 积分，得 ，原方程通解为 （2）对应的齐次方程的特征方程为： 特征根为： 故齐次方程的通解为： 因为是单特征根所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，有 ， 可解出 故原方程的通解为 （3） 对应的齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ， 故齐次方程的通解为 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，得 即 ， 故原方

11、程的通解为 （4） 对应齐次方程的特征方程为，特征根为， 齐次方程的通解为 因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 代入原方程，比较系数确定出， 原方程的通解为 （5） 对应齐次方程的特征方程是 特征根为，齐次方程的通解为 因为是一重特征根故非齐次方程有形如 的特解，代入原方程，得 ， 故原方程的通解为 例4 设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C证明 设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为 由已知条件，得 故这两个解是线性相关的 由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得， 由于，可知否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾故 例5 在方程中，

12、已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切 证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是 显然，该方程有零解 假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 这与是非零解矛盾 例6 在方程中，已知在上连续试证明：若存在使方程的两个解，同在处取极值，则，不能是方程的基本解组 证明 由已知条件，该方程的任一解都在区间上存在 若在处取极值，则必有成立，于是由解构成的朗斯基行列式在处的值为= 0 故不能构成该方程组的基本解组，因为构成基本解

13、组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式， 例7 设是上的连续函数，且证明：方程 的任一解均满足 证明 先求齐次方程通解为 令非齐次方程特解为 满足解出 ， ， 原方程的通解为 + 若 ，则由洛比达法则，有 +- = 0 若 ，则显然有 芀蚂螃膂荿莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄羀莇莆袀袆莆葿蚃膄莅薁袈肀莄蚃蚁羆莃莃袆袂蒃蒅虿膁蒂薇袅肇蒁螀蚇肃蒀葿羃罿肆薂螆袅肆蚄羁膄肅莄螄肀肄蒆羀羆膃薈螂袂膂蚁薅膀膁莀螁膆膀薃薃肂膀蚅衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇膃膇蕿蚀聿芆蚁袆羅芅莁蚈袁芄蒃袄袇芄蚆螇膅芃莅羂肁节蒈螅羇芁薀羀袃芀蚂螃膂荿莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄羀莇莆袀袆莆葿蚃膄莅薁袈肀莄蚃蚁羆莃莃袆袂蒃蒅虿膁蒂薇袅肇蒁螀蚇肃蒀葿羃罿肆薂螆袅肆蚄羁膄肅莄螄肀肄蒆羀羆膃薈螂袂膂蚁薅膀膁莀螁膆膀薃薃肂膀蚅衿