5(2)变量可分离方程及齐次方程ppt课件

1、1变量变量可分离可分离小结小结 思考题思考题 作业作业增长与衰减模型增长与衰减模型第二节第二节 变量变量可分离方程及齐次方程可分离方程及齐次方程第十二章第十二章 微分方微分方程程2xxyyd)(d)( 如果一阶微分方程如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可以写成可以写成0),( yyxF的形式的形式,易于化为形式易于化为形式特点特点变量的微分之积变量的微分之积.两端积分可得通解两端积分可得通解.一阶微分方程一阶微分方程一、变量一、变量

2、可分离可分离方程方程3可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是: :分离变量分离变量,两边积分两边积分的形式；的形式；把方程化为把方程化为xxyyd)(d)( 1.2. 将上式将上式一阶微分方程一阶微分方程( )d( )d;yyxxC其中其中C为任意常数为任意常数.由上式确定的函数由上式确定的函数),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解(隐式通解隐式通解).这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为分离变量法分离变量法. .4例例1 1 求方程求方程 的通解的通解.dykydx注意: kxyCedykydx反映某种函数指数增长或指数衰减的现象.一阶微分方程一阶微分方程5一

3、阶微分方程一阶微分方程例例2 2 求方程求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解分离变量分离变量xxxyyyd1d122 两端积分两端积分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy 221(1)yCx所以为方程的通解为方程的通解.1ln2C隐式通解隐式通解 xxxd126二、齐次二、齐次方程方程如果一阶微分方程可以写成如果一阶微分方程可以写成 xygxydd齐次方程齐次方程. .即即,uxy 得到得到 u 满足的方程满足的方程).(dduguxux 即即的形式的形式,xyu 作变量代换作变量代换 xydd 代入代入则称之为则称之为 uxxudd 可分离变量的方程可

4、分离变量的方程,)(ddxuugxu dd,( )( )ux dyyg uug uuxdxx时分离变量分离变量两边积分两边积分,求出通解后求出通解后, .uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解.1. 齐次型方程齐次型方程一阶微分方程一阶微分方程7( )0,dyyg uudxx当时 即时但分离变量,直接求解得到:yCx00, ( )0,:.uug uuyu x当时则解为这两种解都不包含在前面的通解中.一阶微分方程一阶微分方程8例例3 3 求求dtanyyydxxx的通解.sin.yCxx一阶微分方程一阶微分方程9分析分析.,求求解解比比较较方方便便的的函函数数看看作作把把yx解解

5、 yxdd,yxu 令令,uyx 则则,ddddyuyuyx 方程变为方程变为 yuyudd)1(11 ueu 齐次方程齐次方程可分离变量方程可分离变量方程 yxfyxdd一阶微分方程一阶微分方程)1(11 yxeyx(1) d()d.xyey xxyy求方程的通解例例410两边积分两边积分lnlnlnuueyC 即即Ceuyu )(得通解得通解Cyexyx 分离变量分离变量yyueueuud1d1 yuyudd)1(11 ueu一阶微分方程一阶微分方程11为齐次型方程为齐次型方程. .,01时时当当 cc00,XxxYyy令，(其中其中h和和k是待定的常数是待定的常数)YyXxdd,dd 否

6、则为非齐次型方程否则为非齐次型方程. . XYdd解法解法一阶微分方程一阶微分方程2. 可化为齐次的微分方程可化为齐次的微分方程的微分方程的微分方程111cybxacbyax )(ddfxy cbyaxbYaX00)(f1010111cybxaYbXa, 0, 01010100cybxacbyax11)1(baba 有唯一一组解有唯一一组解., 0 12, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.)(dd11YbXabYaXfXY 得通解代回得通解代回，00,yyYxxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 bba 与与1一阶微分方程一阶微分方

7、程中必至少有一个为零中必至少有一个为零., 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.)(dd111cybxacbyaxfxy ,byaxz 令令, 0, 01 ab若若),dd(1ddaxzbxy )()dd(11cczfaxzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程., 0, 01010100cybxacbyax13,11 bbaa令令),)(dd1cbyaxcbyaxfxy ，则则xybaxzdddd ).()dd(11czczfaxzb ,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.)(dd111cybxacbyaxfxy 一阶微分方程一阶微分方程 , 0,

8、0111ckbhacbkah, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.方程可化为方程可化为14.31dd的的通通解解求求 yxyxxy解解, 021111 0301yxyx2, 1yx1,2.XxYy令,ddYXYXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 一阶微分方程一阶微分方程例例5 5 )(dd111cybxacbyaxfxy 0,Xxx令. 0, 01010100cybxacbyax0Yyy，是非齐次型方程是非齐次型方程. .方程组方程组是齐次型方程是齐次型方程. . XuXudd分离变量法得分离变量法得方程变为方程变为,11uu 15,11dduuXuXu 分

9、离变量法得分离变量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 代代回回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 方程变为方程变为一阶微分方程一阶微分方程XYu 即即或或16求解下列微分方程求解下列微分方程一阶微分方程一阶微分方程例例6 60d)(d)()1( yxxygxyxyf 解题提示解题提示方程中出现方程中出现),(),(yxfxyf )(),(22xyfyxf 等形式的项时等形式的项时,通常要做相应通常要做相应的的变量代换变量代换,22xyyxyxxyu yxxy1dd)2(17一阶微分方程一阶微分

10、方程0d)(d)()1( yxxygxyxyf解解,xyu 令令求微分得求微分得,dddxyyxu 代入方程代入方程0d)(d)()( uugxxuuguf0d)()()(d uugufuugxx xln uugufuugd)()()(C 可分离变量方程可分离变量方程18yxxy1dd)2(解解uyx 令令, 1dddd xuxy则则代入原式代入原式,11dduxu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解yxyx dd一阶线性方程一阶线性方程. 可分离变量方程可分离变量方程一阶微分方程一阶微分方

11、程方程变形为方程变形为19三、增长与衰减模型三、增长与衰减模型一阶微分方程一阶微分方程有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 解解由由力学知识力学知识 得得,水从孔口流出的流量为水从孔口流出的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度ghStVQ262. 0dd 水面的高度水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.开始时开始时容器内盛满了水容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里求水从小孔流出过程中容器里流出流出, 例例7小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图). 水从它的底部小孔水从它的底

12、部小孔 20hhhd)200(2 ,d262. 0tgh ,d)200(262. 0d3hhhgt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为一阶微分方程一阶微分方程可分离变量方程可分离变量方程21可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程分离变量分离变量两端积分两端积分一阶微分方程一阶微分方程四、小结四、小结解法解法:隐式隐式(或显式或显式)通解通解0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM22一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程的一阶微分方程的解题程序解题程序

13、(1) 审视方程审视方程, 判断方程类型判断方程类型;(2) 根据不同类型根据不同类型, 确定解题方案确定解题方案;(3) 若方程的求解最终化为分离变量型的若方程的求解最终化为分离变量型的,则作适当变换则作适当变换; (4) 做变量替换后得出的解做变量替换后得出的解, 最后一定要最后一定要还原为原变量还原为原变量.23思考题思考题).(A一阶微分方程一阶微分方程A. 有极大值有极大值B. 有极小值有极小值C. 某邻域内单调增加某邻域内单调增加D. 某邻域内单调减少某邻域内单调减少( )240yf xyyy1.设函数是微分方程的处在点则一个解且000)(, 0)(, 0)(xxfxfxf242. 解方程解方程解解将方程写为将方程写为22ddyxxyxy 齐次方程齐次方程,xyu 令令,uxy