专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等）（教师版）

1、备战2022年中考数学压轴题之二次函数专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等） 【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中“”与全等表述、“”和相似表述的区别。全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。【典例示范】类型一 确定的全等三角形条件的判定应用例1：（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中

2、点A的坐标为，抛物线的顶点为P求b的值，并求出点P、B的坐标；在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由【答案】存在，【解析】抛物线经过，解得：，抛物线的表达式为，点P的坐标为令得：，解得或，的坐标为存在，点如图：过点P作轴，垂足为C，连接AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM，是等边三角形，在和中，存在这样的点M，使得，点N是PB的中点，设直线AM的解析式为，将点A和点N的坐标代入得：，解得：，直线AM的解析式为将代入抛物线的解析式得：，解得：或舍去，当时，点M的坐标为针对训练1（2018年九年级数学北师大版下册

3、：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8)(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) yx23x8；（2）点F的坐标为(3，4)或(3，4)【解析】（1）抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8）， 解得抛物线的函数表达式为yx23x8；yx23x8 (x3)2 ，

4、抛物线的对称轴为直线x=3又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）点B的坐标为（8，0），设直线L的函数表达式为y=kx点D（6，-8）在直线L上，6k=-8，解得k=- ，直线L的函数表达式为y=-x，点E为直线L和抛物线对称轴的交点，点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4，点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使FOEFCEOE=CE=5，FO=FC，点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，x2-3x-8=-4，解得x=3± ，点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）2（河南省濮阳市2018届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与

5、坐标轴分别交于A，B两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒求此抛物线的表达式；求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；（2）当为等腰三角形时，t的值为、或或4；（3）点T的坐标为【解析】把代入中，得把代入中，得，把，分别代入中，得，抛物线的表达式为，由勾股定理，得，运动t秒后，为等腰三角形，有，三种情况，

6、当时，过点Q作于点D在中，解得；当时，若点P在x轴上方的直线AB上，解得；若点P在x轴下方的直线AB上，解得：；当时，过点P作于点E则，在中，解得：综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、或或4过点P作于点F，延长FP交抛物线与点T为底边AQ上的高，当时，的面积最大此时点P为AB的中点，且连接OP，则，点，点T的横坐标为，将代入抛物线的解析式得：在中，由勾股定理可知：，点T的坐标为类型二 全等三角形的存在性探究例2（四川省眉山市洪雅县2018届九年级中考适应性考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2

7、）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上是否同时存在点D和点P，使得APQ和CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；若DCB=CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标【答案】（1）y=x2x+3；（2）点D坐标为（，0）；点M（，0）.【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得： ，抛物线解析式为：y=-x2-x+3；（2）存在点D，使得APQ和CDO全等，当D在线段OA上，QAP=DCO，AP=OC=3时，APQ和CDO全等，tanQAP=tan

8、DCO，OD=，点D坐标为（-，0）.由对称性，当点D坐标为（，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（，0）在线段OB上满足条件OC=3，OB=4，BC=5，DCB=CDB，BD=BC=5，OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，则点N为AC中点DN时ABC的中位线，DN=DM=BC=，OM=DM-OD=点M（，0）针对训练1如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的M与y轴相切于原点O，过点B（2，0）作M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标

9、，并判断点C是否在（1）中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处此时BOQ与MCB全等，求t的值【答案】（1）yx2+；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t2【解析】（1）将点M（2，0）、B（2，0）代入 yx2+bx+c 中，得： 解得：抛物线的解析式：yx2（2）连接MC，则MCBC；过点C作CDx轴于D，如图，在RtBCM中，CDBM，CM2，BM4，则：DM1，CD，ODOMDM1，C（1，）当x1时，yx2，所以点C在（1）的抛物线上（3）BCM和BOQ中，OBCM2，BOQBCM90°，若两三角形全等，则

10、：OQBC，当t2时，MCB和BOQ全等2（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线（m0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；（2）证明点A在直线上，并求OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）OAB=30°；（3）存在，=时， P（0，-），P（，-）；=时，P（，-3），P（3+，-3）；=

11、2时， P（，-3），P（，-3）；=时， P（，-），P（，-）. 【解析】（1）对称轴：x=m；顶点：A（m，0）（2）将x=m代入函数y=x-m，得y=×m-m=0点A（m，0）在直线l上当x=0时，y=-m，B（0，-m）tanOAB=，OAB=30度（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等共有以下四种情况：当AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得-m=-3m2，m0，m=这时有P1（0，-）其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件当AQP=90°，PQ=m

12、，AQ=m时点P坐标为（m-m，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=这时有P3（3-，-3）还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）当APQ=90°，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=2这时有P5（，-3）还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）当APQ=90°，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，m0，m=这时有P7（，-）还有关于对称轴对称的点P8（，-）所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，

13、-3）；当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；当m=时，有点P7（，-），P8（，-）3如图1，抛物线y1=ax2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GMx轴于点M将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与AMG全等，求直线PR的解析式【答案】（1）y2

14、=-x2+ x-；（2）存在；（3）y=x+或y=.【解析】（1）由已知，c=，将B（1，0）代入，得：a=0，解得a=，抛物线解析式为y1=x2- x+，抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），y2=（x1）2，即y2=-x2+ x-；（2）存在，如图1：抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（3，0），C（0，），过点T作TEy轴于E，则TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2t+，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=，当TC=AC时，t2t+=，解得：t1=，t2=；当TA=AC时，t2+16=，无解；当TA=TC时，t2t+=t2+1

15、6，解得t3=；当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，）时，TAC为等腰三角形；（3）如图2：设P（m，），则Q（m，），Q、R关于x=1对称R（2m，），当点P在直线l左侧时，PQ=1m，QR=22m，PQR与AMG全等，当PQ=GM且QR=AM时，m=0，P（0，），即点P、C重合，R（2，），由此求直线PR解析式为y=x+，当PQ=AM且QR=GM时，无解；当点P在直线l右侧时，同理：PQ=m1，QR=2m2，则P（2，），R（0，），PQ解析式为：y=；PR解析式为：y=x+或y=.类型三 确定的相似三角形条件的判定应用例3：（重庆市九龙坡区西彭三中2019届九年级（上)期末）如图

16、，已知抛物线经过点A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得BODQBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形【答案】（1）yx2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为（3，2）；（3）m1或m3或m1+或1时，四边形DMQF是平行四边形【解析】（1）由抛物线过点A（1，

17、0）、B（4，0）可设解析式为ya（x+1）（x4），将点C（0，2）代入，得：4a2，解得：a，则抛物线解析式为y（x+1）（x4）x2+x+2；（2）如图所示：当BODQBM时，则，MBQ90°，MBP+PBQ90°，MPBBPQ90°，MBP+BMP90°，BMPPBQ，MBQBPQ，解得：m13、m24，当m4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，m3，点Q的坐标为（3，2）；（3）由题意知点D坐标为（0，2），设直线BD解析式为ykx+b，将B（4，0）、D（0，2）代入，得：，解得：，直线BD解析式为yx2，QMx轴，P（m，0

18、），Q（m，m2+m+2）、M（m，m2），则QMm2+m+2（m2）m2+m+4，F（0，）、D（0，2），DF，QMDF，当|m2+m+4|时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m1或m3或m1+或1即m1或m3或m1+或1时，四边形DMQF是平行四边形针对训练1（湖南省长沙一中2018届九年级（下)段考）如图1，一次函数yx+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若；（1）求此抛物线的解析式；（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与ABD相似如

19、果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足MPNABD，求MPN面积的最大值【答案】（1）yx24x+3；（2）见解析;（3）MPN的面积的最大值为:【解析】（1）当x0时，yx+33，则D（3，0）；当y0时，x+30，解得x3，则A（3，0），ODOA，OAD为等腰直角三角形，AD3，AB2，B（1，0），设抛物线解析式为ya（x1）（x3），把D（0，3）代入得a（1）（3）3，解得a1，抛物线解析式为y（x1）（x3），即yx24x+3

20、；（2）作CHx轴，如图1，yx24x+3（x2）21，C（2，1）AHCH1，ACH为等腰直角三角形，CAH45°，AC，OAD为等腰直角三角形，DAO45°，CAQDAB，当时，AQCADB，即，解得AQ3，此时Q（0，0）；当时，AQCABD，即，解得AQ，此时Q（，0）；综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；（3）作PEAD于E，如图2，MPNABD，MNMP，设P（x，x24x+3），则M（x，x+3），MPx+3（x24x+3）x2+3x（x）2+，当x时，MP有最大值，MN的最大值为，PME45°，PEPM，PE的最大值为×，MPN的

21、面积的最大值为×× 2（浙江省嘉兴市海宁新仓中学2019届九年级上学期数学第一次月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，4）、点B （3，3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）直线AFx轴，垂足为点F，AF上取一点G，使GBAAOD，求此时点G的坐标； （3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若BMN=OAF，求直线BM的函数表达式【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2， ）；（3）y=或y=-3x+6【解析】（1）解：将原点O（0,0）、点A （2

22、，4）、点B （3，3），分别代入y=ax2+bx+c，得 ，解得 ，y=x2-4x= ，顶点为（2，-4）.（2）解：设直线AB为y=kx+b，由点A（2，-4），B（3，-3），得 解得 ，直线AB为y=x-6.当y=0时，x=6，点D（6，0）.点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，DF=AF，又AFx轴，AD0=DAF=45°，GBAAOD， ， ，解得 ，FG=AF-AG=4- ，点G（2， ）.（3）解：如图1，BMN=OAF， ，MBN=AOF，设直线BM与AF交于点H，ABH=AOD，HA

23、B=ADO， ，则 ，解得AH= ，H（2， ）.设直线BM为y=kx+b，将点B、G的坐标代入得 ，解得 直线BM的解析式为y= ；如图2，BD=AD-AB= BMN=OAF，GDB=ODA，HBDAOD ，即 ，解得DH=4点H的坐标为（2，0）设直线BM的解析式为y=kx+b将点B和点G的坐标代入得： ，解得k=-3，b=6直线BM的解析式为y=-3x+6综上所述，直线MB的解析式为y= 或y=-3x+63（江西省景德镇市2018届九年级第二次质检）如果一条抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，a，b，

24、c称为“抛物线系数”（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是_（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为1，0，2，则其“抛物线三角形”的面积为_；（3）若一条抛物线系数为1，2b，0，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQx轴于点Q，使得BPQOAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由【答案】（1）假；（2）；（3）yx22x 或yx22x；（4）P（1，1）或P（1，3）或P（1，3）或（1，1）【解析】（1）当0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有

25、“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：，令y=0，得：x=， S=；（3）依题意：yx22bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形 yx22bx=，顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，解得：b0（舍去）或b±1，yx22x 或yx22x（4）当抛物线为yx22x 时AOB为等腰直角三角形，且BPQOAB，BPQ为等腰直角三角形，设P（a，a22a），Q（a，0），则a22a2a，即a20，a=±1，P（1，1）或（1， 3）当抛物线为yx22x 时AOB为等腰

26、直角三角形，且BPQOAB，BPQ为等腰直角三角形，设P（a，a22a），Q（a，0），则a22a2+a，即a+20，a=±1，P（1，3，）或（1，1）综上所述：P（1，1）或P（1，3）或P（1，3，）或（1，1）类型四 相似三角形存在性探究例4. （江苏省苏州市张家港市）如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式，(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.【答案】(1)

27、；(2) 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；【解析】(1)把代入得，由，得，(2) 由题意可知，四边形是矩形，所以.由(1)可知，当时，最短，即最短，此时点是的中点，所以，点的坐标为，将代入得，点的坐标为，将代入得，解得，点的坐标为，点的坐标为当时(如图2)，则、关于抛物线的对称轴对称，的坐标为，点的坐标为，当时(如图3)，则是等腰直角三角形，过点作于点，设点的坐标为，解得，.针对训练1（贵州黔东南州锦屏县敦寨中学2018-2019学年度九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，直线y-x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线yx2+bx+c经过点A、B点P是x轴上一个动点，过点P

28、作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F设点P的横坐标为m（1）点A的坐标为 （2）求这条抛物线所对应的函数表达式（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与FPA相似，求m的值（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值【答案】（1）（4，0）（2）yx2+x+2（3），（4）1或或【解析】（1）在y-x+2中，令y0，则x4，A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）在y-x+2中，令x0，则y2，B（0，2）， 把A（4，0），B（0，2）代入yx2+bx+c，

29、得b，这条抛物线所对应的函数表达式为yx2+x+2；（3）P（m，0），E（m，m2+m+2），F（m，m+2），且BFEAEP，BEPAPF90°或EBFAPF90°，则有BEPE，E点的纵坐标为2，解得m0（舍去）或m，如图1，过点E作ECy轴于点C，则EBC+BEC90°，ECm，BCm2+m+22m2+m，EBF90°，EBC+ABO90°，ABOBEC，RtECBRtBOA，,解得m0（舍去）或m，解得，m，综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与FPA相似，m的值，（4）由（1）知，P（m，0），E（m，m2+m+2），F（m，m+2

30、），E、F、P三点为“共谐点”，有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，当F为线段PE的中点时，则有2（m+2）m2+m+2，解得m4（三点重合，舍去）或m；当P为线段FE的中点时，则有m+2+（m2+m+2）0，解得m4（舍去）或m1；当E为线段FP的中点时，则有m+22（m2+m+2），解得m4（舍去）或m；综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为1或或2（广东省汕头市龙湖区2019届九年级上学期期末质量检测）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三点(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，

31、使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 (1) yx2x2;(2)点P为(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).【解析】解：(1)该抛物线过点C(0，2)，可设该抛物线的解析式为yax2bx2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ，此抛物线的解析式为.(2)存在， 设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为m2m2，当1m4时，AM4m，PMm2m2.又COAPMA90°，当时，APMACO，即4m2(m2m2)解得m12，m24(舍去)，P(2，1) 当时，APMCAO，即2(4m)m2m2.解得m1

32、4，m25(均不合题意，舍去)，当1m4时，P(2，1) 类似地可求出当m4时，P(5，2) 当m1时，P(3，14)或P(0，2)， 综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2).3（2018年四川省绵阳市中考数学试卷）如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC/x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；

33、（2）P点坐标为（4 ,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）【解析】（1）把，和点，代入抛物线得：，解得：，则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，当时，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，综上，的坐标为，或，或，或；（3）在中，根据勾股定理得：， ，边上的高为，过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：在中，即，过作轴，在中，即，设直线解析式为，把坐标代入得：，即，即，联立得：，解得：或，即，或，则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，4

34、（湖南省衡阳市2019届中考数学试卷）如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC 轴于点C，交抛物线于点D（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N求点M、N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【答案】（1） 答案见解析 （2）存在，或【解析】（1）如图1，顶点为的坐标为，当时，则点坐标为，；不存在理由如下：，设点坐标为，则，当时，四边形为平行四边形，即

35、，解得（舍去），此时点坐标为，平行四边形不为菱形，不存在点，使四边形为菱形；（2）存在如图2，则，当时，则，设抛物线的解析式为，把代入得，解得，抛物线的解析式为，当时，则，当时，即，解得，此时抛物线解析式为；当时，即，解得，此时抛物线解析式为；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或5（湖北省襄州区2018届九年级上学期）如图，已知抛物线 yax2+x+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（2，0）、C（0，4），直线 l：yx4 与 x 轴交于点 D，点 P 是抛物线 yax2+ x+c 上的一动点，过点 P 作 PEx 轴，垂足为 E，交直线 l 于点 F（1）试

36、求该抛物线表达式；（2）如图 1，若点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标；（3）如图 2，过点 P 作 PHy 轴，垂足为 H，连接 AC求证：ACD 是直角三角形；试问是否存在这样的点 P，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y；（2）P 的坐标为（8，4）或（2.5， ）；（3）详见解析；点 P 的横坐标为 2 或5.5 或10.5 或18 时，使得以点 P、C、H为顶点的三角形与ACD 相似【解析】解：（1）把 A（2，0）、C（0，4）代入 yax2+x+c 中得：，解

37、得：，该抛物线表达式为：yx2+ x4；（2）如图 1，设点 P 的坐标为（x，x2+x4），则 F（x，x4），点P在第三象限，PF（x4）（x2+ x4） x，C（0，4），OC4，四边形 PCOF 是平行四边形，且 PFOC，PFOC4，即x4，2x2+21x+400，（x+8）（2x+5）0，x18，x22.5，当 y0 时，x2+ x40， 解得：x110，x22，P 的坐标为（8，4）或（2.5，）；（3）当 y0 时，x40， x8，D（8，0），由勾股定理得：DC282+4280，AC222+4220，AD2102100，AD2AC2+DC2，ACD90°，ACD 是

38、直角三角形；设点 P 的坐标为（x， x2+x4），由知：ACD90°，PHC90°，AC 2 ，CD 4， 如图 3，点 P 在第一象限，当ACDPHC 时，则，CH2PH，x2+ x4（4）2x，解得：x10（P 与 C 重合，舍去），x22，此时点 P 的横坐标为 2；如图 4，点 P 在第一象限，当ACDCHP 时，则，PH2CH，x24（x2+ x4），解得：x10（舍去），x25.5，此时点 P 的横坐标为5.5；如图 5，点 P 在第二象限，当ACDCHP 时，则，PH2CH，x2（x2+ x4）（4）， 解得：x10（舍），x210.5，此时点 P 的横坐标

39、为10.5（P 在直线 l 上）； 如图 6，点 P 在第二象限，当ACDPHC 时，则 ，CH2PH，（x2+ x4）（4）2x， 解得：x10（舍），x218，此时点 P 的横坐标为18；综上所述，点 P 的横坐标为 2 或5.5 或10.5 或18 时，使得以点 P、C、H为顶点的三角形与ACD 相似6（江西省南昌市2018届九年级中考三模数学）如图，一次函数yx2的图象与二次函数yax2+bx4的图象交于x轴上一点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点C已知二次函数yax2+bx4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线xn（n0），n是方程2x23x20的一个根，连接AD（1）求二次函数的

40、解析式（2）当SACB3SADB 时，求点C的坐标（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与ADB 相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y2x2+2x4；（2）点 C 的坐标为（4，0）或（8，0）；（3）在 x 轴上有一点 C（4，0）或（6，0），使得以点 A、B、C 组成的三角形与ADB 相似【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，则x=-2A（-2，0）由2x2-3x-2=0，得x1=-，x2=2，二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-，解得，二次函数的解析式为：y=2x2+2x-4；（2）SADB=BDOA=2，

41、SACB=3SADB=6点C在x轴上，SACB=ACOB=×2AC=6，AC=6点A的坐标为（-2，0），当SACB=3SADB时，点C的坐标为（4，0）或（-8，0）；（3）存在理由：令x=0，一次函数与y轴的交点为点B（0，-2），AB=，OAB=OBA=45°在ABD中，BAD、ADB都不等于45°，ABD=180°-45°=135°，点C在点A的左边AC与BD是对应边时，ADBBCA，=1，AC=BD=2，OC=OA+AC=2+2=4，点C的坐标为（-4，0）当AC与AB是对应边时，ADBCBA=，AC=AB=×2=

42、4，OC=OA+AC=2+4=6，点C的坐标为（-6，0）综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使得以点A、B、C组成的三角形与ADB相似7（人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式（2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC，如果四边形POPC为菱形,求点P的坐标（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，请求出此

43、时点P的坐标【答案】（1）y=x22x3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，此时点P的坐标（1，4）【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数yx2+bx+c的解析式为yx22x3；（2）四边形POPC为菱形，OC与PP互相垂直平分，yP，即x22x3，解得：x1，x2（舍），P（）；（3）PBC90°，分两种情况讨论：如图1，当PCB90°时，过P作PHy轴于点H，BC的解析式为yx3，CP的解析式为yx3，设点P的坐标为（m，3m），将点P代入代入yx22x3中，解得：m10（舍），m21，即P（1，4）；AO1，OC

44、3，CB，CP，此时3，AOCPCB；如图2，当BPC90°时，作PHy轴于H，作BDPH于DPCPB，PHCBDP，设点P的坐标为（m，m22m3），则PH=m，HC=（m22m3）（3）=m2+2m，BD=（m22m3），PD=3m，解得：m或（舍去）当m时，m22m3=PHCBDP，= 3，以P、C、B为顶点的三角形与AOC不相似综上所述：P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，此时点P的坐标（1，4）8（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点求抛物线的解析式及点C的坐标；求证：ABC是直角三角形；若点N为x轴上的一个动点